6.3. Элементы квантовой статистики

1) Понятие о квантовой статистике.

Осн. Задачей кв. статистики является изучение поведения системы из большого кол-ва частиц, подчин-ся закону кв. механики. Кв. стат-ка осн-ся на принципе не различимости тождественных частиц. Для описания системы из N частиц в кв. стат-ке исп-ся 6N мерное пространство – фазовое пространство. В этом пространстве для описания системы используется 6N переменных. 6N=3N_q+3N_p, где N_q – пространственные координаты, N_р –значения импульсов. Каждому м.к. состоянию системы в этом пространстве соотв. точка. Выделим в этом пространстве элем. фазовый объём: dqdp=dq₁…dq_Ndp₁…dp_N. dW= f(q,p)dqdp – вероятность т.ч. точка фазов. пространства попадает в элемент фазов. объёма dqdp (вероятность реализации какого-то состояния м.к. системы). W=f(q,p)dqdp, f(q,p) – функция распределения. Она должна подчиняться условию нормировки f(q,p)dqdp=1. С пом. f можно определять сред. значение физ. величин описывающих состояния системы: <L(q,p)>= L(q,p)f(q,p)dqdp.

2) Распределение Ферми-Дирака.

При Т=0 К в каждом из энерг. состояний энергия которых Е_i < E_F(0) – энергия Ферми, электроны располагаются по одному на каждом уровне или по 2 с антипараллельными спинами. (РИС36). Общее число N заполненных уровней = N/2, <n_i> - средние числа заполнения, E_F – значение энергии Ферми – макс. значение кинет. энергии поступат. движения электрона на верхнем заполненном уровне. При Т0 f(E)=1/(exp[(E_i-E_F)/kT]+1) (1) <n_i>=2/(exp[(E_i-E_F)/kT]+1) (2). Если рассматривать частный случай при Т=0 К и Е_i< E_F  f(E)=1. При Е_i> E_F  f(E)=0. Распределение 1 и 2 лежат в основе статистики Ферми-Дирака. Частицы подчиняющиеся этим распределениям называются фермионами. К ним относятся все частицы с полуцелыми спинами, т.е. m_s=±1/2. Совокупность электронов в металлах и п/п-ах можно рассм. как электронный газ. Разл. вырожденный и невырожденный электронные газы и для них используются разл. распределения. Если температура такова, что kT<<E_F – вырожденный газ –распределение Ферми-Дирака. Если kT>>E_F – то невырожденный газ – распределение Максвелла-Больцмана. В металлах значению E_F соотв. температура Ферми Т_F10⁴ К. Для электронного газа в металлах исп. Распред. Ферми-Дирака, т.к. Т_F>>T_пл.. В п/п n10⁶-10²⁰ (n-концентрация), а в металлах n10²⁸. Но Е_F~n^2/3 E_F и соотв. Т_F значит меньше kT. Состояние электронного газа в п/п невырожденное и описывается распределением Максвелла-Больцмана.

6.4 Электропроводность металлов.

1. Классическая теория электропроводности.

Носителями тока являются электроны. В металлах электроны образуют электронный газ, поведение которого сходно с поведением идеального газа. По МКТ <U>=(8kT)/m_e1,15•10¹⁵ м/с. – скорость хаотичного теплового движения электронов. j=n|e|<V> - плотность тока, n≈10²⁸ м^-3; j=10⁷ A/м². Получим <V>=1,5•10^-4 м/с – средняя скорость движения заряда.

Пусть в проводнике существует электрическое поле с напряженностью Е=const. Тогда на заряды будет действовать кулоновская сила и а=F_кл/m=|e|E/m. В конце свободного пробега электрон имеет скорость V_max=а<t>=|e|E<t>/m.

<V>=(V_max+0)/2=|e|E<t>/2m – средняя скорость электрона.

<t>=<l>/(<U>+<V_д>)=<l>/<U>; j=n|e|<V>=n|e|²E<l>/2m<U>; j=E – закон Ома в диф форме. = n|e|²<l>/2m<U> - удельная проводимость.

1. Зависимость от температуры. <l> очень мало, <U>~√T, т е ~T^-1/2 следовательно R~√T, но опыт показывает, что R~T.

2. При попытке привести расчетное зн-ние  в соответствие с экспериментальным необходимо помнить, что <l> должно быть порядка размеров кристаллической решетки, что неразумно, т к в этом случае e свободно проходит сквозь всю решетку.

2. Квантовая теория электропроводимости.

Эта теория основывается на квантовой механике и распределении Ферми-Дирака. =ne²<l_F>/m<U_F>. <U_F> - средняя скорость движения е, обладающего энергией Ферми, <l_F> - средняя длина свободного пробега этого е. Результаты расчетов полностью соответствуют эксперименту. E_F(0) очень слабо зависит от Т следовательно <U_F>=const. А <l_F>~T^-1, следовательно ~ T^-1 и R~T. Механизм электропроводности: движение е рассматривается как волновой процесс. В случае идеальной кристаллической решетки электрические волны огибают узлы и металл не оказываект току сопротивление. В реальных решетках эл волны испытывают рассеивание на неоднородностях решетки, что и объясняет сопротивление.

3.Сверхпроводимость.

При определенных температурах T=T_кр в-во переходит в сверхпроводящее состояние без сопротивления (R=0) (Рис37). Возникает ток, который не прекращается при отключении магнитного поля. Св-ва сверхпроводников: 1) T_кр = 0,14 К для Ir и для Nb T_кр=9,42 К. 2) В 1986 создали матераиал для которого T_кр>30 К. Сейчас T_кр≈-180°С. 3) стр-ра решетки, мех и оптические св-ва в сверхпроводяем состоянии не изменяются. Сильно изменяются магнитные и тепловые св-ва, следовательно магнитные поля и сильный ток могут вывести в-во из сверхпроводящего состояния.

Опыт Мейснера: сверхпроводник выталкивает магнитное поле и внутри сверхпроводника В=0 (Рис38) |B_i|=|B₀|. Магнит будет зависать в воздухе. По теории сверхпроводимости утверждается, что е при низких температурах подвержены притяжению и образуют куперовские пары из е с противоположно напр спинами. Бозоны в основном состоянии могут накапливаться в большом кол-ве и их трудно перевести в возбужденное состояние. Поэтому ток сверхпроводимости обусловлен дв-нием куперовских пар. На квантово-механическом языке притяжение между е объясняется как результат обмена между этими фотонами. Е приближаются на расстояние 10^-4 см. При низких температурах преобладает притяжение, а при T> T_кр преобладает отталкивание и сверхпроводимость исчезает.