Лекційно-практичне заняття 4

Перпендикулярність прямих і площин в просторі

Тема. Перпендикулярність площин. Ознака перпендикулярності площин. Ортогональне проектування. Вимірювання кутів та відстаней у просторі.

План

1. Перпендикулярність площин.

2. Ознака перпендикулярності площин.

3. Ортогональне проектування.

4. Вимірювання кутів та відстаней у просторі.

Література

1. Погорєлов О.В. Геометрія. Стереометрія. Підручник за 10-11 кл. Київ : Освіта, 1994 – 128с.

2. Афанасьєва О.М., Бродский Я.С., Павлов О.Л. Геометрія 10 -11кл. : Пробний підручник. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2004

Перебіг заняття

1. Перпендикулярність площин

Означення. Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярним прямим (рис.216, 217).

Будь-яка площина, перпендикулярна до лінії перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

2. Ознака перпендикулярності площин

Теорема 9. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Д а н о:

Довести: (рис. 1).

Рис.1

Доведення

Нехай і перетинаються по прямій с, а пряма с перетинається з b в точці А. Через точку А в площині проведемо прямуа, а с. Через а і b прове­демо площину .с, с , отже, с . Оскільки а , то

Теорему доведено.

3. Ортогональне проектування

Означення. Якщо проектуючи прямі перпендикулярні до площини проекцій, таке проектування називають ортогональним, або прямокутним.

Ортогональне проектування - вид паралельного проектування, тому воно має властивості паралельного проектування. У геометрії ортогональне проектування основне.

У кресленні застосовується ортогональне проектування, тобто паралельне проектування прямими, які перпендикулярні до площини проекції. Креслення деталей машин дістаємо орто­гональним проектуванням на одну, дві або три взаємно перпен­дикулярні площини. Ці площини називаються площинами проекцій.

На малюнку 2 показано проектування болта на дві пло­щини: на горизонтальну Н і вертикальну V. Креслення болта у двох проекціях показано на малюнку 2.

Рис.2

4. Вимірювання кутів та відстаней у просторі

Означення. Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на цих прямих, перпендикулярних до кожної з них.

Дві мимобіжні прямі мають спільний перпендикуляр і до того ж тільки один. Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі (рис.3).

Рис.3

Означення. Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходять через ці прямі.

5. Закріплення та осмислення вивченого матеріалу

Розв’язання вправ:

1) Наведіть приклади моделей перпендикулярних площин із оточення.

2) Покажіть на моделі прямокутного паралелепіпеда перпендикулярні грані.

3) Дано зображення куба. Укажіть площини, які перпендикулярні до площини:

а) АВС; б) АDC₁; в) ACC₁.

4) Задача №59 (1, 3, 5) (підручник с.39);

5) Задача №54 (підручник с.38);

6) Задача №55 (підручник с.38);

7) Задача №61 (підручник с.39);

8) Задача №57 (підручник с.38);

9) Задача №62 (підручник с.39).

10) Через вершину А трикутника АВС проведено пряму а, перпендикулярну до площини трикутника. Знайдіть відстань між прямими а і ВС, якщо АВ=13 см, ВС=14 см, АС=15 см.

Відповідь: 12 см.

11) До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр KD. Сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть відстань між прямими: 1) АВ і KD; 2) KD і АС.

Відповідь: 1) 5 см; 2) см.

Контрольні запитання

1. Які прямі у просторі називаються перпендикулярними?

2. Доведіть, що прямі, які перетинаються і відповідно пара­лельні перпендикулярним прямим, перпендикулярні.

3. Дайте означення перпендикулярності прямої і площини.

4. Доведіть ознаку перпендикулярності прямої і площини.

5. Доведіть, що коли площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямої.

6. Доведіть, що дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, паралельні.

7. Що таке перпендикуляр, опущений з даної точки на пло­щину?

8. Що називається відстанню від точки до площини?

9. Що таке похила, проведена з даної точки до площини? Що таке проекція похилої?

10. Які площини називаються перпендикулярними?

11. Доведіть ознаку перпендикулярності площин.

12. Що таке спільний перпендикуляр мимобіжних прямих?

13.Доведіть, що мимобіжні прямі мають спільний перпендику­ляр і до того ж тільки один, причому він є спільним перпен­дикуляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі.

14. Що називається відстанню між мимобіжними прямими?

Домашнє завдання