Materialy_ot_Pashali_D_Yu / ДискСпецкурс2013 / КнигаСПЕЦКУРСмай2006 / ГЛАВА4

9

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ И СИЛ В МАШИНЕ С ПОЛЫМ РОТОРОМ

4.1. Уравнения электромагнитного поля и их решение

Электромагнитные процессы в индукционной машине описываются системой уравнения Максвелла для медленно движущихся сред. В общем случае к этим уравнениям должны быть присоединены уравнения состояния, связывающие между собой температуру, физические свойства материалов и уравнения движения ротора. Точное определение электромагнитного поля с учетом всех конструктивных особенностей машины, нелинейности, высших пространственных гармонических магнитного поля и др. не представляется возможным. Поэтому при решении задачи принимаются допущения, мало искажающие картины явлений и не вносящие существенных погрешностей в результаты, но значительно облегчающие решение. Такими допущениями являются:

1. толщина рабочего зазора значительно меньше радиуса кривизны и магнитное поле по высоте плоскопараллельное;

2. магнитная проницаемость стали индуктора равна бесконечности;

3. первичное магнитное поле в рабочем зазоре задано;

4. магнитная проницаемость материала ротора равна магнитной проницаемости вакуума, т.е. .

Первичное магнитное поле может быть представлено в виде гармонического ряда, каждый из членов которого при вращении ротора возбуждает в нем токи и создает свою составляющую момента. Большая часть момента создается основной гармонической составляющей магнитного поля. Поэтому представляется целесообразным решить задачу по определению момента от взаимодействия основной гармоники магнитного поля с током. Момент, обусловленный высшими гармоническими магнитного поля, может быть определен отдельно.

Принятые допущения могут дать некоторые искажения реальной картины электромагнитных явлений и вносить погрешности в результаты решения. Влияние некоторых допущений может быть существенно ослаблено введением дополнительных поправочных коэффициентов. Например, влияющие допущения 2 на результаты решения уменьшается введением коэффициентов насыщения, а влияние некоторых учтено коррекцией результатов решения, например, допущения 1 - введением коэффициентов уменьшения момента (мощности) за счет поверхностного эффекта и кривизны.

Уравнения Максвелла для медленно движущихся электропроводящих сред в системе координат, вращающейся вместе с ротором, записываются в виде:

(4.1)

и - векторы результирующих магнитный индукции и напряженности поля; - вектор плотности тока ротора; - вектор напряженности электрического поля в роторе; - вектор плотности стороннего тока; - вектор скорости проводящей среды относительно системы координат; - электрическая проводимость материала ротора.

В линейных средах результирующее магнитное поле можно представить в виде суммы первичного и вторичного полей:

; .

С учетом уравнения (4.1) перепишется в виде

(4.2)

При отсутствии проводящей среды вектор плотности наведенного тока и , т.е. напряженность первичного магнитного поля, обусловлена сторонним током плотностью . С учетом этого можно уравнения (4.2) переписать в виде

,

, (4.3)

,

.

Решим систему уравнений относительно :

;

.

Поскольку , с учетом того, что , получим

.(4.4)

Для большинства электрических машин можно считать, что скорость электропроводящей среды одинакова по всему объему и ее вектор направлен вдоль одной из координатных осей, например, вдоль оси . Тогда

, , ,

.

Векторное произведение и

можно представить в виде

.

Ротор вектора равен

.

С учетом того, что

,

можно получить

.

Теперь уравнение можно записать в виде

. (4.5)

Основная волна бегущего первичного поля может быть представлена в виде

. (4.6)

В установившемся режиме свободная составляющая вторичного магнитного поля равна нулю, поэтому

.

Если подставить вместо выражение , а - выражение и учесть (4.6), можно получить:

Опуская и сокращая на , имеем

(4.7)

Поскольку , где - скорость бегущего магнитного поля относительно статора, то не что иное, как скольжение .

Теперь уравнение (4.7) можно переписать в виде

; (4.8)

где

; (4.9)

; (4.10)

. (4.11)

Величину в выражении (4.10), обозначенную как , называют магнитным числом Рейнольдса, характеризующим интенсивность магнитогидродинамических процессов.

В области вылетов (зона 2) первичное магнитное поле отсутствует. Поэтому для этой зоны справедливо уравнение без правой части:

. (4.12)

Решение уравнений (4.3) и (4.12) имеем в виде

; (4.13)

где .

Используя первичное уравнение системы (4.2), находим составляющую плотности тока

(4.14)

И для зоны вылетов

(4.15)

Постоянные интегрирования определяется из граничных условий:

при , ,

, , ,

, .

Уравнения для определения постоянных интегрирования имеют вид:

;

; (4.16)

;

.

Решение этих уравнений относительно позволяет получить:

; (4.17)

.

Поскольку для определения электромагнитных сил, действующих на ротор, необходимо и достаточно знание картины поля и токов в зоне 1, то определенность и нет необходимости.

Комплексные амплитуды составляющих плотности токов можно теперь записать в виде:

(4.18)

Комплексная амплитуда напряженности вторичного магнитного поля равна:

. (4.19)

Из выражения (4.18) видно, что если устремить к бесконечности

; (4.20)

;

. (4.21)

Таким образом, при стремящемся к бесконечности, составляющая плотности тока стремится к нулю. При , а результирующее поле в зазоре стремится к нулю.

Активная составляющая плотности тока с ростом сначала растет, при достигает максимума и далее уменьшается, стремясь к нулю, а реактивная составляющая растет, стремясь к предельному значению

(4.22)

плотности размагничивающего тока.

4.2. Учет реальных особенностей машины. Магнитное число Рейнольдса

При решении задачи было принято, что толщина электропроводящего слоя равна толщине воздушного зазора и сталь сердечников не насыщена. В реальных конструкциях толщина слоя металла меньше воздушного зазора, сталь сердечников может быть насыщенной и на них могут быть зубцы. Для того чтобы можно было использовать полученное решение, приведем реальную конструкцию к расчетной модели с толщиной слоя, равной . Причем магнитное сопротивление электропроводящего слоя на полюсном делении должно быть равно магнитному сопротивлению на полюсном делении реальной машины, т.е.

В соответствии с рис. 4.2

; (4.23)

(4.24)

Приравнивая (4.23) и (4.24), найдем являющуюся коэффициентом приведения.

(4.25)

где не что иное как коэффициент насыщения стали . C учетом этого

. (4.26)

Рис. 4.2.

В дальнейшем будем его обозначать как – коэффициент приведения магнитной индукции и расчетной модели.

Если вылеты находятся за пределами индуктора, то для этой зоны , коэффициент ,, а .

Для реальной конструкции магнитное число Рейнольдса

. (4.27)

Комплексная амплитуда индукции вторичного магнитного поля

.

Если вылеты отсутствуют () т.к. .

При этом

(4.28)

Из сопоставленных выражений для (4.18) и (4.28) видно, что в машине без вылетов тангенциальная составляющая плотности токов больше.

4.3. Определение электромагнитных сил

Электромагнитные силы, действующие на электропроводящий слой, могут быть определены в неявнополюсной конструкции по первичному полю и плотности вторичного тока в виде:

1. Тангенциальная составляющая

(4.29)

Подставим выражение для , интегрируем и получаем

(4.30)

После выделения реальной части и преобразований можно получить

(4.31)

где

Электромагнитный момент равен:

. (4.32)

На рис. 4.3 представлена зависимость , которая является типичной для индукционных машин.

Так же, как и в асинхронных машинах, максимум момента не зависит от сопротивления вторичной обмотки.

Рис. 4.3.

2. Аксиальная составляющая силы

(4.33)

Представляют интерес наибольшее значение сил. Это имеет место, если , то есть в машине без вылетов, а , т.е. в машине при . В этом случае

(4.34)

Из сопоставлений выражений для тока , и видно, что аксиальная составляющая силы определяется реактивной составляющей тока. С ростом аксиальная составляющая монотонно растет, стремясь к значению, определяемому по энергии поля, проникающей через торец площадью , то есть

(4.35)

Для симметричной машины силы, обусловленные токами правой и левой частей, одинаковы и уравновешиваются (в этом можно убедиться, если интегрировать при определенной аксиальной силе в пределах от до ).

Аксиальная составляющая силы применяется, например: как подъемная в линейных машинах и должна учитываться при проектировании электрических машин с несимметричным проводящим слоем в рабочем зазоре.