1.9. Уравнения электромагнитного поля в комплексной форме

В технических устройствах переменного тока обычно применяется синусоидальный ток. Во многих случаях нелинейные факторы (например, непостоянство магнитной проницаемости и пр.) отсутствуют или ими можно пренебречь. Тогда все физические величины, характеризующие поле, в том числе,,и, изменяются в каждой точке пространства синусоидально во времени. Поэтому точно также изменяются векторы ,,и. В частности, все рассматриваемые в последующих главах задачи тоже относятся к этому случаю.

При синусоидальном изменении векторов поля во времени уравнения для ,,иможно несколько упростить, перейдя в них к так называемым комплексным амплитудам векторов поля. Пусть, например, векторизменяется по закону

(1.78)

где – максимальное значение вектора в данной точке пространства, или его амплитуда; – угловая частота; – время; – начальная фаза.

Здесь является функцией координат, но не является функцией времени,a также может быть функцией координат.

Имея в виду, что

,

где – мнимая единица иозначает реальную часть комплексного числа, вместо (1.78) можно написать:

. (1.79)

Обозначим

. (1.80)

Будем называть комплексной амплитудой вектора напряженности поля. Очевидно, чтотакже имеет составляющие по осям координат.Однако этот вектор более сложного характера, чем , так как составляющиепо координатным осям являются согласно (1.80) комплексными числами.

С учетом (1.80) вместо (1.79) имеем

. (1.81)

Аналогично вектор плотности тока можно представить в виде

, (1.82)

где – комплексная амплитуда вектора сторонней плотности тока.

Подставив теперь значения и по (1.81) и (1.82), получим

.

Чередование математических операций ,и другихможно изменить. Выполним, кроме того, дифференцирование по и вынесем затем общий множитель . Тогда вместопредыдущего уравнения получим

.

В этом уравнении можно сначала опустить знак , а затем, сократить обе части на. Тогда получим уравнение для в окончательной форме:

. (1.83)

Аналогичным образом вместо ипо соотношениям

; (1.84)

, (1.85)

можно ввести комплексные амплитуды ,, и тогда получим

, (1.86)

. (1.87)

Каждое из уравнений (1.84), (1.85), (1.86) и (1.87) распадается на три уравнения для отдельных составляющих векторов ,,по координатным осям.

Если после решения уравнения (1.83) желательно перейти к реальной физической величине как функции координат и времени, то найденную после решения (1.83) величинуследует умножить на и взять реальную часть полученного произведения. Вместо реальной части этого произведения можно взять также ее мнимую часть. Последнее соответствует замене в (1.78) косинуса на синус. Очевидно, что оба способа перехода от комплексных величин к действительным равноценны. Все сказанное относится также к ,и.

Однако подобный обратный переход в действительности в большинстве случаев не нужен, так как при вычислении мощностей, потерь мощности, электромагнитных сил и других величин можно оперировать комплексными амплитудами , ,иподобно тому, как это делается в теории переменных токов, где оперируют комплексными величинами токов, напряжений, мощностей и т.п. Такая возможность вытекает из того, что переход от синусоидальных токов в функции времени

к комплексным величинам токов производится аналогично переходу от равенства (1.78) к соотношениям (1.79)-(1.81):

,

или

,

где представляет собой комплексную амплитуду тока.

Разница между рассматриваемыми здесь комплексными амплитудами векторов поля и комплексной амплитудой тока заключается только в том, что первые являются векторными величинами, зависящими от координат, а вторая – некоторой скалярной величиной, не зависящей от координат точек пространства. Соответственно в выражениях для токов, напряжений и т.д. начальные фазы также не зависят от координат. Кроме того, в теории переменных токовпредпочитают оперировать не комплексными амплитудами ,, а их действующими значениями

, .

Ниже будем пользоваться уравнениями поля только в комплексной форме, так как в рассматриваемых нами случаях все физические величины электромагнитного характера изменяются синусоидально во времени.