П.2. Расширение множества действительных чисел
Определение 2.1.Если множествоR
(действительных чисел) дополнить
символами +
и –
,
и ввести операции «сложения», «умножения»,
отношение порядка следующим образом:
1.
выполняется
неравенство –
<x<+
.
2.
3.
4. Если x>0, то
;
еслиx<0, то
.
5.
;
6. Операции
неопределенны.
Тогда полученное множество называется
расширенным множеством действительных
чисели обозначается
или
.
§ 3. Модуль действительного числа
Определение 3.1.Модуль(абсолютная величина) действительного числахобозначается | х| и определяется следующим образом:
Модуль числа х равен расстоянию от точкихдо начала отсчёта 0.
Свойства модуля
Для любого действительного числа хвыполняются следующие неравенства и равенства:
1о.
Доказательство.
2о. Пустьа>0, тогда
Доказательство.
3о. Пустьа>0, тогда
4о.
Доказательство.
5о.
Доказательство.
6о.
7о.
Доказательство 6о и 7овытекает из правил умножения и деления действительных чисел и Опр.3.1.
§ 4. Промежутки
Определение 4.1.Пустьa,b – действительные числа, причёмa<b. Промежутком (числовым промежутком) называется каждое из следующих множеств
отрезок
интервал
полуинтервал
или
полупрямая (луч)
или
открытая полупрямая (открытый луч)
или
прямая
Множество [a;b] называется отрезком с началомa и концомb; (a;b) – интервалом с началомa и концомb; [a;b), (a;b] – полуинтервалом с началомa и концомb; любое числох(a<x<b) называется внутренней точкой этих промежутков.
Множества
называютсябесконечными промежутками.
Изобразим эти множества на числовой прямой:
[a;b]
[a;a]
(a;b)
[a;b)
(a;b]
Определение 4.2.Окрестностьюточкианазывается любой интервал, содержащий точкуа.
Геометрически окрестность изображают следующим образом:
Определение 4.3.Пусть
.
-окрестностьюточкианазывается интервал (а–
;а+
),
т.е. множество всех действительныхх,
удовлетворяющих неравенству|х
– а|<
.
При этом число
называетсярадиусом окрестности,
а точкаа–центром окрестности.
ОбозначаютU(a;
).
Геометрически
-окрестность
изображают следующим образом:
Определение 4.4.Пусть
.Выколотой
-окрестностьюточкианазывается интервал (а–
;а+
)
без точкиа, т.е. множество всех
действительныхх, удовлетворяющих
неравенству0<|х – а|<
.
Обозначают
Геометрически
изображают
следующим образом:
Пример. Построить на координатной прямойU(2; 0,5)
§ 5. Ограниченные и неограниченные множества
В этом параграфе будем рассматривать только числовые множества и кратко будем называть их «множества».
Определение 5.1. МножествоХназываетсяограниченным сверху(снизу), если существует такое
числоM(m),
что
(
).
ЧислоM(m),
называетсяверхней (нижней) границеймножества Х.
Пример 5.1. Найти верхнюю и нижнюю границы множеств:
Определение 5.2. МножествоХназываетсяограниченным, если
оно ограничено и сверху и снизу, т.е.
существуют такие числаMиm, что
.
В противном случае оно называетсянеограниченным.
Это определение равносильно следующему
Определение 5.3. МножествоХназываетсяограниченным, если
существует такое числоM>0, что
.
МножествоХназываетсянеограниченным,
если для любого числаM>0 существует такое число
,
что
.
Определение 5.4. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) границ ограниченного сверху (снизу) множестваХназываетсяверхней (нижней) граньюмножества Х и обозначаетсяsupX(infX), читаетсяsupremum(infimum).
Свойства верхней и нижней граней множества
1о. Еслиa* = supX, то
1)
выполняется неравенство
.
2)
такое,
что выполняется неравенство
.
2о. Если
=
infXто
1)
выполняется неравенство
.
2)
такое,
что выполняется неравенство
Теорема 5.1. Всякое ограниченное сверху (снизу) множество имеет верхнюю (нижнюю) грань и при том только одну.
Дано.
Доказать.
Доказательство.
Замечание 5.1.Если множествоХнеограниченно сверху (снизу), то будем
считатьsupX=+
(infX=–
).
В заключение приведем
Аксиому Архимеда. Каким бы ни было действительное числоk, всегда есть натуральное числоn, которое большеk.
Из этой аксиомы следует, что множество натуральных чисел неограниченно.
Пример 5.2. Найти верхнюю и нижнюю грани множеств: