3.2. Временное уравнение Шредингера

Уравнение движения квантовой механики должно включать в себя волновую функцию. Это уравнение д.б. волновым. В 1926г. Шредингер постулировал уравнение: (-ħ²/2m)ψ+ U(x,y,z,t)ψ= iħ∂ψ/∂t (1) ; m – масса частицы, ψ= ∂²ψ/∂x²+ ∂²ψ/∂y²+ ∂²ψ/∂z², U-потенциальная энергия. Для многих физ. явлений волновая функция ψ и U не зависят от времени. В этом случае решение уравнения (1) м.б. представлено в виде произведения 2 функций. ψ(x,y,z,t)= ψ(x,y,z,t)e^-iωt= |ω=E/ħ|= ψ(x,y,z,t)e^-itE/ħ; (-ħ²/2m) e^-itE/ħψ+ Uψe^-iωt = -i²ħ(E/ħ) e^-itE/ħψ; (-ħ²/2m)ψ+ Uψ= Eψ; ψ+ 2m/ħ²(E-U)ψ=0 – уравнение Шредингера для стационарного состояния.

В теории дифф-х уравнений установлено, что это уравнение имеет бесконечное число решений, из которых посредством выбора граничных условий отбирают решение, имеющее смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волн. функций: Волн. функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Но регулярные решения имеют место только при определённых значениях энергии Е, эти значения называются собственными значениями энергии. Собственные значения могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд.

3.3. Движение свободной частицы

При движении св. частицы U=0 a E=E_k. Рассмотрим движение частицы вдоль оси х. ∂²ψ/∂x²+(2m/ħ²)Eψ=0; решением является ψ=Ae^ikx; k-волновое число=2/λ; A(ik)²e^ikx+(2m/ħ²)EAe^ikx=0; -k²++(2m/ħ²)E=0; E=ħ²k²/2m. Т.к. k может принимать любые значения от 0 до 1, то энергетический спектр является непрерывным и эти значения энергии совпадают со значениями для классической нерелятивистской частицы. E= ħ²k²/2m=|k=2/λ|= ħ²4²/λ²2m= h²4²/4λ²2m=p²/2m.

3.4. Движение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме.

Рис. 14

U={∞, x<0; 0, 0<x<l; ∞, x>l};

∂²ψ/∂x²+(2m/ħ²)(E-U)ψ=0; ψ(0)=ψ(l)=0; для 0<xl: ∂²ψ/∂x²+(2m/ħ²)Eψ=0;

∂²ψ/∂x²+k²ψ=0; общее решение: ψ=Asin(kx)+Bcos(kx); выбор А и В осуществляется из граничных условий.

ψ(0)=0; 0=0+B₂­B₂=0; ψ=Asin(kx).

ψ(l)=0; Asin(kx)=0 имеет место, когда kl=n; n=1,2,3,…; k²=(2m/ħ²)E  E=k²ħ²/2m= n²²ħ²/2ml².

Энергия Е_n частицы в потенциальной яме с беск. высокими стенками

Квантованные значения энергии Е_n называются уровнями энергии, а число n-главным квантовым числом. ψ=Asin((n/l)x). Для определения А воспользуемся условием нормировки: ∫(±∞)|ψ|²dх=1; A²∫(±∞) sin²((n/l)x)dx=1; A=√(2/l); ψ=√(2/l)sin((n/l)x).

3.5.

Рис. 15

Анализ формул:

1) Рассмотрим энергетический интервал между двумя соседними уровнями энергии: ΔЕ_n=E_n+1-E_n= (²ħ²/2ml²)(n²+2n+1-n²)= ²ħ²/2ml²(2n+1) (²ħ²/ml²)n.

Примеры:

а) Для е при различных размерах ямы l~10^-1 м. ΔЕ_n~10^-35n Дж. Энергетические уровни расположены очень тесно, и спектр можно считать непрерывным.

б) е в атоме l~10^-10м; ΔЕ_n~10^-17n Дж 10²n эВ.

2) Частица в яме не может иметь энергию меньшую, чем Е ²ħ²/2ml²

3) Рассмотрим ΔЕ_n/Е_n2/n<<1 (при больших n). Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней, т.е. дискретность сглаживается.