1.8. Основные допущения

Для выявления основных свойств и характеристик электрических машин необходимо достаточно точное знание электромагнитных полей в них или их интегральных параметров цепей машины, которые определяются этими полями. При составлении и аналитическом решении дифференциальных уравнений электромагнитного поля не учитываются или учитываются лишь приближенно многие факторы, оказывающие значительное влияние на характеристики машины. Такими факторами, например, являются нелинейность магнитопровода, гистерезисные явления, взаимное влияние полей рассеяния и взаимной индукции, полей в активной зоне и лобовых частях, влияние конструктивных частей на магнитные поля, взаимное влияние полей по различным осям и т.д.

При записи и решении уравнений считаются известными полностью геометрия машины, свойства материалов, из которых она выполнена, скорость перемещения подвижных частей или внешние силы и вращающие моменты, действующие на эти части, скорости перемещения щеток в машинах со скользящими контактами, начальные условия для переходных процессов, граничные условия на поверхностях области электромагнитного поля машины.

Возможности методов исследования электромагнитных полей в электрических машинах в конечном счете определяет принятие тех или иных допущений [1], но некоторые из них являются общими для применяемых методов. Они сформулированы профессором А.В. Ивановым-Смоленским – крупнейшим и признанным специалистом по физическому моделированию [12]. Это следующие допущения:

1. Пренебрежимо малы по сравнению с ЭДС электромагнитной индукции:

а) контактные ЭДС, возникающие в пограничном слое между соприкасающимися проводниками различного химического состава;

б) ЭДС Томпсона, появляющиеся в проводнике из-за градиента температуры;

в) ЭДС Холла, образующаяся в проводнике с током, помещенном в магнитном поле;

г) ЭДС Толмена, появляющиеся при ускорении проводящего элемента среды или при его вращении из-за центробежного ускорения.

2. Пренебрежимо малы по сравнению с токами проводимости проводника:

а) токи проводимости в диэлектриках;

б) конвекционные токи, возникающие при движении зарядов вместе со средой.

3. Пренебрежимо малы токи смещения и запаздывания в распространении электромагнитных волн в пределах области поля, что позволяет считать электромагнитное поле квазистационарным.

4. Линейная скорость подвижных сред в машине весьма мала по сравнению со скоростью света.

5. Влияние механических напряжений на магнитную проницаемость и электрическую проводимость материалов и размеры сред пренебрежимо малы.

6. В изучаемых переходных или установившихся режимах температура сред во время опыта изменяется настолько незначительно, что параметры и размеры сред можно считать независящими от температуры.

При аналитическом исследовании полей и применении методов математического моделирования количество допущений увеличивается, т.е. принимаются дополнительные допущения и ограничения, учитывающие конкретные условия, которые при решении задач оговариваются особо.

Следует отметить, что допущения, сформулированные А.В. Ивановым-Смоленским (все или некоторые из них), часто используются при решении электродинамических задач без специального обоснования и ссылок, полагая их, по-видимому, общеизвестными.

При принятых допущениях система уравнений электромагнитного поля становится определенной, если известна геометрия границ областей, в которых исследуется электромагнитное поле и условия на граничных поверхностях, а при исследовании переходных процессов – и начальные условия во всех точках сред или на границах.

Как правило, исследуемые области состоят из различных веществ с разными электрическими и магнитными свойствами. При этом уравнение электромагнитного поля приходится решать для каждой области. При решении этих уравнений необходимо знать распределение хотя бы одной компоненты поля на внешние границы рассматриваемого объекта и учесть условия на внутренних границах сред с различными веществами.

К внешним границам относятся границы, отделяющие среду или частичную область поля рассматриваемого объекта от внешнего пространства, к внутренним границам – границы, отделяющие одну среду или частичную область поля от другой среды или частичной области внутри рассматриваемого объекта.

Граничные условия, с помощью которых задаются извне электромагнитные процессы, определяются профессором А.В. Ивановым-Смоленским как активные граничные условия, а граничные условия, зависящие от устройства данной машины – пассивными граничными условиями.

К активным граничным условиям следует относить условия на поверхностях сопряжения внешних электрических цепей с выводами электрической машины, к ним же относятся и внутренние граничные условия, являющиеся следствием аварийных повреждений внутри машины, в результате которых начинается переходной процесс.

Поскольку предполагается, что геометрия машины в переходных и установившихся процессах считается неизменной, то внешние граничные условия на поверхностях, не связанных с внешними электрическими цепями, и в большинстве случаев все внутренние граничные условия остаются неизменными при всех возможных переходных и установившихся процессах в данной машине.

На границах сред для электромагнитного поля при любых физических свойствах материалов при отсутствии на этих границах токовых слоев справедливы следующие граничные условия:

(1.75)

При переходе через границу непрерывны тангенциальные составляющие полей и нормальные составляющие магнитной индукции и плотности электрического тока.

Для векторного потенциала магнитного поля граничные условия могут быть получены из условий (1.75), если учесть, что , и представлены в виде

(1.76)

т.е. на границе должны быть как тангенциальные составляющие векторного магнитного потенциала, так и тангенциальные составляющие .Первое условие вытекает из равенства тангенциальной составляющей напряженности электрического поля, а второе эквивалентно требованию равенства тангенциальных составляющих напряженности магнитного поля.

Граничные условия (1.75) и (1.76) являются удобными при расчетах полей, если в простейшем случае хотя бы на одной границе известна какая-либо компонента электрического или магнитного поля. Однако в электрических машинах в основном приходится иметь дело с токами, которые протекают в фиксированных обмотках индукторов и могут быть измерены с большой точностью. Эти токи в электрических машинах представляют в виде бесконечно тонких токовых слоев, т.е. идеализируют машину, тем самым значительно упрощая значение аналитических выражений. При физическом моделировании в такой идеализации нет необходимости.

При заданных токовых слоях приходится решать задачу по определению полей не только в интересующей области, но и для внешнего по отношению к этой области пространства, которое может содержать свои токовые слои и включать среды с одинаковыми или различными физическими свойствами.

Граничные условия на границе с токовым слоем. Тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля претерпевает скачок, определяемый линейной плотностью тока, а остальные граничные условия остаются теми же, что и в (1.75), т.е.

(1.77)

где – единичный вектор, нормальный к рассматриваемой границе с токовым слоем, направленный от среды 1 в среду 2.

Скалярное произведение определяет тангенциальную составляющую вектора.

Нетрудно видеть, что граничные условия и, следовательно, электрические и магнитные поля, зависят от физических свойств сопрягаемых сред. Например, на границе с диэлектриком, если в диэлектрике отсутствуют токи смещения и токи проводимости, граничные условия для электрического поля