Элементы дискретной математики. Учебное пособие

5. Теория графов

jj

,,

vE

12

{}

() ()

{}

yy

,,

yE

23

{}

() ()

{}

��

jy

,,

��

{}

() ()

{}

()

{}

uv

@

/

@

()

vv

 ®"

12

 ®"

23

jy jj

off:,

��

VVuv VuvE uvE

®"О

13 11 2

y

yj yj¬®ѕ

О«

О¬®ѕ

О

E,

.

3

j:,

y:,

,VVuv uv Eu

О� ��

,VVxy xy Ex

О� ��

О¬®ѕ

Абстрактный граф — это есть класс множества помеченных графов по от-

ношению изоморфизма

.

Замечание

Одинаковые изображения Ю один и тот же абстрактный граф.

Пример

2

1

3

4

G

1

2

3

4

1

5

G

2

Данные графы не являются изоморфными, так как имеют разное коли-

чество вершин.

b

a

c

1

G

1

G

2

Предположим, что эти графы изоморфны, и вершине 1 соответствует вершина a. Тогда вершинам b и c должны соответствовать два различных соседа вершины 1 во втором графе. Однако их не существует, и, следовательно, графы неизоморфны.

Эти соображения можно обобщить следующим образом:

Замечание

"О =

vV

Если φ изоморфизм G

на G2 то

1

� � degdegj

1

.

61

Элементы дискретной математики

{}

0,

()=()

()

()Ј()

()=()

()

{}

,,

()

mm

11

()

1,

()

nn

��

tn

()

mm

()

+-

()

1,

()

31

В связи с этим возникает следующее понятие: Для графа G = (V, E), |V| = n, упорядоченный набор степеней его вершин,

xN

, x2, …, xn, где

x

1

фа G.

Замечание

Степенные последовательности изоморфных графов одинаковы.

ОИ

i

называется степенной последовательностью гра-

О сложности алгоритмов

Будем пользоваться интуитивным понятием алгоритма. Каждый алгоритм имеет ВХОД — последовательность битов. Пусть n — длина ВХОДА. Под сложностью алгоритма будем понимать такую функцию t: N→N, что t (n)– это наибольшее число битовых операций, выполняемых алгоритмом при длине входа равной n. Будем интересоваться лишь скоростью роста таких функций.

fx Ogx

fx gx

()»()

Ы

, если

м п

н п

о

$>">

�� cxfx cg x00

fx Ogx

gx Ofx

=

()

.

к верхнему треугольному виду:

62

Рассмотрим задачу о нахождении Det.

A

=

Дано:

Найти:

Алгоритм 1 состоит в рекурсивном разложении по 1-й строке:

AaAaAaA

=Ч+Ч ++ Ч

tm mt m

"

�

Алгоритм 2 позволит решить данную задачу при помощи метода Гаусса.

Проводим элементарными преобразованиями по строкам матрицу

tm mmmm

tm mmmmtm

tm mmtm

aa� �

ij

mm

DetA MOD

11 11 12 12

іЧ -

k

>kt

(

Ј+ +-

31

Ј+

О

01

ij

ґ

� � 2

tm m

растет быстрее любого многочлена).

+-

.

(то есть найти A над полем {0,1}).

... ,

і !, tn n

=+31 32,

Ј

...

і

!

5. Теория графов

()

+-

()

21

()

mm

()

3

Ј

ЈЈ +=+=

=

Ј+

tm mmtm CCtm

+

m 11

...2 22 2

mmm

CCCC

е

kkmm

k

+

15

+-

31

m

2123

е

11

==

k

+

=

Om

3

21

=+

+

1

2

++

1

.

Ј

+

21

mmm

+

3

++

1

=

В итоге получили, что наибольшее число битовых операций удовлетво-

ряет следующему равенству:

3

ж

ц

tn On

=

()

2

.

з

ч

и

ш

Сложность задачи — это минимальная сложность алгоритма, решающе-

го задачу.

Сложность ADD~n. Сложность Det между n и n

3/2.

Замечание

Задача считается простой, если ее сложность есть многочлен от n (0(nk)).

Алгоритм эффективный, если t (n) = 0(nk).

Введем следующие обозначения: Множество P — множество всех задач, для которых есть эффективный

алгоритм.

Множество NP — множество задач, для которых есть алгоритм, который

проверяет решение за время 0(nk).

Задача называется NP-полной задачей — если наличие алгоритма, решающего ее за время 0(nk), означает, что для любой задачи из NP существует алгоритм решающий ее за время 0(nk).

Теорема Кука

Задача «выполнимость» NP-полна (в нынешнее время известно около 5103 NP-полных задач).

Вопрос P = NP? — это один из вопросов на миллион долларов.

Сложность задачи проверки изоморфизма графов не известна. Легко показать, что эта задача лежит в классе NP. Для нее в настоящее время нет полиномиального алгоритма и не доказано, что эта задача NP-полна.

63

Элементы дискретной математики

()

vevevev

�� ,..., ,

vV

ii

ОО

� �

{}

,,

ee

ee e

,,...,�

vvvv

,,,...,

vv

nn

{}

ij

=<

()

vvvij

== Ю= =

01,.

Маршруты

Маршрут в графе

eE

,

v

— конец маршрута, n — длина маршрута.

n

такая, что

GVE=

,

— это последовательность

"О

inevv

,...

=

iii11

-

,��

v

— начало маршрута,

0

Маршрут с началом u и концом v называется (u, v)-маршрутом.

Замечание 1

ve

...

Последовательность

однозначно определяет маршрут.

n012

Замечание 2

может уже не определять маршрут.

n12

Пример

1 I

IV

4

III

2

II II

3

1I2I1

2I1I2

Замечание 3

Пусть G — граф (без кратных ребер), тогда

однозначно опре-

n01 2

деленный маршрут.

Цепь — маршрут без повторяющихся ребер. Простой маршрут — это маршрут, в котором вершины

vv v

,,...,

n01 1

-

nn01122

по-

парно различны и

Замечание 4

Каждый простой маршрут, кроме маршрута veuev, является цепью. Доказательство

Воспользуемся методом от противного. Предположим, что

Если j = i + 1, то

64

vv

П

,,...,

iji-+

11

ei e

-12 1

j

.

ee

� .

ij

5. Теория графов

vv

jj--

{}

11

,,

л

vv

=

uv

()

vv

==

nn

{}

11

vv

jn

()

en

{}

vvv

№=,

uv

=№� � � � �

==

====

30

()

Если j = i + 1, то

v

,

й

v

j

=

к

i

v

.

к

j

-

1

vv

Маршрут называется циклическим, если

=

ii

,

.

n0

Циклическая цепь — это цикл.

Утверждение 1

Из каждого (u, v) маршрута можно выделить простую (u, v)-цепь

Доказательство

Пусть дан маршрут:

uvevev ve

Если вершины

,...,

попарно различны), то это уже простой (u, v) маршрут (по замеча-

n0

... .

nnn

-0112 21

vv v

,,...,

попарно различны и

n01 1

-

vv v

П

,...,

(то есть

-

нию 2).

vvijveve veve ve ev

Если

=<

ij ii ij

, ... ... ... .

0112 211

++

n

Получим (u, v)-маршрут меньшей длины путем удаления указанных выше ребра и вершины.

Действуя таким образом, получим конечный процесс, обрывающийся в ситуации, когда маршрут простой.

№

.

Утверждение 2

Из каждого цикла можно выделить простой цикл (положительной длины).

Доказательство

Пусть дан маршрут

vevevevv ee

тогда

... ,,,..., ,=

nn n0112 2012

vevevevv

... ,

nn1223 3

Выделим простую (u, v)-цепь (по утверждению 1):

Тогда

uufu fu fu vv v

1223

...

mm n

гут повторяться.

Все пары вершин, кроме

Пример

12421→121

1 I 2 II 4 II 2 I 1 вычеркиванием нельзя получить 1 III 2 II 2 II 1.

vum0,

=� � �

n10

— это (u, v)-цепь.

uufu fu fu v

12233

— цикл, в котором вершины не мо-

, — пары разных вершин.

...

mm

.

65

Элементы дискретной математики

== ==

$№� � �

ii

:.

{}

ve vevv

nm

=

...

ii

===№

� �

()

xy

yx

ѕ®

xy

yx

ѕ®

CD

{}

,.

Ce

{}

De

{}

De\\

{}

()

{}

()

{}

()

{}

()

(){}



Утверждение 3

Объединение двух различных (u, v)-цепей содержит простой цикл. Доказательство Даны цепи:

uvevev ev v

0112 2

uufu fu fu v

01122

... ,

nn

... .

mm

Пойдем по цепям слева направо. Поскольку они разные, то возможны

два случая:

ie f

1)

"Ј

2)

min, .

В случае 2)

mm mn

=Ю>��imne fnm

ii

++

11

— цикл. По утверждениям 2 и 3 можно

выделить простой цикл.

Пусть реализуется случай 1). Найдем такое наименьшее i, что e

vu vuxv u

да

,...,

00 11

ii

--

.

№ fi. Тог-

i

Найдем на 1-й цепи первую вершину, следующую после вершины x и ле-

жащую на 2-й цепи, назовем ее у. Рассмотрим маршрут

12

xy x

ѕ®ѕѕ ®ѕѕѕ

обратно

Заметим, что он является циклом. Внутри кусков

ѕ®ѕ

и

1

это части цепей. Предложение о том, что некоторое ребро e куска

2( )обратно

встречается на куске

ѕѕѕ

2( )обратно

ѕѕѕ

ребра не повторяются, так как

ѕ®ѕ

противоречит выбору у. Рассмотрим вер-

1

шину перед ребром e. По утверждению 2 можно выделить простой маршрут.

Утверждение 4

Пусть C и D есть два разных цикла с общим ребром e. Тогда

e \

содержит цикл.

Доказательство Рассмотрим ребро

euv=

.

Тогда

\

— это (u, v)-цепь,

По утверждению 3

Ce De CD e\\ \

66

Ce

=

\

— это другая (u, v)-цепь.



содержит простой цикл

.

Связность

()

uv V,.О

uv~

НґVV

"ОuV

()

,,

()()

()

$О "� ��

~

"О

,~��

32))®

21))® �

Vu

()

13))®

uv,,

~~

uv

о

()

5. Теория графов

GVE=

~

Утверждение

~ — эквивалентность на V.

Доказательство.

~ — рефлексивно (

~ — симметрично (каждый маршрут, переписанный в обратном порядке, снова является маршрутом).

~ — транзитивно (маршруты

в результате чего получится

Класс эквивалентности [v]

Число компонент связности графа G обозначают через k(G).

Утверждение

Следующие условия эквивалентны:

1)

,

— граф,

(и связана с V)Ыв G есть (u, v)-маршрут.

.

uu,

-маршрут нулевой длины).

uv иv

�� w

u,w

-маршрут).

называется компонентой связности графа G.

~

kG

=1

есть

,

можно соединить по вершине v,

2)

3)

Доказательство

"$О

uv

u

м н

v

Ребро e — мост в графе G, если

uV vu v

uv Vu v

очевидно.

kG=

Ю

йлщ

ы

� �� ww w

~ ~

u

w

м

®

н

w

йлщ

~

.

=~.1

ы

w

®

v

,

О

йлщ

ы

~

.

kG ekG\

>

.

67

Элементы дискретной математики

()

\.

uv~ Ы

()

uv»Ы

Ge\

()

»Н~

VAAA

VBBB

{} {}

mk

"№ =Ж НЮН"№Ж $О

Bv

ii

,.� ��

AB

ii

ЮН

jj

it

{}

{}()=()

"ОeE

()

\,

()

\.

()

\1

{}

,.

»»

К

xx

»Н~

zx

()

»~

zx

о

»~

Н

zx

()

»»

Замечание

"О

eEkG ekG� �

>

Доказательство

в G есть

uv,

-маршрут.

в графе

Очевидно

=

»

~

AA AVBB B

,,..., ,

12

,,..., ,

=

12

+++==+++... ... .

12 12

.

m

есть

k

uv,

-маршрут.

Тогда

ijijBB AB ABиi

,:

Av

=

йлщ

ы

»

жение:

:,..., ,,..., .112km

Значит, m і k. Таким образом

1) е — мост

2) е — не мост



ij ii ij

. Это значит, что мы построили инъективное отобра-

i

®

 � � � � �

:

Ю

kG ekG

Ю

>

�kG ekG

=

Лемма (о мосте)

1) е — мост

Ю

=

+kG ekG

.

2) е — мост Юе не лежит ни в каком цикле G.

3) е не лежит ни в каком цикле G Ю e — мост. Доказательство

exy=

B

xxy

Н

ы

йлщ

~

ы

О

йлщ

ы



, так как

йлщ

ы

zx,

®О

ы

Заметим, что

йлщ

:

ы

» �

yxzy zy

Н

йлщ

ы

»~

О

йлщ

:

То есть, в G есть

zx zx zx y»®О

U .

=

йлщыйлщ

®»®

ы

zx zx

О

®»®О

йлщ

ы

yx

~

м н

zy

~

zx

®~®О

-маршрут, если на нем нет е, тогда



йлщыйлщ

, но если на этом маршруте есть е, тогда

ы

»

йлщ

,

ы

68

5. Теория графов

==

ee

=

xg

»»

xx

»~

zz

/

()

Ge

()

»»

xy

»»

()

Ge\

xy e»Ю

Ю»xy

Ge

()

Ы

()

=e

()

GvvV

()

ЈО

,.

()

n

kn

()

zvevev ev x

0112 2

Найдем наименьшее i, такое что

vxy

О

{}

i

-

1

Заметим, что если

zx zx zy на zvП

йлщ

ы

есть каждый

kG ekGxy\

=

А если

Но если е лежит в цикле графа G Ю в графе то есть

е не мост

... .

nn

м

=Ю»®О

vxzx zx

�

i

-

1

п

, �

н

vyzy zy

=Ю»®О

п

i

-

1

о

Н

йлщ

ы

~~ ,��

Ю

~

zv,

Ы

№

йлщ

ы

®

-маршрут в G является маршрутом в

йлщ

, то

ы

Ю"

=

йлщ

ы

kG ekG\

— не мост.

и в графе

йлщ

.

ы

, то

=

.

i

йлщ

ы

»

z

x



йлщыйлщ

.

ы

.

ы

йлщ

ЮО

ы

»

=

ы

» �

йлщ

-маршруте в графе G нет ребра е, то

+1

.

есть (x, y)-маршрут,

\

есть (x, y)-маршрут, тогда выделим

из него простой маршрут, добавим е и получим цикл с ребром е.

e G

Число реберной связности графа G

— это есть наименьшее число ре-

бер, которое нужно удалить из графа, чтобы он стал несвязным.

\

, отсюда

Замечание 1

Граф G — несвязный

Граф G — связный с мостом

Замечание 2

e

mindeg

Пример

e P

=1

, так как каждое ребро в цепи — мост.

n

e C

Если

= 2

, мостов нет.

n

Число вершинной связности графа G шин, которое нужно удалить из графа, чтобы он стал несвязным или одно-

вершинным.

Пример

n

=-1.

n

� �

G 0.

Ы

=e G 1.

(G) — это наименьшее число вер-

69

Элементы дискретной математики

neGG

()Ј()

()

neGG0.

()

Vx

{}

neGG

()

1.

Ge

ne

()

=>

kk

{}{}{}

"О -

{}

ik11

ii

{}

kk

{}

kk

{}

ne

()

Теорема

.

Доказательство Пусть граф G несвязный

Ю

==

А теперь пусть G связный граф, тогда возможны следующие случаи. Случай 1: в G есть мост

y=

Если

,

, то удаление вершины x делает граф одновершинным

Ю

=e G 1

.

==

Если

n>2

в

удалим ,если

xx

yx

\ x

йлщ

ы

йлщ

ы

>1

или

ы

ь

1

>

п

Ю

э

1

=

п

ю

y

йлщ

1

G

==

()

>1

.

ы

GG

Случай 2 состоит в том, что в графе G нет моста

х

1

х

2

x

3

x

k

xy xy xy

,, ,,..., ,

Пусть

делает граф несвязным.

шину, не принадлежащую

связный граф с мостом

� �

11 22

xy

,

— множество рёбер, удаление которого

...

xy

,

удалим из множества

. Получим либо несвязный граф, либо

. Удаление одной вершины делает его несвяз-

ным или одновершинным.

Gk G

Ј=

.

Ю

e Gk1.

y

1

y

2

y

k

xy

,

одну вер-

70