1.6. Уравнения электромагнитного поля и их решение

При решении любых задач электродинамики уравнения Максвелла являются фундаментом исследований. Как указывалось выше, для электромагнитного поля, написанные в дифференциальной форме, они имеют следующий вид:

(1.49)

где – вектор скорости движения среды относительно выбранной системы координат; – плотности энергии электрического и магнитного полей.

В электропроводящих средах, в которых токи проводимости намного больше токов смещения, токами смещения можно пренебречь.

Вместе с этим в электропроводящих средах отсутствуют и свободные электрические заряды, поэтому нет и конвективных токов.

С учетом сказанного, уравнение Максвелла для электропроводящих сред может быть записано в виде

(1.50)

В первом уравнении плотность тока представлена состоящей из плотности тока, вызванного исключительно электромагнитными процессами в данной электропроводящей среде, а – сторонняя плотность тока, обусловленная сторонними по отношению к рассматриваемой среде источниками ЭДС.

В уравнениях (1.50) , и инвариантны по отношению к системе координат, т. е. не зависят от неё, а величина напряженности электрического полязависит от выбора системы координат. В системе координат, неподвижной относительно проводящей среды,и соответственно. Поскольку плотность тока не зависит от выбора системы координат, то при переходе от одной системы координат в другую меняется напряженность электрического поля.

Таким образом, для системы координат, движущейся вместе с электропроводящей средой, и, следовательно,В электрических машинах принятоназывать напряженностью поля ЭДС трансформации, а () – напряженностью электрического поля, обусловленной результирующей ЭДС. Вся величинаназывается результирующей или полной напряженностью электрического поля, обусловленной результирующей ЭДС.

Следует заметить, уравнения Максвелла (1.49) и (1.50) определяют зависимость между векторами электромагнитного поля и ее энергией в данной точке.

При решении задач обычно полагают известными , и , неизвестны,, и . Из системы уравнений (1.50) основными являются первые четыре. Поэтому эта система уравнений полностью с точностью до постоянных интегрирования определяет все неизвестные. Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. Учитывая, что в дальнейшем часто придется пользоваться тремя первыми уравнениями системы уравнений (1.50), целесообразно записать их в компонентах декартовой и цилиндрической координатах.

В декартовых координатах первое уравнение имеет вид:

(1.51)

где ,,– орты, откуда

(1.52)

.

Второе уравнение записывается по аналогии с (1.51),

(1.53)

.

Третье уравнение в декартовых координатах:

; (1.54)

В цилиндрических координатах первое уравнение имеет вид:

(1.55)

.

Второе уравнение:

(1.56)

Третье уравнение в цилиндрических координатах:

. (1.57)

1.7. Дифференциальные уравнения для отдельных векторов электромагнитного поля

Для определения какой-либо из величин , , или система уравнений (1.50) решается относительно искомой неизвестной. В результате решения могут быть получены четыре уравнения соответственно для векторов, , и [2]. Магнитная индукцияи связаны простым соотношением. Это позволяет ограничиться рассмотрением уравнений только для , и . Если одна из этих величин определена, то две другие можно найти по соответствующим уравнениям системы (1.50). Несмотря на это, представляется целесообразным получить дифференциальные уравнения для ,, и для часто вводимого при решениях векторного потенциала магнитного поля.

Уравнение для напряженности магнитного поля . Для выделенияиз системы уравнений необходимо выполнить дифференциальную операциюнад первым уравнением системы (1.50), то есть:

(1.58)

где, как известно из векторного анализа, ;

- дифференциальный оператор Лапласа:

Поскольку, то:

(1.59)

Если учесть, что ,и, то можно получить:

. (1.60)

Уравнение для . Выполняя операциюнад вторым уравнением системы (1.50) и учитывая, что в электропроводящей среде свободные электрические заряды отсутствуют и, можно получить

Далее при учете, что , получается

,

и далее, подставляя , можно записать

; (1.61)

Уравнение для плотности тока . Производя над плотностью тока операциюдважды и, учитывая, что, при последующем преобразовании получается:

откуда

(1.63)

При сравнении выражений (1.61), (1.62) и (1.63) видно, что уравнение для более сложно, чем дляи, т. к. в уравнении для (1.63) присутствует еще и неизвестная , которую исключить не удается.

Если среда неподвижна, т. е. , дифференциальные уравнения (1.61), (1.62), (1.63) упрощаются и принимают соответственно вид

(1.64)

(1.65)

(1.66)

Уравнение для векторного магнитного потенциала. Векторный магнитный потенциал должен удовлетворять условию

. (1.67)

Этот вектор можно считать универсальной величиной, которая полностью характеризует электромагнитное поле, когда скалярный потенциал электрического поля . Связь векторного потенциала магнитного поля сможет быть просто найдена из второго уравнения системы (1.50)

(1.68)

Исходя из уравнения (1.68), можно утверждать, что, поскольку является операцией дифференцирования по пространственным координатам, тои могут отличаться друг от друга только постоянными, которые не зависят от координат. Однако такие постоянные никаких физических процессов не вызывают и их можно не рассматривать. Из выражений идействительно следует, что постоянные во всем пространстве составляющие векторовине создают соответственно магнитного поля и электрического тока не вызывают. Поэтому можно, не учитывая постоянные составляющиеизаписать

. (1.69)

Учитывая, что и используя уравнение , можно получить

При отсутствии свободных электрических зарядов скалярный потенциал электрического поля . При этомЭто позволяет записать дифференциальное уравнение для векторного магнитного поля

. (1.70)

Уравнение (1.70) может быть получено и из уравнения (1.61) заменой после несложных преобразований.

В уравнениях (1.60), (1.61) и (1.70) плотность стороннего тока можно считать известной. В левой части имеется только один неизвестный вектор электромагнитного поля. Если скорость среды и кроме этого электромагнитные величины не меняются во времени, получаются уравнения Пуассона и Лапласа

, (1.71)

, (1.72)

, (1.73)

, (1.74)

которые определяют стационарные поля в неподвижной среде.

Уравнения для ,,иявляются векторными. Поэтому каждое из них в общем случае распадается на три отдельных скалярных уравнения, причем каждое из уравнений действительно для одной компоненты вектора.

Решение дифференциальных уравнений в частных производных для ,,ис учетом граничных условий в общем случае представляет весьма трудную задачу, которая в конкретных случаях может решаться применением различных методов при определенной идеализации задач введением упрощающих допущений, которые, облегчая решение, не должны оказывать существенного влияния на решение, то есть не должны сильно искажать реальную картину электромагнитного поля.