1.10. Уравнения электромагнитного поля в случае совпадения вектора скорости среды с одной из осей координат

В общем случае решение полученных уравнений поля сложно. Нас интересуют некоторые частные случаи, когда решение указанных уравнений упрощается. Во всех этих случаях можно принять, что скорость проводящей среды постоянна и ее вектор направлен вдоль одной из координатных осей. Рассмотрим уравнения поля для этого случая [2].

Система декартовых координат изображена на рис. 1.6. Она является правовинтовой, как это обычно принимается всюду. На рис. 1.6 изображены также единичные векторы, или орты, ,,, направленные соответственно по осям,,.

Пусть вектор направлен по оси(рис. 1.6). Тогда

; (1.88)

и

. (1.89)

Рис. 1.6. Правовинтовая декартова декартова система координат

Рассмотрим сначала уравнение для . Входящее в него выражениеможно преобразовать и развернуть в виде составляющих по координатным осям согласно некоторым общим соотношениям векторного анализа, однаков рассматриваемых частных случаях проще применить непосредственные правила вычисления векторного произведения и ротора.

Для векторного произведения иимеем

(1.90)

или в рассматриваемом случае на основании (1.88)

(1.91)

Ротор некоторого вектора

(1.92)

Полагая имеем согласно (1.91)

;

и поэтому на основании (1.91) и (1.92)

.

Принимая во внимание, что

,

окончательно в рассматриваемом случае, имеем

(1.93)

и поэтому

(1.94)

а при переходе к комплексной форме

(1.95)

Проецируя уравнение (1.95) поочередно на оси ,,учитывая, что

.

Вместо него получаем три скалярных комплексных уравнения:

(1.96)

Определим теперь, какой вид в рассматриваемом случае принимает уравнение для .

Согласно (1.92)

.

Заменив теперь в (1.90) ,, соответственно на множители при , , в предыдущем соотношении и учитывая равенства (1.88) получаем

.

Получим уравнение для в обычной векторной форме, а при переходе к комплексной форме будем иметь

. (1.97)

При проецировании этого уравнения на оси ,,принимая во внимание, что

, (1.98)

получаем три скалярных комплексных уравнения:

(1.99)

Как видно из сравнения (1.96) и (1.99) уравнения для имеют более сложный вид, чем уравнения для , так какв последние два уравнения (1.99) входят по две неизвестные компоненты . Поэтому сначала необходимо решить первое уравнение (1.99) и затем полученное значение подставить в последние уравнения (1.99) в качестве уже известной величины, после чего известные члены левых частей этих уравнений можно перенести в их правые части. Однако ввиду более сложной формы известных правых частей этих уравнений их решение усложняется.

Последние члены левых частей уравнений (1.96) и (1.99) имеют аналогичный вид. Поэтому левые части этих уравнений в рассматриваемом частном случае также подобны и по аналогии с (1.97)

(1.100)

Скалярные комплексные уравнения для составляющих приобретают вид:

(1.101)

Правые части этих уравнений написаны в соответствии с (1.87), Как видно, уравнения для составляющих также имеют более сложный вид, чем для составляющих.

В случае цилиндрических и других криволинейных координат дифференциальные уравнения для составляющих ,, и ,, по координатным осям имеют значительно более сложный вид. Поэтому их здесь не рассматриваем и в частных задачах, которые, разбираются ниже, будем прибегать непосредственно к уравнениям Максвелла (1-49).