§ 2. Действительные числа п.1. Действительные числа и координатная прямая

Из СШ известны следующие обозначения:

N – множество натуральных чисел,

Z– множество целых чисел,

Z₀ – множество целых неотрицательных чисел,

Q– множество рациональных чисел,

I– множество иррациональных чисел,

R – множество действительных чисел.

В курсе СШ под действительным числомпонимают бесконечную десятичную дробь без 9 в периоде. Если бесконечная десятичная дробь – периодическая, то эторациональноечисло, а если бесконечная десятичная дробь – непериодическая, то этоиррациональноечисло.

Из курса математики СШ известно, что множество, состоящее и рациональных и иррациональных чисел, называется множеством действительных чисел(R). На множестве Rвводятся операции «сложения», «умножения», отношение порядка (сравнение). Формулируются 3 группы аксиом:

I. Аксиомы сложения и умножения

1.a+b=b+a

2. a+ (b + c )= (a + b) + c

3. a ∙ b = b ∙ a

4. a ∙ (b ∙ c )= (a ∙ b) ∙ c

5.(a + b) ∙ c= a∙ c +b∙ c

6.Существует число 0 такое, чтоа+ 0 =адля любого действительного числаа

7.Для любого действительного числаа существует число –атакое, чтоа+ (–а) = 0

8.Существует число 1≠0 такое, чтоа∙1 =адля любого действительного числаа

9.Для любого действительного числаа≠0 существует числоа^–1 такое, чтоа∙ а^–1 = 1

II. Аксиомы порядка

Для любых

1.Для любыхлибо , либо.

2.Если, тоx=y.

3.Если, то .

4. Еслих≤у, то для любогоzвыполняетсях+z≤у+ z

5. Еслих≤у, то для любогоz> 0 выполняетсях∙z≤у∙ z,

а для любого z< 0 выполняетсях∙z≥ у∙ z.

III. Аксиома непрерывности. Пусть X и Y два непустых множества действительных чисел. Если выполняется неравенство, то, такое, что .

Все остальные свойства можно получить из этих аксиом.

Такой подход к определению множества действительных чисел называется аксиоматическим, действительные числа – это множество, элементы которого удовлетворяют аксиомам группI–III.

Между множеством действительных чисел и точками любой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие.

Рассмотрим любую прямую и отметим на ней произвольно точку 0 – начало отсчёта. Точка 0 разбивает данную прямую на два луча. Один из них назовём положительным и обозначим стрелкой, а другой отрицательным. От точки 0 отложим на положительном луче произвольный отрезок и назовём его единичным (его длину примем за единицу измерения длин). Из СШ известно, что прямая, с выбранным на ней началом отсчёта 0, положительным направлением и единичным отрезком, называется координатной прямой.

Возьмем произвольное действительное число х. Возможны случаи:

1) x>0. Отложим на положительном луче координатной прямой от точки 0 отрезок длиныx. Правый конец полученного отрезка – соответствующаяx точка.

2) x<0. Отложим на отрицательном луче координатной прямой от точки 0 отрезок длины (–x). Левый конец полученного отрезка – соответствующаяx точка.

3) x=0, соответствующая ему точка – точка 0.

Возьмем произвольную точку хна координатной прямой. Возможны случаи:

1) точка xпопала на положительный луч координатной прямой. Тогда ей соответствует числоx>0, равное расстоянию от точки 0 до точкиx.

2) точка xпопала на отрицательный луч координатной прямой. Тогда ей соответствует числоx<0, равное расстоянию от точки 0 до точкиx,взятому со знаком минус

3) точка xпопала в начало атсчета координатной прямой. Тогда ей соответствует числоx=0.

Таким образом, установили взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и точками координатной прямой. Поэтому в математике принято множество R (действительных чисел) называть числовой прямой, а его элементы, т.е. действительные числа, точками числовой прямой. Часто для наглядности вместо действительного числахрассматривают ту точку на координатной прямой, которая соответствует этому действительному числу. Эту точку называютгеометрическим изображением числахи обозначают так же черезх.