Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:патенты / Сборник патентов_10651
.pdf
является конечной вещественной константой (положительной или отрицательной), то эта конкретная матрица
удовлетворяет как необходимым, так и достаточным условиям для представления сети либо в структуре,
показанной на рис. 8, <Альтернатива II>, где:
или в том месте, где:
Y, = AC A 72 =B ( 21) структура, показанная на рис. 9, C Y 1 3 1 i Y 2 e= AB ( 22) Если A изначально равно
единице, то структура, показанная на рис. 7, сама по себе является требуемым представлением сети, а если
A отрицательно, то его знак можно учесть 45 таким же образом, как и в предыдущем случае.
(c) Если в «положительно вещественной» матрице элементы, расположенные на главной диагонали, имеют
конечное, 50 вещественное, постоянное отношение друг к другу, то мы можем доказать, что эта конкретная
матрица удовлетворяет как необходимым, так и достаточным условиям для наличия сетевого представления
либо в структуре, показанной на рис. 10, где: 55 Y = (A /) B D ( 23) 1 Y 2 = B (+ /V D или в структуре, показанной
на рис. 11, где:
1 Y 1 = B 1 Y 2 =B /1), (D) A A ( 24) в то время как сама решетчатая структура является необходимым сетевым
представлением 60, если указанное соотношение равно единице.
(d) Наконец, если в «положительно вещественной» матрице каждые два ее элемента имеют конечное,
вещественное, постоянное отношение 65, то можно доказать, что указанная матрица удовлетворяет как
необходимым, так и достаточным условиям для наличия сетевого представления в любой из бесконечного
числа эквивалентных структур, причем структуры, показанные на рис. 5 и 8 или рис. 6 и 9 соответственно,
являются предельными случаями.
По меньшей мере еще две структуры имеют большое значение для реализации некоторых «положительных
вещественных» матриц. Речь идет о структурах 7r и T или Z.
(e) Реструктуризация, показанная на рис. 14, Y = все alt = (r -ran 2 = a a Q= (r rn Y 3 = a II = ril Таким образом,
мы видим, что если невырожденная «положительно вещественная» a-матрица такова, что разности (a, am) и
(a% am) являются «положительно вещественными» функциями, и если, кроме того, a сама является
«положительно вещественной» функцией, то эта конкретная матрица удовлетворяет как необходимым, так и
достаточным условиям для наличия сетевого представления Z = P Am = (h h 11) 2 = la Pm = (hn h,,) Z = /A, = h
Таким образом, если невырожденная «положительно вещественная» P-матрица такова, что разности (/ P i) и
(/3,, P) являются «положительно вещественными» функциями, и если, кроме того, /9,,, сама является
«положительно вещественной» функцией, то эта конкретная матрица удовлетворяет как необходимым, так и
достаточным условиям для наличия сетевого представления в T- или Z-структуре.
(g) Обратите внимание, что структуры -r и T, а также две структуры L состоят из двух структур, показанных на
рис. 16 и 17. Первая «принадлежит» к a:s (ее даже нельзя определить с помощью /:s) и определяется
матрицей общих параметров схемы:
1 l 0 1, в то время как последний «принадлежит» к /: S строго аналогичным образом и определяется матрицей
общих параметров схемы:
11 Y I 1 I СТАНДАРТНЫЕ СХЕМЫ СОЕДИНЕНИЯ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ O O' СЕТЬ ИЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
НЕСКОЛЬКИХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ВЕЛИКОБРИТАЦИОННЫХ КОМПОНЕНТОВ a На P-МАТРИЦАХ.
Помимо работы с «положительными вещественными» матрицами a или P, которые могут быть реализованы
описанным выше простым способом, мы можем столкнуться с «положительно вещественной» матрицей,
которая не может быть реализована таким образом, но элементы которой должны быть разделены на
несколько компонентов. При этом каждое семейство компонентов может быть отдельно реализовано в
известную структуру, которую можно считать «принадлежащей» к a:s, поскольку визуально видно, когда эти
функции могут быть реализованы в такую структуру, в то время как /: S не дают такой же ясности. Обратное
верно для T-структуры.
Для того чтобы r-структура была пассивной, каждая из функций Y (показана ниже) должна быть
«положительной действительной» функцией. Функции Y легко найти следующим образом:
) + j (X an) + in x) 25) + Jxm) в r-структуре.
(f) T-структура, показанная на рис. 15, охватывает точно такой же диапазон по отношению к f: s. Z: S (которые
все должны быть «положительными действительными» функциями) этой 35-й структуры легко найти
следующим образом: +j (v-v 1,)) + j (v -v,,n) 3 ( 26) + j Vm). Нам необходимо дополнительно знать, как
соединить эти структуры в единицу, образующую полное сетевое представление всех 75 функций.
Для суммирования семейств α-компонентов схема соединений будет, по сути, выглядеть так, как показано на
рис. 18, при этом отдельные сети компонентов будут соединены параллельно, поскольку они являются
реализациями функций проводимости, а для суммирования семейств P-компонентов схема, по сути,
представлена на рис. 19.
с отдельными компонентными сетями 8 5, соединенными последовательно, поскольку они являются
реализациями функций импеданса.
На рис. 19 трансформаторы, показанные на одном конце, включены для того, чтобы обеспечить равенство
входящих и выходящих токов 90 каждой компонентной структуры.
Однако в симметричной решетчатой структуре трансформатор, как правило, может быть опущен.
В несимметричной структуре компонента установка трансформатора 95 с коэффициентом трансформации 1:1
также не требуется, если входящие и выходящие токи в рассматриваемой структуре компонента равны без
трансформатора 100. С другой стороны, если коэффициент трансформации отличается от 1:1,
трансформатор нельзя опускать.
Кроме того, его нельзя игнорировать, если при этом какая-либо часть сети, представленной на рисунке 1,
будет закорочена, как показано в некоторых примерах ниже.
Там, где используются трансформаторы, очевидно, что каждый трансформатор может быть размещен на
любом из концов конструкции компонента, частью которого он является.
ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЛЮБОЙ «ПОЗИТИВНОЙ РЕАЛЬНОЙ» ИЛИ P-МАТРИЦЫ, ОБЛАДАЮЩЕЙ
ТАКИМИ СВОЙСТВАМИ, ЧТОБЫ ОНА МОГЛА ХАРАКТЕРИЗОВАТЬ ПАССИВНУЮ ЧЕТЫРЕХКОНТАКТНУЮ
СЕТЕВУЮ СЕТЬ, ИМЕЮЩУЮ ТОЛЬКО ДВА ТИПА ЭЛЕМЕНТОВ.
(а) Теперь у нас достаточно материала для полного решения вышеуказанных конкретных случаев, и мы
начнем с того, когда будет обнаружено, что заданная матрица имеет сетевое представление в чисто
реактивной четырехконтактной сети.
В своей теореме о реактивном сопротивлении (Bell System Technical Journal, 1924, Vol 3, p 259) Фостер
показал, что любую скалярную функцию f(x) можно рассматривать как функцию импеданса пассивной, чисто
реактивной сети, при условии, что все нули и полюса лежат на мнимой оси в плоскости А и разделяют друг
друга, т.е. полюса и нули чередуются. Такая функция или ее обратная функция всегда может быть разложена
на частичные доли, и каждому члену может быть дана физическая интерпретация, после чего они
соединяются вместе необходимым образом.
В нашем случае необходимо соблюдение большего количества условий, но условие реальности и 30 условий
остатка, заложенных в определении матрицы «положительных вещественных чисел», оказались как
необходимыми, так и достаточными.
Элементы «положительной вещественной» aor f-матрицы, удовлетворяющие условиям, изложенным в пункте
(а) раздела I выше, имеют общую форму:
( 27) на каждом полюсе должны быть действительными константами, разложение ( 27) упрощается до:
1 k 2 A2 kk A f(X) = k A+ + + ( 28) A A 2 + o)2 k 2 + ( 22 AX + O ()3 где k, ko, k,, k I, и т. д. — вычеты f(,x) в
соответствующих полюсах вдоль границы.
Поскольку f(x) может обозначать любой из трех a: S или A: s, и поскольку каждый член одного и того же набора
из трех функций, как правило, имеет один и тот же знаменатель, для каждой из них возможно разложение,
подобное (28), и мы получаем, рассматривая a:s, скажем:
ko 2 k A 2 k 2 A = k A + + + + A A 2 + WI' A 2 +,2 ' k X 2 +ol/ XI+(o 2 = kol 2 kll A 2 k 2 JX'A %n = kX + + + + À( 29) A
A 2 + Q 2 XI + uz 2 kox" 2 k 1 '1 A 2 k 2:l A a 10 = k"A + + + + _ _ A A 2 +) + ( 7 A 2 _{+,02 Здесь и на протяжении
всего этого описания, когда встречаются аналогичные расширения трех a: s или /: S, разные столбцы, т. е.
ko k' kol 2 k A 2 kl A 2 k I 1 A k A, k 1 A, k"X; -, -,;, etc.
A A) + 'X + (A 2X 2+ %)A 2 + 12 называются семействами компонентов. Члены такого семейства компонентов
образуют элементы матрицы компонентов и называются компонентами a: S или компонентами 3: s
соответственно, а сетевое представление каждого семейства компонентов называется сетью компонентов.
Теперь мы сразу видим, что (29) имеет сетевое представление в структуре, схематически показанной на рис.
18, и если бы (29) были разложениями трех /3: S, то сетевое представление было бы структурой,
схематически показанной на рис. 19, хотя в обоих случаях любая из четырехконтактных компонентных сетей,
показанных на указанных рисунках, может быть заменена двухконтактной сетью.
Структура, представленная уравнением (29), может быть легко построена, поскольку любые два члена
каждого семейства компонентов имеют друг к другу конечное, действительное, постоянное отношение, т. е.
каждое семейство компонентов имеет сетевое представление в любой из бесконечного числа эквивалентных
структур.
Кроме того, эти компонентные структуры представляют собой a A 2 a + a 2 A 22 + a XA 2-4 + + a 2.
b IA 3-' + b AX 2 ' + - + b AX 423,924 423,924 все пассивны, поскольку условия «положительной вещественной»
матрицы, выведенные из рассмотрения таких структур, выполняются; следовательно, мы можем утверждать:
Если заданная «положительная вещественная» матрица a или P такова, что все нули и полюса ее элементов
лежат на мнимой оси в плоскости X, то эта конкретная матрица f 1 l(x) = fna(k) = fo(XL) = удовлетворяет как
необходимым, так и достаточным условиям для наличия сетевого представления в чисто реактивной
структуре в комбинации, показанной на рис. 18 или 19 соответственно.
Для иллюстрации рассмотрим элементы «положительной вещественной» матрицы: 15 X 6 + 89 X 4 + 87 Th + 9
2 X 1 + 8 X' + 6 X 19 i X + 91 X 4 + 98 X 2 + 9 2 X' + 8 X' + 6 X 8 X 1 + 30 XA + 36 X 2 + 6 2 X' + 8 X' + 6 X, функции
которой после разложения по (29) становятся:
X 8 x 12 X fn(x = + + + + 2 2 X Xi 2 + 1X+ 3 19 X 3 4 A 2 X fnn(x A) = + + + 2 2 X X 2 + 1 X 2 + 3 1 2 X 4 X f x) = 4 X +
I+ A X 2 + 1 2 + 3 ( 1) Предположим, что f(x): S — это три a: s. Таким образом, мы имеем:
x 3 X 12 X = + + + = все, + a 1,' + 1 a 1111 +r Lv I 2 2 A X 2 + 1 IX+ 3 19 x 3 4 X 2 X an = + + + = an + a"In+ a 1 I"nn +
aua 2 2 x X 2 + 11X 2 + 3 1 2 X 4 X ami = 4 + = a Ir+ a 11 l + a 11 m + 4 a-I Vln x X 2 + 1 x 2 + 3 Выберем
r-структуру для семейства левых компонентов, которая равна всем, a&n и ain 1. Тогда емкости этой структуры
(из уравнения (25)) равны:
7 7 Y = -a = 4, x = -x, т. е. C, = 2 2 2 19 11 11 Y 2 = an-a' = X-4, X = k, т. е. C 2 = 2 2 2, Y = a-, = 4, X, т. е. C, = 4.
Функции используются в текущем виде, поэтому коэффициент трансформации будет 1:1.
Во втором семействе компонентов функции управляющей точки равны, поэтому наиболее удобно
использовать симметричную решетчатую структуру, как показано на рис. 10; но поскольку структура будет
симметричной, трансформатор можно опустить. Таким образом, рассматривая Y:
3
1 1 2 X X 2 X 3 1 1 т.е. L,= 2 Y 2 = воздух +am= + =-x т.е. L 2 = 2/, 40 2 A X 2/,X Для третьего семейства
компонентов общий параметр схемы C равен нулю, как видно из уравнений (10) выше.
С другой стороны, сетевое представление 45 этого семейства не может быть таким, как показано на рис. 16,
поскольку все функции не равны. Требуется трансформатор, и выбранная структура показана на рис. 5, в
котором Y 2, однако, 50 равен нулю, как видно из уравнений (19).
Коэффициент трансформации трансформатора и Y находится с помощью уравнений (10), 423,924 423,924 1
a'111 i выше и (19). Таким образом, -:1 =:1 = D a II Il 1 (a III"n)2 2:1 и Y, = = BD III=, 4 X X 2 + 1. Инвертируя это
выражение, соответствующее импеданс Z, равно -+, 4 X 4 4 X 1, что обозначает индуктивность (L=-) 4,
включенную последовательно с конденсатором (C = 4).
Теперь перейдём к последнему семейству компонентов. Снова выберем структуру, подобную показанной на
рис. 5. Тогда получим для коэффициента трансформации:
1 La"n 1 : 1 =: I =: 1, i e1:3.
D a I Vl 3 1 ( 1 I)2 4 A Y, = - = =, т.е. BD Iv, 3 U 2 + 9 3 X 2 + 9 соответствующее сопротивление Z, равно = 4 X 3 X
1 +, что означает индуктивность 4 4/,X 3 (L =-) последовательно с конденсатором 4 (C = 4/1).
Y" = -= Y _ ID C (a"Ii) (a'I 1 nn)(av,11) l i e соответствующее сопротивление 3 X 2 + 9 3 X 2 + 9 3 Ak 1 Z 2 равно =
= +, что 2 X 2 219 X означает индуктивность (L= /2) последовательно с конденсатором (C = 2/9).
Поскольку функции предполагались функциями проводимости, четыре компонентные структуры должны быть
соединены параллельно, что приводит к общей сетевой структуре, показанной на рис. 20.
2 Ad X' 2 A,2 l Af(x) = AAX A+ Ao + + + xl+c, Al +e С помощью этих двух процедур мы удалили полюс из начала
координат и переместили все нули и полюса с мнимой оси на отрицательную действительную ось, тем самым
уменьшив их число вдвое, как показано на рис. 22, и если (28) обозначает функцию точки приложения силы
чисто реактивной структуры, то разделение Обратите внимание на необходимость трансформаторов, как
указано. Те, которые имеют соотношения.
Конечно, необходимо сохранить соотношение, отличное от 1:1, но, кроме того, в данном конкретном случае,
если трансформатор 1:1, содержащийся в верхней компонентной структуре, будет исключен, то индуктивная
катушка нижнего горизонтального аллюзия симметричной решетчатой структуры будет закорочена, и
структура в целом не будет истинным сетевым представлением всех заданных α-функций.
Приведенный выше пример был подробно рассмотрен, чтобы наглядно показать шаги, которые необходимо
предпринять для фактической реализации составных семейств членов, полученных в результате разложения
функций. В последующих примерах будет использоваться аналогичная процедура, которая станет очевидной
специалистам в данной области.
( 2) Теперь предположим, что f(x):s — это три A: s. Тогда сетевое представление, например, будет таким, как
показано на рис. 21, и снова обратите внимание на необходимость 50 для трансформаторов.
(b) Вышеописанный метод реализации легко может быть распространен на все те «положительные
вещественные» a- или f-матрицы, элементы которых таковы, что все их полюса и нули элементов,
расположенных на главной диагонали, лежат на отрицательной вещественной оси. Нули и полюса главных
элементов взаимно разделены друг от друга. С другой стороны, нули элементов, расположенных на
вторичной диагонали, лежат в любой точке вещественной оси.
Можно доказать, что такая матрица всегда имеет сетевое представление в диссипативной четырехполюсной
сети, имеющей только два типа элементов.
Сначала рассмотрим случай, когда последовательность нулей и полюсов элементов, расположенных на
главной диагонали «положительной вещественной» матрицы или 13-матрицы, начиная с начала координат и
включая его, выглядит следующим образом: ноль-полюс-ноль-полюс и т. д.
Начнём с функции (27) и преобразуем её в форму, соответствующую рассматриваемому здесь случаю 75.
Таким образом, умножим её разложение, т.е. (28), на A с обеих сторон знака равенства и выполним
подстановку X'-=l. Кроме того, напишем A:s вместо k:s; и c: S вместо 0)2: s, и мы получаем: 80 ( 30) свойство
по-прежнему выполняется нулями и полюсами 90 ( 30), которая, таким образом, может представлять собой
функцию управляющей точки диссипативной структуры, имеющей только два вида элементов. Все нули и
полюса теперь лежат, однако, на отрицательной действительной оси в последовательности 95, исходящей из
начала координат и включающей его, таким образом: ноль-полюс-ноль-полюс, 423,924 и т. д. Заметим, что
константа A O — это не что иное, как отношение постоянных членов числителя и знаменателя исходной
функции до разложения. Естественно, если в числителе исходной функции нет постоянного члена, то A,- не
появится.
Кроме того, обратите внимание на форму дробей в 2 A 1 X 2 A 2 X Aoc 1 A+c_ 2 81 A '2 BX %an=BA+Bo X+ +
A+cl A+c 2 2 CX 1 A 2 C 2 X aa=CA +Co + + A+c, A+co. A:s, B:s, C:s и c:s в (31) численно совпадают с k:s, k:s, k:s
и o):s соответственно из (29), хотя их значение изменено, поскольку из A:s, B:S и C:s только члены семейства
левых компонентов (AX, BX, CA) являются остатками. Остальные — только обычные действительные
константы. Кроме того, в то время как :2 S представляют собой сопряженные точки вдоль мнимой оси, c:s —
это отдельные точки вдоль отрицательной действительной оси.
Однако это не противоречит тому факту, что функции уравнений (31), как и (29), всегда могут быть
реализованы в виде комбинации стандартных структур, которые должны быть соединены в соответствии с
диаграммой 18, поскольку только переменная подвергается выполненным преобразованиям, а не константы.
В этом случае, однако, в сетевое представление, которое должно быть получено из вышеуказанных
разложений, содержатся только элементы сопротивления и емкости, а также необходимые трансформаторы.
Если (31) представляет собой набор расширенных P: s, то представление сети будет соответствовать
диаграмме 19, и в сеть будут включены только элементы сопротивления и индуктивности, а также
необходимые трансформаторы.
В обоих случаях любая из компонентных структур может представлять собой двухполюсную сеть, однако это
происходит, когда в любом семействе компонентов члены, соответствующие передаточной функции и одной
из функций точки приложения силы, равны нулю.
Для иллюстрации рассмотрим элементы «положительной вещественной» a-матрицы:
A;+ 20 A 2 + 16 A+ 2 1 2 A+ 3 Ad+ 1 AX + 22 A' + 27 X + 8 2 A 2 + 3 A + 1 A 3 + 15 A + 14 A + 3 f.o = 2 AX + 3 A+ 1 J
разложение. В этом случае функцию необходимо разложить способом, показанным на рисунке 10.
Af(x) — наша новая функция, и, поскольку все a:s или P:s можно разложить аналогичным образом, мы
получаем, отбрасывая штрих в A и рассматривая набор a:s, скажем, систему уравнений 15:
+ ( 1 +q _ ( 81) которые функции, после разложения согласно ( 31), становятся:
A 4 5 A 5 A k поток) =-+ 2 + + 2 2 A+ 1 A+ i A 5 A 2 I fn) = -+ 8 + +, 2 2 Ak+ 1 A+ 1 A 1 5 A 3 A f = -+ 3 + + 2 2 A+l A+
1 J ( 1) Предположим, что факс,: S — это три a:
Затем, с помощью вышеизложенного, их полное сетевое представление, например, выглядит так, как
показано на рис. 23, хотя, естественно, каждую из различных компонентных структур можно заменить
какой-либо другой эквивалентной структурой.
В этом случае трансформатор с коэффициентом трансформации 1:1 можно исключить.
( 2) Теперь предположим, что f, x):s — это три /8:s. Тогда сетевое представление будет следующим.
например, тот, что показан на рис. 24.
Хотя, опять же, некоторые из различных структур компонентов могут быть заменены другими эквивалентными
структурами.
(e) Рассмотрим теперь случай, когда последовательность нулей и полюсов элементов, расположенных на
главной диагонали «положительной вещественной» матрицы a или /9, если рассматривать ее, начиная с
начала координат, выглядит следующим образом: полюс-ноль-полюс-ноль и т. д., вдоль отрицательной
вещественной оси.
Снова начнем с функции (27) и преобразуем ее в форму, соответствующую рассматриваемому здесь случаю.
Таким образом, в этом случае разделим разложение (27), т.е. (28), на A с обеих сторон знака равенства и
подставим A 2 =A. Кроме того, заменим k:s и c:s на A:s, и получим:
fa(x Ao 2 A 2 A =A±+ A +c + ( 82 A Al Xl + cl A + C 2 { I 423,924 f(A), отбрасывая штрих и разворачивая все Таким
образом, это наша новая функция, и три a:s, скажем, аналогичным образом, A мы получаем:
A O 2 A, 2 A 2 an=All+ + I.
A A+c 1 A+c 2 Bo 2 B, 2 B 2 + + + A A+c 1 A+c 2 Co 20 C 20 C an ±+ + A A+c A+c 2 Здесь применимо обсуждение,
аналогичное приведенному в пункте (b), но обратите внимание, что в этом случае числители всех дробей,
содержащих A в знаменателе, являются остатками. Также обратите внимание, что здесь постоянные члены
(A, B, C) представляют собой просто отношения коэффициентов наивысших равных степеней A в числителе и
знаменателе исходных функций. Ясно, что если a: s, то функции характеризуют четырехполюсную сеть,
имеющую только резистивные и индуктивные элементы, а также необходимые трансформаторы, и если P: S,
то функции (33) характеризуют четырехполюсную сеть, имеющую только резистивные и емкостные элементы,
плюс необходимые трансформаторы.
Если ox: s, то общее представление сети будет в основном соответствовать диаграмме на рис. 18, а если F
3:s, то в основном соответствовать диаграмме на рис. 19, хотя любая из компонентных сетей может быть
заменена двухполюсной сетью, как в предыдущем пункте (b).
Для иллюстрации рассмотрим элементы «положительной вещественной» матрицы:
4
A 2 + 18 A 2 + 18 + 2 fnn(X) = 2 A'+ 5 X 2 + 2 A 16 A 3 + 57 A 2 + 49 A + 10 2 ATO 5 A' + 2 A 6 A' + 24 2 A 2 + 23 4 A
+ 4 2 A'+ 5 A 2 + 2 A J, которые после разложения согласно ( 33) становятся:
1 4 1 3 intx)= + 2 + + A 2 A+l A+ 2 3 2 nn -() =+ + 4 + A 2 X+ 1 X+ 2 2 3 2 1 fin X) =-+ 3 + I A 2 A+ 1 A+ 2 J ( 33) Если
функции: S, то полное сетевое представление f(x): s, например, показано на рис. 25, а если они /3: S, то
представление 40 показано на рис. 26, хотя, естественно, можно было бы выбрать и другие структуры. На рис.
25 трансформатор, содержащийся в нижней компонентной структуре, может быть опущен, однако 45
Учитывая содержание последних двух пунктов и помня, что, естественно, предписанное условие
относительно реальности выполняется, мы можем теперь утверждать: 50 Если положительная вещественная
матрица a или A такова, что полюса всех элементов и нули элементов, расположенных на главной диагонали,
лежат на отрицательной вещественной оси и если Если полюса и нули этих 55 последних элементов
чередуются, а нули элементов, расположенных на вторичной диагонали, лежат в любом месте вдоль
действительной оси, то эта конкретная матрица удовлетворяет как необходимым, так и достаточным
условиям для представления сети в диссипативной четырехполюсной сети, имеющей только два типа
сетевых элементов.
II. ОБЩИЙ МЕТОД РЕАЛИЗАЦИИ 65 ЛЮБОЙ «ПОЗИТИВНОЙ РЕАЛЬНОЙ» МАТРИЦЫ ИЛИ ПМАТРИЧКИ,
ХАРАКТЕРИЗУЮЩЕЙ ДИССИПАТИВНУЮ ЧЕТЫРЕХТЕРМИНАЛЬНУЮ СЕТЬ.
(а) Очевидно, что полюса на границе 70 можно удалить с помощью разложения функции, в которой они
содержатся, на простые дроби, и, как указано выше, их можно отдельно представить в виде сети. Кроме того,
из требований, которым должны удовлетворять вычеты, ясно, что такие полюса должны содержаться либо во
всех трех функциях, либо только в одной или обеих функциях управляющих точек, но не только в
передаточной функции или в этой функции плюс только одна из функций управляющих точек. Таким образом,
будем считать наши функции регулярными на всей правой половине плоскости А, включая границу, и с
помощью (13) и (16) разложим их, как показано ниже:
423,924 (ajian -a 2 o)(jw) = (rlr 11-r 2 r) (X 1 X -_ X 2) + jrx + rnx 1 2 rinxn) ( 84) и ( 13/31 N P% 2 a)(j) = (h 1 ln h'1")I
(rvn V 2 В) +j (I)ivn + hnv 12 hnv,) ( 3 Дж соответственно.
DE Ir NI Ti ON.
Под «инверсией» в дальнейшем мы всегда будем понимать преобразование из a-функции в /3-функции и
наоборот, согласно общим соотношениям (7) и (8). Из (7) и (8) ясно, что полюс a: S соответствует нулю
/детерминанта, и наоборот, то есть, если a- или /-детерминанты, соответственно, (34) и (35) приравниваются к
нулю путем «извлечения» определенных действительных и мнимых величин из предшествующих матриц a и
/3, из которых выводятся рассматриваемые матрицы, то соответствующие полюса на границе появятся в
членах следующего семейства после выполнения f (42) инверсии, и, как показано, такие полюса затем могут
быть удалены и отдельно реализованы в чисто реактивные структуры 25. Следует, однако, понимать, что в
случае, если нуль одного из двух детерминантов образуется в начале координат или в точке o, то члены
следующего семейства будут иметь один полюс в соответствующей точке 80 баллов, тогда как если ноль
образуется на конечной частоте, то, естественно, члены следующего семейства будут содержать
сопряженную пару полюсов.
Рассматривая a-определитель (34), скажем, 35, мы знаем, что для того, чтобы стать равным нулю в
определенной точке (o), действительная и мнимая части указанного определителя должны одновременно
стать равными нулю.
В вещественной части содержится один r-определитель 40-го порядка и один x-определитель; приравняем
каждый из них к нулю в определенной точке c.
Вычитая некоторую положительную постоянную величину r'I из r 1, тем самым делая определитель r равным
нулю в некоторой точке w, получаем:
F(-o 2)= ''= (rl rl)r r 2 l = (rarr 2 l)rllr) O ( 36) h W (W 2) Вместо вычитания положительного постоянного значения r
1 ' из r 1 мы могли бы также вычесть положительное постоянное значение r=' из rn, но в любом случае
вычитаемое постоянное значение должно быть > r min и > r T min соответственно, где r, mi — значение r I,
которое получается при подстановке в него значения ow 2, при котором кривая rl-o)2 между началом
координат и + o A имеет свою самую низкую точку, а r mi — аналогичное значение re.
После вычитания соответствующего значения r 1 ', F(c 2) имеет ноль в точке o 2 o, скажем; но > 0 для O < K 2 <
+ o, и когда найденное значение ow% 20 конечно, тогда, естественно, F(c 2) имеет двойной ноль в
рассматриваемой точке.
Из следующих соображений становится ясно, что правильное значение rl' всегда можно найти:
Пусть кривые r to 2, r o 2 и (rir rna) W 2 будут такими, как показано на рис. 27.
Таким образом, возникнет бесконечное число кривых r'rn_-r (или кривых rlr &,2 в случае, если извлечение
производится из r), как показано на рисунке, и поскольку все значения на кривых r 2, r, W 2 и (rr -r N 2) o' всегда
> 0, для O <& 2 < + oc всегда существует постоянное положительное значение r 11 такое, что при умножении
на r (или постоянное положительное значение rn= такое, что при умножении на r 0) соответствующая кривая
касается кривой (rr= rn 2) o', в которой (P) мы получаем наше решение, при котором F(o 2) в (36) становится
равным нулю на данной частоте.
Этот метод, очевидно, также предоставляет нам инструмент для решения другой проблемы, а именно
проектирования четырехполюсной сети, которая удовлетворяет требованиям, присущим заданным функциям
в определенном частотном диапазоне, в то время как за пределами этого диапазона ее поведение не
контролируется этими функциями.
На практике как oo 2, так и r,', скажем, можно найти очень простым способом:
Из (36) видно, что (rr rln 2)-r/rn ish 0:
Таким образом:
rirn-ri,2 > r/lr.
Мы знаем, что rn — величина > 0, и поэтому приведенное выше неравенство можно последовательно
записать так:
r -rr ln > Ill ( 37) т.е. r,', соответствующее точке контакта между кривыми r r to и (rrn-rln,2)-o 2 на рис. 27,
является просто наименьшим значением на кривой rlrn rn 2 W 2, показанной, например, rn на рис. 28. На
практике как wo 2, так и r/ можно легко найти с помощью простой математики 11 l (b) Тогда, в случае, если wo
конечно, нам нужно найти два постоянных значения, x,/ и xc', I 423,924 такие, что при вычитании их из x, и x
все три части справа от знака равенства в ( 34) становятся равными нулю в точке o)= wo.
Таким образом, мы получаем набор уравнений:
(rl -r) r r 2 I = O (X, X,) (X X) _ x 2 l = O 38 (r 9r 11 (x x'L) + r(x, x') 2 r O x O Затем, подставив первые два
уравнения ( 38) в последнее двумя разными способами и решив относительно x l и X',, мы получаем:
1 rax,:r 1 m x 2 X 1 = L r l = oh ( 39) ri Xn; -rnxi x& = 1 rl (c) Теперь мы готовы показать, как наши функции могут
быть исчерпаны от всех своих нулей и полюсов.
Итак, начнём с «положительной вещественной» a-матрицы, скажем, элементы которой после удаления
первоначально существовавших (n-го) полюсов на границе имеют степень в A (т. е. числители, а также
знаменатели имеют n-ю степень) и для которой W O оказывается конечным. Тогда с помощью (12) мы имеем:
g l(X) al,=r'I+ X + I too h(x) Xn I gln(k) an= A + ( 40) z O o h(x) alngxn X a 111 = I h(x) J где g(x) и g%(x) имеют на
одну степень более высокую степень в A, чем g,(x) и gn(x) в ( 12 ), поскольку полюса, введенные в o во всех и
au, требуют введения аналогичных полюсов с одинаковыми вычетами, но противоположного знака, чтобы
значения o 80 функции оставались неизменными.
Пусть семейство компонент справа будет a: s, тогда мы видим, что определитель 2 ( 2 N + 2)-й минант (alnn-a)
имеет степень ( 2 n ). Кроме того, поскольку)o здесь конечно, этот определитель должен содержать (A 2 + +
20) в качестве множителя в числителе, оставшуюся часть которого можно обозначить A(x). Однако легко
доказать, что A(X) становится множителем в числителе определителя следующего семейства функций после
удаления сопряженной пары полюсов с границы.
Таким образом, мы можем записать:
2 (A + 02 o) A() a' Ill a nn a") = h 2 (x) и, образуя соответствующие A:s, получаем:
gln(A) h(L) 24 ki g 11 IOL) gn(x) h(x) 2 k 1 X gl(X) /1 ll= = + (A +)o)/A 2 _ + 2 _ (X (A 2 + = 2)z A(L) X + W 2 A g Zln(X)
h(x) 2 k gl l(AI (Xlo=' = + (A 2 + t'o)A(A) A 2 +)20 A\(X, -J ( 41) где k:s — это остатки 50 Al:s на одном из
сопряженных пар полюсов.
Здесь ясно, что /3: S имеют степень (2N + 1), и, следовательно, члены семейства компонент (2N + 2ti) справа
от 55(2N 1)tli ("i: s, скажем) имеют степень (2n), т.е. имеют ноль в oc, что позволяет удалить полюс в этой точке
из членов следующего семейства.
Теперь, сформировав определитель /3: 60 2 A (X)/L\() Al(X) 52 (A) \A(X), а затем сформировав
соответствующий a"l s, получаем:
g UX 1 gl 1 (l) a, = =k IA + Alo Ix)i Alt(x) gi l A) gn nl X) I I Am IOL) A gll nl(X) tan= =k=A+ (X) /\ 1 (A) A,1 (L) ( 42) где
k:s — это остатки 65 a X:s на их полюсе в момент времени go.
lo 423,924 В (42) an 1:s имеют степень (2 1)h (2 n-2), и, таким образом, члены семейства компонентов справа
(all:s, (2 n-2)th say) имеют степень.
( 2 n-2)-й. Определитель a после ( 2 N 2)-й ячейки A,(x) также имеет ( 2 n-2)-ю степень. Инверсия теперь
проведена через полный цикл.
Определитель функции a: s, начиная с (2n)-й, имел (2n)-ю степень, и, следовательно, мы видим, что в одном
цикле степень X, как в числителе, так и в знаменателе, уменьшается на две единицы, и такое же уменьшение
происходит в каждом цикле, пока данные функции в целом не исчерпают все свои нули и полюсы.
«Сетевое представление» каждого цикла, начинающегося с набора a:s, будет выглядеть так, как показано на
рис. 29.
С другой стороны, если мы начнем с набора P:s, то «сетевое представление» будет выглядеть так, как
показано на рис. 30.
Вместо того чтобы начинать с введения двух полюсов в начале координат, как показано в уравнении (40), мы
могли бы также ввести два полюса в начале координат, получив:
c 1 g 1 (X) -( (l rl + "+ X h'(x) 0 oa X + gn(x) == + ( 43) a 1, = A hl(x) A m A gn(XL) h(p) мощность в A снижается в той
же степени, что и уже показано, хотя, естественно, сетевое представление будет другим.
Следует добавить, что в каждом цикле, для которого (o) оказывается конечным, обычно вступают в игру
полюса на границе с отрицательными вычетами, и поскольку такие полюса функции точки приложения силы
должны соответствовать отрицательным реактивным элементам, мы должны обеспечить взаимную
индуктивность между двумя индуктивными катушками настолько отрицательной, чтобы обеспечить
отрицательную индуктивность, требуемую математическими расчетами конкретного случая, если вся сеть
должна быть пассивной, поскольку иначе невозможно создать свободную отрицательную индуктивность.
Для иллюстрации рассмотрим элементы «положительной вещественной» a-матрицы:
2 A + 5 A 2 + 5 A + 2 2 a 11 =I AX ')+o l 8 X + 18 A 2 +S +l 1 t = 12 01 '0 3 A + 72 A + 7 A 1 A'+ 2 AX+ 2 После
удаления внутренних полюсов на границе, в данном случае в точке oc, получаем:
2 A 2 +A+ 2) a, = 2 A + A 2 + 2 A + 2 X 2 ' + 2 XA+ 21 ann =8 A+ + 2 Ag+ 2 A 2 +A-1 am = 3 X + I A 2 + 2 A+ 2 J
Затем, действуя, как описано, мы находим rlr, -rln 2, рассматривая кривую _ W, где два верхних члена
семейства компонентов справа снова «уравновешивают» введенные полюса, но они, естественно,
отличаются от членов соответствующего семейства в ( 40 ).
Затем мы аналогичным образом выполняем процедуру инверсии и т. д., и снова обнаружим, что в каждом
цикле a = 0595877296030 1505 5 A' + 1 43.8661 350828 ann = 43.8661 ai = instance:
fo = 3 8661 rl = 0595877 65 xl = - 296030 xl = 350828 Таким образом, остаток от заданного a:s после удаления
внутренних полюсов на границе можно записать следующим образом: 1 70 24152 'XI + 1 18193 AX + 1 88082 A
2 + 2 A+ 2 17842 + 2 35685 Ak + 2 35685 X 5 A+ 1 AX 2 +A-1 A'+ 2 A+ 2 A + 2 A 2 I -I J 423,924 Затем, продолжая
инверсии и т. д., как описано, мы обнаруживаем, что реализация для первого цикла, например, показана на
рис. 33, а для второго цикла — на рис. 34.
С другой стороны, если бы предписанные функции были P:s, процедура реализации была бы той же, но
реализация для первого цикла, например, выглядела бы так, как показано на рис.
35, а для второго цикла — тот, что показан на рис. 36.
(d) Однако не всегда самая низкая точка кривой W2, скажем, находится на конечной частоте, что приводит к
появлению элементов отрицательного реактивного сопротивления.
Для функций, которые могут соответствовать диссипативной четырехконтактной сети, содержащей только два
типа элементов, нижняя точка вышеуказанной кривой и каждой из аналогичных кривых находится в начале
координат или на бесконечности, соответственно, где мнимая часть каждой из кривых a:S и f:S равна нулю.
Таким образом, в случае положительной действительной матрицы a, которая может соответствовать сети,
имеющей только резистивные и индуктивные элементы, самая низкая точка кривой rira rin 2 2, находится в
точке o, как показано rl на рис. 31, а когда она может соответствовать сети, имеющей только резистивные и
емкостные элементы, она находится в начале координат, как показано на рис. 32; обратное верно в
отношении самой низкой точки кривой hihn hin 2 h Jhn h 1 w 02 или -o 2 H 11 h, в случае A: s.
В этом случае, однако, перед каждой инверсией необходимо извлекать постоянное минимальное значение,
т.е. (при начале работы, например, с набора f:s), помимо извлечения hil, соответствующего самой низкой
точке hlhn h 12 на кривой _-o, при начале работы с hln, после одной инверсии нам также необходимо извлечь
аналогичное значение r/'.
* Для иллюстрации рассмотрим элементы «положительной вещественной» матрицы:
2 A+ 3 X+ 2 5 l /i 11 = 5 + 2)+ 1 2 X+ 1 1 l A+ 2 X+ 2 | /nn 2 X+ 1 2 X+ 1 2 A+ 1 2)+ 1 in Таким образом, мы видим,
что h/" равно 5, как показано на рис. 37; и, преобразуя семейство компонентов com 50 вправо в
соответствующие a: s, мы получаем:
1.8 x + 2 8 x + 4 au = 8 A + = 4 + 2.5 X + 4 2 5 X + 4 2.8 k + 2 5 2 8 X + 2 5 ann = 8 A + a 1 N = 8 A + 2.5 A + 4 -.2 X +
11 2.5 A, + 4 2.5 A + 4 2 X + 1 2.5 x + 4 Таким образом, в этом полуцикле ril = 4, как показано на рис. 38, и при
преобразовании a:s семейства правых компонентов в соответствующие /3: s, мы получаем:
P 11 Ann i 9 N = 2.8 X + 2 5 125 l 88 A 44 A 22 8 A +4 ' 20 20 88 X 2 A+ 1 44 X 22 5 88 X 44 X 22, поэтому полное
представление сети, например, показано на рис. 39.
Однако функции рассматриваемого типа обладают тем свойством, что отдельные кривые ri-0)2 и r,,-o)2, или
отдельные кривые h o 2 и h 11 w)2, 65 имеют свою самую низкую точку на той же предельной частоте, что и
соответствующие кривые определителя действительных частей, построенные в зависимости от O o 2, имеют
свою самую низкую точку, как показано для кривых h 1-_W 2, hn W 2, 70 hln 1 2, (hihn -h 2)-w 02, на рис.
40, что позволяет одновременно получить нуль действительных частей обеих функций управляющей точки и
нуль собственного определителя действительных частей 75. Возвращаясь к тому же /: S, что и в последнем
примере, легко обнаружить, что h, mn и hn nlin равны 1 0 и 5 соответственно, поэтому мы можем записать:
2)'+ 3 /311 =2)+ + 2 X+ 1 X+ 2 2 1 + 2 A+ 1 1.5 -=) = 5 + 2 X + 1 2 X+ 1 fi= = 5 +2 X+l 2 X+ 1 X+ 1 Pin = + = 2 + I
Затем, преобразуя компонент семейства 1.7 X+ 1 18 423,924 вправо в соответствующие a:s, получаем:
3 X + 1 5 12 6 an = A + 2.75 11 11 4 X+ 2 16 8 %'n = = _-A + _ 2.75 11 11 X+.5 4 2 l 27 = =-A + 275 11 11 J
Обратите внимание, что здесь заданные функции исчерпывают все свои нули и полюса после одной
единственной инверсии, и их сетевое представление, например, показано на рис. 41.
Следовательно, мы видим, что для реализации «положительной вещественной» матрицы, которая может
соответствовать диссипативной четырехконтактной сети, имеющей только два типа элементов, общий метод,
описанный выше, является вполне подходящим и всегда приводит к пассивной структуре.
III. ОБЩИЙ МЕТОД ПОИСКА СЕТЕВОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛЮБОЙ «ПОЗИТИВНОЙ РЕАЛЬНОЙ» МАТРИЦЫ
или 3-МАТРИЦЫ.
В этом заключительном разделе мы изложим общий метод реализации, который полностью решает нашу
задачу синтеза конечной четырехконтактной сети из заданных функций управляющей точки и передаточной
функции; при этом чисто реактивный случай, независимо решенный в разделе I, также включен в этот метод.
Описанный ниже общий метод заменяет собой метод, описанный в разделе II, по крайней мере, в тех случаях,
когда предписанная «положительная вещественная» матрица относится к четырехконтактной сети, имеющей
все три типа сетевых элементов.
Она основана на следующих принципах, некоторые из которых уже были рассмотрены выше:
(a) Любая «положительная вещественная» матрица a или l, комплексный определитель которой имеет
(помимо внутренней части левой половины плоскости X) нули и/или полюса на границе, всегда может быть
сведена к «положительной вещественной» матрице a или l, определитель которой не содержит таких нулей
Соседние файлы в папке патенты