6. Элементы физики твёрдого тела

6.1. Зонная теория кристалла

I. Дальний порядок в кристаллах приводит к тому, что в твёрдых телах существует периодическое электр. поле, которое и определяет структуру кристалла.

II. Это поле изменяет энерг. состояния электронов в твёрдом теле по сравнению с их состоянием в изолированном атоме. Возникновение энерг. зоны объясняется инертным эффектом. (РИС34).

С увеличением энергии ширина разрешаемой зоны увеличивается.

III. Объяснение существования металлов, п/п-в и диэлектриков с т.з. зонной теории.

(РИС35). У металла не все уровни заполнены. При повышении температуры электроны переходят на более высокие уровни и появляется ток проводимости. У п/п-в валентная зона полностью заполнена и ток проводимости проходит в свободной зоне. У диэлектрика запрещ. Зона очень широка и для тока проводимости нужно много энергии.

6.2. Теплоёмкость кристалла

Любой кристалл можно рассм. как систему с 3N колебат. степенями свободы (N – количество атомов). На первую колеб. степень свободы приходиться энергия Е=kT=1/2kT+1/2kT. Внут. энергия кристалла U=3NkТ. Для одного моля вещ-ва число атомов равно числу Авогадро. N=N_A и U=3N_AkT= 3RT. C=dU/dt=3R – теплоёмкость.

Закон Дюлонга-Пти.

Атомная теплоёмкость химически простых тел = 3R и не зависит от температуры. Этот закон справедлив только при высоких температурах. При низких температурах теплоёмкость С зависит от темп-ры и 0 при Т0 К. Дальнейшее развитие теории теплоёмкости было сделано в работах Эйнштейна (1907 г.) и Дебая, в которых учитывалось квантование колебат. энергии.

1) Теория Эйнштейна.

Он рассматривал кристалл как системы не взаимодействующих 3N гармонических осцилляторов, обладающих одинаковой частотой . _n= (n+1/2)ħ - энергия произвольного гарм. осциллятора  _n= nħ+1/2ħ; (1/2)ħ - энергия нулевых колебаний. Предполагая что распределение возможных значений энергии гарм, осцилляторов подчиняются распределению Больцмана: Р=Аехр[-_n/kT]. Эйнштейн получил выражение для средней энергии Г.О. <_n>=1/2∙ħ+ ħ/(exp(ħ/kT)-1) → U=3N<_n>=3/2∙N ħ+3N ħ/(exp(ħ/kT)-1); C=dU/dT; C=3Nħ/(exp(ħ/kT)-1)²∙exp(-ħ/kT)∙ ħ/kT².

а) kT>>ħ. е^х1+х. Для случая высоких температур C=3N(ħ)²/(ħ/kT)²∙1/kT² =3Nk.

б) kT<<ħ. C=3N(ħ)²/kT²∙exp(-ħ²/kT), С~T^-2 C~exp(-ħ/kT).

Теория Эйнштейна предсказывает изменение теплоёмкости при понижении темп-ры по закону C~exp(-ħ/kT). При Т0 С0. Опыт показывает, что при Т0 теплоемкость уменьшается ~ кубу Т.

2) Теория Дебая.

Высказал предпол., что колебания атомов в кристалле не являются независимыми и рассматривал кристалл как систему N взаимодействующих Г.О., обладающих 3N колебат. степ. свободы. В этом случае колебания атома в одном месте решётки вызывает колебания атомов в других местах решётки, что приводит к возн. Упругой волны, которая распространяясь до границы решётки приводит к появл. Отражённой волны и образованию в кристалле стоячих волн. Внут. энергия кристалла U=U₀+9nħ/_max³∙∫(от 0 до _max)³d/[exp(ħ/kT)-1], где _max это макс. частота нормальных колебаний решётки, n=N/V – число атомов в ед. объёма – концентрация, U₀ – внут. энергия нулевых колебаний. Вводится параметр =ħ_max/R – темп-ра Дебая, указывает границы учёта квантования колеб. энергии. C=dU/dT=9nk(T/)³∙∫(от 0 до x_max)e^xxⁿdx/(e^x-1)², где х_max=ħ/.

а) При Т<< С~T³.

б) При Т>> C=3R.

3) Фотоны.

Энергия кристалла U= сумме энергий норм. колебаний решётки: U=Σ(от i=1 до 3Nr)(n_i+1/2) ħ_i, где N – число элем. ячеек в крист. решетке, r – число атомов в элем. ячейках. Из этой формулы видно, что за вычетом энергии нулевых колебаний энергия любого норм. колебания м.б. предст. в виде порций _i=ħ_i. Это порция энергии (квант энергии) получила название фотон.

Свойства фотона:

1) Энергия фотона _i=ħ_i

2) Фотоны обладают импульсом р_ф=ħk, где k – волновой вектор, соотв. норм. колебанию. k=2/λ – волнов. число. В общем случае это векторная величина. р_ф=(h/2)(2/λ); λ=h/p_ф.

3) При обмене фотонами м/у атомами кристалла не соблюдается закон сохранения импульса, т.к. фотоны часть своей энергии могут отдавать крист. решётке. В этом смысле фотон считается квазичастицей.

4) <_i>=1/2∙ ħ_i+ ħ_i/(exp(ħ_i/kT)-1) С другой стороны <_i>= <(n_i+1/2)ħ_i>. <n_i>=1/(exp(ħ_i/kT)-1) <n_i> - среднее число фотонов с частотой _i. Из этого выражения следует, что в кристаллах может существовать неогр. кол-во фотонов с одинак. значением энергии. К фотонам не применим принцип Пауля.