Элементы дискретной математики. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации

Уральский федеральный университет

имени первого Президента России

Б. Н. Ельцина

ЭЛЕМЕНТЫ

ДИСКРЕТНОЙ

МАТЕМАТИКИ

Рекомендовано

методическим советом УрФУ

в качестве учебного пособия для студентов,

обучающихся по направлениям подготовки

231300 — Прикладная математика

141100 — Энергетическое машиностроение

140400 — Электроэнергетика и электротехника

140100 — Теплоэнергетика и теплотехника

141403 — Атомные станции: проектирование,

эксплуатация и инжиниринг

280700 — Техносферная безопасность

Екатеринбург

Издательство Уральского университета

2015

УДК 519.1(075.8) ББК 22.176я73 Э45

Рецензенты:

кафедра высшей и прикладной математики Уральского государственного университета путей сообщения (завкафедрой, д-р физ.-мат. наук проф. Г. А. Тимофеева); д-р физ.-мат. наук, зам. директора ИММ УрО РАН В. Т. Шевалдин

Научный редактор — д-р физ.-мат. наук проф. А. Н. Сесекин

Элементы дискретной математики : учебное пособие / Д. С. Ананичев,

Э45

И. Ю. Андреева, Н. В. Гредасова, К. В. Костоусов. — Екатеринбург : Изд-во Уральского университета, 2015. — 108 с.

ISBN 978-5-7996-1387-7

В учебном пособии рассматриваются элементы дискретной математики: логические исчисления, предикаты, булевы функции, комбинаторика, теория графов, автоматы и алгоритмы. Приведено решение типовых задач.

Предназначается для студентов всех форм обучения всех специальностей.

УДК 519.1(075.8) ББК 22.176я73

ISBN 978-5-7996-1387-7 © Уральский федеральный

университет, 2015

1. Логические исчисления

n

Множество, отношения, функции

Множества

Множество — совокупность объектов (элементов). Множества A, B, … Элементы a, b, c, ...

а О А а — элемент А (а принадлежит А). а П А а — не элемент А (а не принадлежит А).

Основное свойство множеств

Для любых а и А выполняется ровно одно из двух условий: а О А, а П А.

Способы задания множеств

1. Перечисление элементов: А = {0, 1, 2, 3, …, 9}. B = {красный, синий, зеленый}. C = {борода, шляпа, очки}. Можно задать лишь конечные множества.

2. Определяющие свойства:

А = {x | x — десятичная цифра}. N = {x | x — натуральное число}. Z = {x | x — целое}. N0 ={x | x О Z, x ≥ 0}.

m

Q = {

R ={x | x — действительное число}. C ={x | x — комплексное число}.

(2,3) = {x | x О R,

| m О Z, n О N}.

2

xx

560-+<

}.

3

Элементы дискретной математики

11

О{,,}

1123О

{{ },{},{ }}123

XX=П

"a

ABН

"a

ABН

$a

aAО

aBП

"A

ЖН

AAН

AUН

ЖН ®$Aa

a ОЖ

aAП

=Ы

AB

BA

Пример

23

— верно.

{{ },{},{ }}

Элементы множества

— не верно.

– это множества (а не числа).

Пример

Рассмотрим

{| }

.

SX

Допустим, что SПS, тогда элемент S удовлетворяет определяющему свой-

ству множества S, следовательно, SОS. Противоречие. Допустим, что SОS, тогда элемент S не удовлетворяет определяющему свойству множества S, следовательно, SОS. Опять противоречие. Таким образом, S не удовлетворяет основному свойству множества.

Проблема записи определяющим свойством — это чрезмерная сила.

Ж= №{| }xx x

— пустое множество — множество без элементов.

U — универсальное множество — множество, содержащее все интересую-

щие нас в данный момент элементы. "a а О U.

— А подмножество В; В надмножество А, если

и

.

Лемма 1

1)

2)

3)

A

.

Доказательство:

1) от противного (о/п). ,

.

2) очевидно.

3) по определению U.

А = В (А равно В), если множества А и В состоят из одних и тех же эле-

ментов.

Замечание

Н

AB

м н

Н

о

4

А, В — множества.

,}

=О

xBО

xAО

xBО

=О

xBП }

xA

|}

BA=

BA=

() ()AB CA BC

=

() ()AB CA BC

=

()

=

()

=

AAA=

AAA=

AA

Ж=

AA

Ж=

=

=Ж

AA=

AABA

()=

AABA

()=

АВ

=З

ABАВЗ=И

Н

"x

BCО()

AB xx Ax B =ОО{|

1. Логические исчисления

Операции с множествами

— пересечение множеств А и В.

AB xx A

AB xx A\{|

AU Ax

{|

или

==П\{

или

означает, что выполняется хотя бы одно из двух.

и

}

— объединение множеств А и В.

— разность множеств А и В.

— дополнение до А.

Свойства " А, В, С

Коммутативности

AB

1) Ассоциативности



2) Дистрибутивности

() ()

AB CACBCUI IUI

3) Идемпотентности

4) Свойства нуля



5) Свойства единицы

AU U

6) Свойства дополнения

AAU =

7) Свойство двойного дополнения

1')

2')

4')

5')

6')

7')

AB

 

() ()

3')

AB CACBCIU UIU



AU A

AA

8) Тождества поглощения

UI

9) Законы де Моргана

AB



10)

Доказательство 2':

Докажем

9')

10')

xA

:

IU

5

Элементы дискретной математики

®

о

®

xA xB xC

®

о

®

xA BCО ()

К

"AB,

AB AABIUНН

ABН

AB A=

=

12))®

Н

К

"a

AB

ю

®О ®О

21))®

Н

"

BC BC

о

II UU

"x

xAB

О

(по определению



м

)

н

м



п

)

н п

о

м

)

н



xC

О О

xA

О

xBC

О



(по определению Докажем



)

: нужно развернуть стрелки.

.

Лемма 2

и

.

Доказательство: непосредственно следует из определения.

Лемма 3

1)

2)

3)

ABB

.

. .

Данные условия эквивалентны. Доказательство:

:

докажем

: по Лемме 2,

:

AAB=

:

aA

О

ь э

Н

(по Лемме 2)

aB aAB

B

(по свойству 1’).

.

Лемма 4

ABC,,

Доказательство:

xACО

6

и

®

AC

AB

НЮ

м н

AC

Н Н

(по определению)

м

ОН®

xA

п

()по определению 

н п

О

xC

о

(стабильностьНотносительно

О

xB

м н о

О

xC

®О

xBC

�

и

).

1. Логические исчисления

"x

BСО®Н®ОН()

��

BСОН()

AB

CD

BD BD

II UU

BD

()

НН

AAН

AAA=

ЖН

AA

Ж=

BA

()=

К

()

Н

BC CН

()()()()AC BC СС С

IU� ��

Н=

AA

IU

()

�� НН

BA

IU

()

НН

()

AB

IUUU

Н

ZACBC= ()()

ZZ

Ю=

()

).

Н

"x

ОЮ

о

CZ

xACО xA AB xB

xC

по Лемме 2 

.

Следствие из Леммы 4

®

AC

м н

AC

о

Н

м н

Н

о

Н

Доказательство:

AC BC

()

по Лемме 4 по Лемме 4

Доказательство свойства 4: По Лемме 1

вместе с Леммой 3 получаем

Доказательство свойства 6: По Лемме 1

A

вместе с Леммой 3 получаем

Доказательство свойства 9': По Лемме 2

AABН

вместе с Леммой 3

Доказательство свойства 3: Сначала докажем

AC С поЛемме 2

��

IU

:

.

последствиюизЛеммы посвойству 44

по Лемме2

AA

IU



или

.



.

AC

()

по Лемме2поЛемме2

BC

()

по Лемме2поЛемме2��

()()

AC BC AB

IU

посвойст

�

(

вву 4� )( ).= ABU

IUI

Н

ZC

Н

ZAB

последствиюизЛеммы

(

U

()

��44

Теперь докажем

xABC

()UI

xA

О

м н

xC

О

о

xA

®О Н

по следствиюизЛеммы

��

.

ь э

посвойству 4

��

ў

ю

)(

Н AB CUI

:

xAB

U

О

м н

xC

О

.

B

.

B

.

4

Z

I

()

7

Элементы дискретной математики

CZ

о

,,

()

{}{}

{}

xz yt

xy=

()

{}

{}{}

{}

xzyt==,� �

,,

{}{}

{}

{}{}

{}

{}№{}®{}={}

,;

xx

23

()()

()

xxxx

,,,...,��

xx

nn

21

()

Или

xB

О

м н

Булеан B (A) множества A — это множество всех его подмножеств.

xC

О

®О Н

xB

.

Отношения

Упорядоченная пара элементов

xy xy xy x,:

Основное свойство

xy zt

,,

Доказательство 1-й случай:

xy xx xztz zt,, ,, ,

=

одноэлементное множество

2-й случай: x № y

xy xztz xy zt,, ,,

Отсюда 2-элементное множество

Ю

zt,

=

—

=

Ю

=

()

®= №Ю=xztxzxzy xyt

()

®

zt z==

=

Ы

м н о

—

=

= =

, значит

.� �

.

,

.

xxxx

Отождествим

Упорядоченная цепочка элементов

8

,( ,) ,,��

1231

xxxx xx

,,,..., ,,..., ,��

и

.

— это

n123

=

-

.

n1231

Прямое произведение A и B

bB

()

ОО

{}

aA

ii

()

{}

rН ґAB

rН ґґґ

AA

nn

31

rr

r� ��на A

"О

xx� � r

"О ®

yy

� � rr

о

®=

xy

о

xz

Н

uruu uruu

ur

||

AB ab aA

ґ=

,| ,

1. Логические исчисления

.

AA Aaaa in

12 12

... ,,..., | ...

nn

"О

1ґґґ=

О

.

Чтобы задать отношение, достаточно указать все пары объектов, кото-

рые оно связывает.

и

.

Н An� �

Бинарное отношение ρ на множествах A и B — это N-арное отношение ρ — это

AAAAAA

Если

==== =ґґґ =... ..., то

12

AA A

...

.

n12

2

n

A

n-местное отношение на A.

Отношение рефлексивное, если симметричное, если

антисимметричное, если

транзитивное, если

:

xA

xy Ax

"О

xy A

, � �

"О

,, � �

;

xy

м н

yz

r r

xy

м н

yx

®xyzA

x,

;

r r

r

;

.

Примеры

1) «=» на Z.

2) «Ј» на Z.

3) «

» на B (A).

4) ρ соответствует фразе «…учится в одной группе с…» на множестве всех студентов университета.

5) ρ соответствует фразе «…одного года рождения с…» на множестве всех людей.

6) «|» на Z.

7) «сравнимо по модулю n» на Z.

8) «<» на Z.

2

rНA

— эквивалентность, если ρ — рефлексивно, транзитивно, сим-

—

9) А — множество всех направленных отрезков на плоскости.

метрично.

uruu uruu

rЬ

AB CD

м



AB CD

п

uruu

н

=

AB CD

||

п

о

— это эквивалентность.

uu

9

Элементы дискретной математики

ruruu uruuruuruu

iI

=О

{}

1);AA

"№®=Ж

� �

{}

aA/|

{}

aA

{}

iI

=О

{}

ОО

ii

AR

r=

aA

,.

xa

rr

ab

о

xb

ab

Вектор — множество всех соноправленных отрезков одинаковой длины.

йлщ

aABxyxyAB

=

rНA

= {| }r

ы

2

— порядок, если ρ — рефлексивно, антисимметрично.

.

RA

2) ,, .

aAaxxaО

|

i



i

О

iI

ijij AA

йлщ

� �

— разбиение множества A, если:

=



ij

=

r

ы

r|

— класс эквивалентности ρ (класс по порядку ρ эле-

мента a).

Aa

rr=

йлщ

О

ы

— фактор множества A по порядку ρ.

Теорема (об отношениях эквивалентности)

1) ρ — эквивалентность на

RA

2)

вивалентности и

Доказательство

1)



aA

О

aAAxA

йлщ

xx xx

r

Разные классы не пересекаются.

№

йлщ

ы

О/П.

ab ca b



йлщыйлщ

|

i

=

йлщ

Н=О

ы

r

ЮО

йлщ

ы

очевидно

ы

r



aAaA

ОО

ЮО

йлщ

ы

.

№ЖЮ$ О

— разбиение A

/

"О



aA

О

йлщ

r

ы

®

ы

� � � ��

йлщыйлщ

Aa

Ю

|

йлщ

ЮЫ$О

О

ы

r

rr: xy iIxAиy A

й

л

.

� �

НaA

йлщ

.

ы

r

рефлексивно

м

ca

О

®

йлщ

мм

п н

п

о

ы

cb

О

йлщ

ы

®

н о

— разбиение A.

ca

r

cb

r

® ®

ac

м н

r

cb

о

r

� ��

r

®

.

щ

— эк-

ы

"О

:

xx a

Симметрично

йлщ

®

ы

м

®®О

н

r

ab

ba

Н

йлщ

ы

r

xa

10

r

xb

Ю

ы

йлщ

, то есть

ы

=

йлщ

— противоречие.

ы

йлщ

Н

йлщ

ы

.

ы