1.4. Формула Остроградского – Гаусса

Пусть – некоторая функция, а– замкнутая поверхность, ограничивающая объём. На отрезке1-2 (рис. 1.4), параллельном оси , функция является функцией одного аргумента. Интегрируя вдоль этого отрезка, получим:

где и– значения функциина концах рассматриваемого промежутка.

Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок1-2. Пусть – площадь поперечного сечения этого цилиндра (величина положительная). Умножим предыдущее соотношение на . Так как есть элементарный объём , заштрихованный на рисунке, то в результате получится:

Рис. 1.4.

,

где – часть объёма, вырезаемого из него поверхностью цилиндра. Пустьиэлементарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности, а и – единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности . Тогда:

,

а поэтому или корочегде поверхностный интеграл распространён на сумму площадоки. Весь объёмможно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим:

(1.45)

Интеграл слева распространён по всему объёму , справа – по поверхности, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно написать для осейи.

Возьмём теперь произвольный вектор и применим к его компонентам соотношение (1.45). Получим:

и аналогично для компонент и. Складывая эти соотношения, найдём:

или

Эту формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде:

Смысл её заключается в том, что полный поток вектора через некоторую поверхностьравен суммарной алгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.

Если объём бесконечно мал, то величинавнутри него может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к пределу, получим:

.

Предельный переход надо понимать в том смысле, что область должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы поверхности, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можно принять за исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладает преимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выбором координат.

1.5. Теорема Стокса

По определению ротор (вихрь) некоторого вектора [11]:

(1.46)

Зная ротор вектора в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру, ограничивающему, (контур также может быть не плоским). Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы(рис. 1.5). Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (1.46) циркуляция векторапо контуру, ограничивающему, может быть представлена в виде.

(1.47)

где – положительная нормаль к элементу поверхности.

Зная, что циркуляция по некоторому контуру равна сумме циркуляций по контурам, содержащимся в данном, то можно просуммировать выражение (1.47) по всем , и тогда получим циркуляцию векторапо контуру, ограничивающему:

.

Осуществив предельный переход, при котором все стремятся к нулю (число их при этом неограниченно растёт), придём к формуле:

(1.48)

Соотношение (1.48) носит название теоремыСтокса. Смысл её состоит в том, что циркуляция вектора по произвольному контуруравна потоку векторачерез произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.

Рис. 1.5. К выводу теоремы Стокса