1.11. Электродинамические силы

В общем случае выражения для определения электрических и магнитных сил, действующих на вещество, весьма сложны. В электрическом поле на вещество действует сила [3]

,

где – плотность вещества;– плотность электрических зарядов;– температура.

В магнитном поле

,

где – плотность магнитных «зарядов» (для постоянных магнитов).

В электромагнитном поле действует сумма этих сил, т.е.

.

В электрических машинах наибольшими являются силы в магнитном поле, поскольку свободные электрические заряды в них отсутствуют, поэтому сила может быть представлена в виде

.

В большинстве случаев, кроме постоянных магнитов, , и тогда силы определяются в виде

(1.102)

В магнитогидродинамических машинах в подавляющем большинстве случаев, а зачастую и в обычных машинах, приходится иметь дело с немагнитными телами. В этом случае выражение для сил упрощается

,

и силы можно определять, ориентируясь только на этот член.

При расчете же сил в средах из ферромагнитных материалов необходимо учитывать влияние и других членов, т.е. пользоваться выражением (1.102).

Если в рассматриваемых зонах токи отсутствуют, то остаются вторые и третьи члены выражения (1.102)

. (1.103)

Приведенные уравнения определяют мгновенные значения сил, действующих в веществе. При расчетах сил в электрических машинах требуется знать в основном усредненные во времени силы. При взаимодействии синусоидально меняющихся во времени тока и индукции, усредненная сила их взаимодействия запишется в виде

,

где – комплексно-сопряженная величина; – комплексная амплитуда плотности тока

Представляет интерес записать это выражение покомпонентно:

,

,

,

откуда видно, что имеются три компоненты взаимно перпендикулярных сил, В электрических машинах вращательного или возвратно поступательного движения лишь одна из составляющих может выполнять paботу, а именно сила, действующая вдоль направления движения рабочего тела (ротора, электропроводящей среды). Силы, направленные поперек основного движения (поперечные силы), могут иметь результирующую силу, равную нулю, только при симметричном относительно рабочего тела поле. Если рассматриваемая среда жидкая, то поперечные силы могут вызвать течения, перпендикулярные основному движению.

Во многих электрических машинах при практических расчетах учитываются нормальная и одна тангенциальная составляющая магнитного поля и нормальная к ним составляющая плотности тока. В этом случае выражения для составляющих сил можно записать в виде:

,

;

.

При отсутствии тангенциальной составляющей магнитного поля средняя сила имеет одну составляющую:

.

Это наиболее часто рассматриваемый в обычных электрических машинах случай, в которых предполагается взаимодействие аксиального тока с радиальным (нормальным) потоком.

Усредненные по времени магнитные силы могут быть найдены в среде с одинаковой магнитной проницаемостью использованием формулы

, (1.104)

где – квадрат модуля комплексной амплитуды магнитной индукции.

Составляющие усредненной магнитной силы, используя (1.104), при наличии и запишутся в виде:

,

,

,

где и – модули составляющих комплексной амплитуды индукции.

Часто при расчетах электрических машин для определения сил пользуются другими способами.

1. Способ использования поля индуктора при холостом ходе

Он основан на том, что силы, действующие внутри изолированной системы, не могут сообщить ей результирующего количества движения и момента вращения.

Используя принцип наложения в линейных средах, результирующее магнитное и электрическое поле можно представить в виде суммы первичных и вторичных полей, т.е.

,

,

.

Это следует из того, что первичные токи будут создавать согласно принципу наложения поля , , независимо от наличия или отсутствия электропроводящей вторичной среды. При этом предполагается, что вторичная система является единственной, в которой произвольно могут протекать токи. В противном случае принцип наложения не имеет силы. Принцип наложения, как при расчетах полей, так и при расчетах сил позволяет в некоторых случаях упростить решение делением сложной задачи на части.

С учетом сказанного можно записать выражение для силы, действующей на рассматриваемый объем:

(1.105)

Поскольку источником поля является ток (), то и относятся к одной системе, и в соответствии со сказанным ранее интеграл .

Так можно рассчитать только усредненную силу, т.к. полученный результат относится только к интегральной силе, которая обычно расчетчиков и интересует. Если необходимо знать распределение силы по объему, ее необходимо определять по произведению тока на результирующее магнитное поле . Таким образом, при вычислении силы, действующей на объем, или средней силы - на единицу объема, можно ее определять по первичному магнитному полю и вторичному току, т.е.

. (1.106)

Следует отметить, что способ определения сил по вторичному току и первичному полю может быть применен в явнополюсных электрических машинах лишь при прикидочных расчетах, так как в них возникает еще одна составляющая силы (реактивная составляющая), обусловленная вторичным магнитным полем и разностью магнитных проводимостей по продольной и поперечной осям.

2. Способ поглощенной в среде энергии

При воздействии бегущего магнитного поля на проводящую среду в нее входит поток электромагнитной энергии, который превращается в кинетическую энергию движения среды, если это возможно, и в тепло в виде джоулевых потерь. На этом основании электродинамические силы могут быть вычислены по потоку энергии, поглощаемой в целом. Чтобы не рассматривать кинетическую энергию, целесообразно описание процессов в системе координат, неподвижной относительно вторичной электропроводящей среды. В этом случае бегущее магнитное поле совершает над телом в единицу времени работу:

. (1.107)

Эту работу должен совершить индуктор. Наглядно это иллюстрируется, если принять что поле возбуждается системой постоянных магнитов, перемещаемых с постоянной скоростью посторонним приводом. Тогда работа, совершенная в единицу времени таким индуктором, т.е. мощность, будет равна произведению силы взаимодействия между индуктором и средой на скорость:

, (1.108)

но сила - это компонента электродинамической силы действующей на электропроводящую среду в направлении движения поля, например, в направлении оси . Поэтому

. (1.109)

Для бегущего магнитного поля:

,

где – полюсное деление бегущей волны магнитного поля; – частота токов во вторичной среде, поэтому:

. (1.110)

Этот метод позволяет найти только интегральную электродинамическую силу в бегущем магнитном поле и неприменим при определении поля сил.

3. Способ равенства действия и противодействия.

Согласно третьему закону Ньютона, на индуктор действует в противоположном направлении такая же сила, какая действует на вторичную среду. Эта сила может быть найдена как векторное произведение тока протекающего в индукторе, на магнитное поле токов, наведенных во вторичной электропроводящей среде, в более общем случае – как произведение тока индуктора на результирующее магнитное поле:

, (1.111)

где – площадь поверхности индуктора,–ток, протекающий в индукторе.

Этим методом можно найти только суммарную силу. При рассмотрении выражений для сил (1.105) – (1.111) подразумевалось, что , , и – вещественные. Если представить эти величины в комплексной форме, то формулы для сил можно преобразовать для усредненной во времени силы, взяв половину вещественной части векторного произведения одного сомножителя на комплексно-сопряженное значение второго.

В некоторых случаях удобнее при расчетах мощности пользоваться теоремой Пойнтинга. В основе теоремы Пойнтинга лежит закон сохранения энергии. Теорема носит фундаментальный характер и имеет большое прикладное значение. Она часто используется при расчетах параметров, энергий и сил в различных электротехнических устройствах.

Теорема Пойнтинга заключается в следующем: электромагнитная мощность , втекающая в замкнутое пространство, ограниченное поверхностью , равна интегралу нормальной составляющей вектора Пойнтинга по всей замкнутой поверхности :

,

где – вектор Пойнтинга, определяющий мощность и направление потока электромагнитной энергии, проходящей сквозь единицу поверхности, перпендикулярной к направлению движения потока энергии.

Нетрудно видеть, что .

Теорема Пойнтинга может применяться для расчета активной, реактивной и полной мощностей, втекающих в рассматриваемое пространство.

При синусоидальном изменении составляющих электромагнитного поля вектор Пойнтинга определяется по аналогии с полной мощностью

.

В этом случае получается комплексный вектор Пойнтинга, состоящий из активной и реактивной мощностей, протекающих сквозь единицу поверхности. Физически понятно, что энергия, втекающая сквозь поверхность в замкнутый объем, может накапливаться в электрическом и магнитном поле, рассеиваться, преобразуясь в тепловую или механическую энергию, т.е., например, для рассматриваемых проводящих сред

.

При совместном исследовании электродинамического и электромеханического преобразования и движения энергии к вектору Пойнтинга следует прибавить вектор Умова, учитывающий механическую мощность, подведенную к области объемом . В этом случае получаетсявектор Умова-Пойнтинга

.

Можно утверждать, что аналогичные векторы плотности энергии можно определить и для других видов энергии: тепловой, химической, биологической и т.д. и получить обобщенный вектор плотности энергии

.