3.6. Уравнение Шредингера для потенциального барьера. Туннельный эффект.

Рис. 16

U={∞, x<0; 0, 0xl; ∞, x>l}

Для классической м.к. частицы, при Е>U возможно её прохождение через барьер, а при E<U, барьер не преодолим. Для м.к.ч. при Е>U возможно отражение от потенциального барьера, я при Е<U возможно прохождение через потенциальный барьер. Прохождение через потенц. барьер при Е<U называется туннельным эффектом.

I: ∂²ψ/∂x²+(2m/ħ²)Eψ=0; ψ₁(x)=A₁e^-ikx+B₁e^ikx.  k=√(2me)/ħ

Первое слагаемое A₁e^-ikx описывает отражённую волну, а B₁e^ikx описывает волну, проходящую через барьер.

II: ∂²ψ/∂x²+(2m/ħ²)(E-U)ψ=0; q=√((2m/ħ²)(E-U))=i, где =√((2m/ħ²)(U-Е)). Общее решение: ψ₂(x)=A₂e^+x+B₂e^-x. Рассмотрим случай высокого и широкого барьера. l>>1; ψ₂(x)=B₂e^-x.

III: ∂²ψ/∂x²+(2m/ħ²)Eψ=0; ψ₃(x)=A₃e^-ikx+B₃e^ikx. ψ₃(x)=A₃e^-ikx; B₂=0.

Рис. 17

Туннельный эффект объясняется с помощью соотношения неопределённости. ΔpΔxh; если Δx=l, то Δр=h/l; ΔE=Δp²/2m. Для количественного описания туннельного эффекта используется коэффициент прозрачности D=|A₃|/|A₁|. На границе раздела I и II областей: ψ₁(0)=ψ₂(0); ψ₁′(0)=ψ₂′(0). II и III: ψ₂(0)=ψ₃(0); ψ₂′(0)=ψ₃′(0). Коэффициенты В₁,В₂,А₂,А₃ нужно выразить через А. Получить выражение для А₃ и подставить. D=D₀exp((-2/ħ)√(2m(U-E)l)). Туннельный эффект лежит в основе многих явлений физики твёрдого тела. Например: контактные явления на границе раздела 2х полупроводников.

3.7. Уравнение Шредингера для атома водорода в основном состоянии.

При n=1, E=E₁, U=-ze²/4₀r = -e²/4₀r. В этом случае ψ=ψ(r); ψ+ 2m/ħ²(E-U)ψ=0; = ∂²/∂x²+ ∂²/∂y²+ ∂²/∂z²; = ∂²/∂r²+(2/r) ∂/∂r; ∂²ψ/∂r²+(2/r)∂ψ/∂r+2m/ħ²(E-U)ψ=0;

∂²ψ/∂r²+(2/r)∂ψ/∂r+2m/ħ²(E₁+e²/4₀r)ψ=0. Решение будем искать в виде: ψ(r)=Ce^-r/ao; (C/a₀)e^-r/ao- (2/ra₀)Ce^-r/ao+ 2m/ħ²(E₁+e²/4₀r)Ce^-r/ao =0; 1/a₀-2/ra₀+ 2m/ħ²(E₁+ e²/4₀r)= 0; ħ²/2ma₀²- 2ħ²/2mra₀+ e²/4₀r= -E; -e²/4₀r+ ħ²/mra₀= E₁+ ħ²/2ma₀²; Если E₁= -ħ²/2ma₀², то -e²/4₀r+ ħ²/mra₀=0; a₀=4₀ħ²/me²- это выражение совп. с первым радиусом. Отсюда E₁= -ħ²m²e⁴/2m16²₀²ħ⁴= -me⁴/32²₀²ħ²= -me⁴/ 8₀²ħ² совпадает с выражением для энергии атома.

Н по теории Бора.

Найдём вер-ть того, что е может быть обнаружен в интервале от r до r+dr, т.е. в шаровом слое объёма dV=4r²dr.

Рис. 18

dW=|ψ|²dV= C²e^-2r/ao4r²dr; ψ= C²e^-r/ao. Найдём r_max при котором вероятность обнаружения е будет max. dW/dr=0, при r=r_max; -C²(2/a₀)e^-2rmax/ao4r_max²- C²e^-2rmax/ao8r_max²=0; (2/a₀)r_max- 2=0  r_max=|a₀|. Боровская орбита это геом. Место точек в котором с наиб. вероятностью м.б. обнаружен е.

3.8. Решение уравнения Шредингера для н-подобных атомов

Для Н-подобных атомов U(r)= -ze²/4₀r; ψ+ 2m/ħ²(E+ze²/4₀r)ψ=0; ψ=ψ(r,,φ). e находится внутри гиперболической потенц. ямы.

Рис. 19

Результаты решения:

1) Энергия. Уравнение Ш. Имеет решения только при опред. наборе значений энергии: E_n= (-1/n²)z²me⁴/8h²₀², где n- главное квантовое число =1,2,3… E_i= me⁴/8h²₀²= 13,35 эВ – энергия ионизации E_i= E_- E₁.

2) Квантовые числа и их физ. смысл. Уравнение Ш. Имеет решение только при опред. наборе волновых функций ψ=ψ_n,l,ml(r,, φ); n – главное квантовое число, определяет энерг. уровень е в атоме, n=1,2,3… Из решения ур-я Ш. Следует, что момент импульса (орбитальный механ. момент) квантуется L_l= ħ(l(l+1)), l – орбитальное кв. число.

Рис.20. Число l при заданном n принимает значения l=0,1,…,n-1. Из решения уравнения Ш. Следует, что вектор L_l может иметь в пространстве только такие ориентации, при которых его проекция L_lz на заданное напр-е z внешнего магн. Поля принимает квантованные значения L_lz= ħm_l, m_l- магн. квантовое число = 0,±1,±2,…,±l. Наличие магн. кв. числа должно привести в магн. поле к расщеплению уровня с глав. кв. числом n на (2l+1) подуровни. Расщепление энерг. уровней было обнаружено в 1896 г. Зееманом. Каждому значению энергии Е_n соотв. несколько функций ψ=ψ_n,l,ml. Поэтому е может находится в разл. Физ. состояниях имея одно и т.ж. значение энергии Σ(l=0 до n-1)(2l+1)=n².