Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы дискретной математики. Учебное пособие
.pdf
5. Теория графов
�
"
Ы
Граф G — планарный граф, если он изоморфен плоскому графу, или G
можно изобразить на плоскости без пересечения ребер.
Замечание 1
3
Любой граф можно уложить в
чок из
E
плоскостей, расположим
из пересечения ребер. Рассмотрим пу-
на прямой пересечения пучка. Каж-
дое ребро — полуокружность в своей плоскости.
Замечание 2
Граф можно уложить на сфере без пересечения ребер
G — планарный.
Доказательство
Отрезок AB есть диаметр. Точка B есть единственная точка пересечения
сферы и плоскости.
Строим проекцию П на сферу относительно точки А, которую можно вза-
имно однозначно спроектировать на плоскость.
Замечание 3
Выпуклый многогранник — это плоский граф.
Грань плоского графа — это есть часть плоскости, ограниченная ребрами.
91
6. Автоматы и языки
е
{}
::
()
()
()=()
{}
({
=
ИЗ,,–,
(\
**
vK,,
{}
=О
{}
Языки
— алфавит (конечный) — множество букв.
+
– множество всех слов.
е
<еЧ>+,� �
λ — пустое слово.
е
<еЧ>*,� �
«Свободный»:
jl jj
Языком называется подмножество свободного моноида.
Примеры
1. Русский язык.
2. Язык программирования.
3. Геном человека — язык,
4. Организм — язык, алфавит — множество аминокислот.
5. Множество простых чисел
— свободная полугруппа.
+
И
*
=
l
.
е
— свободный моноид.
""
="О
1, .aaa
е
е
АЦТГ,,,�� �
=
е
®$е®���� �MMM– моноид гомоморфизмjj:!
е
})
1
.
.
*
Операции с языками
1° Теоретико-множественные операции:
LLLНеЮ=
2° Произведение языков:
LK LK uv uL
Пример
KanN
92
НеЮЧ =ОО
n
2
е
*
.
)
�
.
n
=О
{}
{}
{}
{}
vL
ОО
{}
:,
uL
ОО
{}
:.
{}
{}
{}
12
uu
{}
uL
{}
KL
И
=+
()
()
{}
,.
==
()
��ll
{}
58
,.
{}
{}
,.
KanN
7
6. Автоматы и языки
.
LK aa aaaaa aa aan
Ч=
3° Левое (правое) частное:
-
1
KL vu Ku
LK vuKv
Пример
Labbaab=
Kaab=
-
KL bab
Упрощенные обозначения:
vuvL
LK
aabbaa baba abab ab aabab+
4° Итерация языка:
LLLLLLL
НеЮ=
Примеры
Laa=
9111315161718911 13
=$
-
1
=$
2
,, .
=
2
-1
.
.
+
=
123
{}
ИИИИ
2222
,,
��
L
,, ,�
,,,�
=
.
О
**
=
U
n
Ґ
n
0
=
0
{}
И
n
19, ,,,,, ,, .
і
.
*
L aaa aaaaaaaaaaa
=
е
(а + b)*ab (a + b)* — множество всех слов, содержащих ab в качестве
подмножества.
u — префикс ω, если ω = u · v;
u — суффикс ω, если ω = v · u;
u — фактор (подслово), если ω = v · u.
Рациональным выражением называется выражение из букв и λ с приме-
нением операций +, ·, *.
5810 13 15 16 18 20 21 23 24 25 26 28
,,, ,,,,, ,,,,,,=l
ab
.
93
Элементы дискретной математики
=
,)Sd
d :Qx QS®
dd
23
,,
()=()
bq
13
,,
()
d
QQ
()
qq
ее
aqua
,)
Q
{}
е
b
3
b
b
a
a
a
,)
Автоматы. Распознаватели
Машина получает воздействие (символы конечного алфавита), меняется ее состояние.
Детерминированным конечным автоматом (ДКА) называется тройка:
AQ
(,
, где Σ — конечный алфавит, Q — множество состояний (конеч-
ное),
При этом если
т. е. чтобы
"О
1.
"О ОО
�� ���qQau qu
2.
— функция переходов.
qa qи qb q
12
продолжалась до
:,dl
=qQ
;
,, :, (,
SS:
*
ddd
()=()
=
*
x ®
,����
то хотелось бы, чтобы
следующим образом:
d qa
�
.
Изображение — ориентированный граф с помеченными вершинами и ребрами.
Примеры
=
1.
123,,
,
= {,}.ab
δ 1 2 3
A 2 3 1
b 2 2 3
=
AQ=е(,
2. Привидение:
Q = {молчит (1), хохочет (2), ухает (3), топает (4)},
Σ = {хлопнуть дверью (х), включить музыку (b)}.
94
d
δ 1 2 3 4
1
2
3
4
x
b
()
е
,,
е
::
pQ
pq
()
qQ
О �
TQН
()
е
qT
()
LA
()
()
()
{}
qT
,)
qT
Qq
е
q00= ,
{}
,,
qT
x 3 4 3 4
b 4 1 2 2
b
x
b
6. Автоматы и языки
b
x
Автомат
$О $О "О
�� �� �w
Пусть у автомата известно начальное состояние
жество
Слово ω принимается автоматом
=
wd w
AQ
=е(, ,, ,d �
Пятерку
Пример
1.
AQ=
*
qQ
заключительных состояний.
— множество всех принимаемых автоматом слов
О
�
0
0
(, ,, ,
d
называется синхронизируемым, если
dw
,
называется языком, распознаваемым автоматом
).
T
d �
) иногда называют конечным распознавателем.
0
=
(т. е. ω синхронизирует автомат А).
AQ=
,,d
Ї
δ 0 1 2
0 0 2 1
1 1 0 2
x
0
, если
и выделено мно-
dw
,
О
0
.
(LA
=
T =
12
AQ
=е(, ,, ,d �
0
),
95
Элементы дискретной математики
о
ю
()
=ј
{}
,,
()Ы()
()
00,,
00==
{}
),
01==
{}
),
02==
{}
).
Li
()
2
d(,)00 0=
d(,)01 1=
vv02
22
22
03
()
()
22
23
()
()
22
13
()
()
vL LОЮО
00
w
ОЮО
12
w
ОЮО
21
w
w=v1
00
� ���� �� �
�� ��
е
{}
=О
{}
:(
=
11001001 010100 101111 0001 0010
,,,,, ,,, ,,
=
()
м
н
0100 0101 0111
,,,11000 1010 1011 1101 1110, ,,,,,ј
LA
ь
э
LA
wdwdwО
L
0
L
1
L
2
Гипотеза:
00011000 011 110 0000 00110110 1001 1100 1111,,,,,, ,,,,
0
ПЫ
=LA qT
,
wd w(,
wd w(,
wd w(,
wwОЫ є
i 2
mod
3��
, где
ω двоичного числа.
Докажем методом индукции по длине слова:
База индукции.
Шаг индукции. Если
vmod mod
03
є
vmod mod
13
є
vmod mod
23
є
Ю=�� �� �w
Ю=�� �� �w
Ю=�� �� �w
ww=Ю=Ч
,
.
.
.
.
При этом
,
w
— значение соответствующего
,
vL L
vL L
Случай
,
.
рассматривается аналогично.
2. Хочется распознавать правильно записанные десятичные числа (без
знака). Правильно:
,. ,.,,,.
. Неверно:
.. ,.,.,..,11 00 1 11101
.
123010 131230
Можно ли построить соответствующий автомат? Более общий вопрос: можно ли с помощью конечного распознавателя распознать любой язык?
Приведем пример языка, дающего отрицательный ответ на заданный вопрос:
=
ab,
,
Докажем, что не существует автомата
nn
Labn N
.
0
AL LA
)
методом «от против-
ного»:
96
6. Автоматы и языки
()
е
;(
()
()()
��
()
()
ij
dd
00
00
()
()
ij
bT
()
ii
00
,,
()
()
()
()
()
=Ю
ij<
()
е
:(
()
е
,,
е
()
QQ®
t()
dt
()
,(
aQ
()
,(
()
()
()
()
aaaa
nn
{}
()
е
ее
()
()
О>
Пусть
Рассмотрим элементы
Q <ҐЮ
dddqabqab T
Для слова
и
Поскольку
Итак, не любой язык можно распознать с помощью конечного автомата.
Язык L называется распознаваемым, если
AQ qT LLA=
ij ii
,(,,)
dddqabqab
,,,,
есть повторы, т. е.
=
ab
ij
=
0
имеем
, это противоречит определению L.
=
)d ��
.
dd dqa qa qa
,, ,, ,
0020
ij qa qa
О
.
d qa
ij
,
0
,
О
= =
�
�$<
:, ,
00
=
ji ji ji
,, (, )�
$=
��AQ qT LLA,,,,
3
из Q.
.
Оdd dqa bqab ab L
.
=
0
)d
Моноид переходов конечного автомата
Автомат
Каждая буква
AQ=
a О
d
полностью определён действиями букв.
определяет функцию
d-
®,:aQ Q
.
.
Функции
ко каждая буква из Σ определяет некоторую функцию
дое слово
образом:
Мы получили полугруппу с единицей (т. е. моноид)
торый обозначается через М(А) и называется моноидом переходов автомата А.
Отображение
моноид переходов автомата является гомоморфным образом свободного моноида
и моноид переходов порождается действиями букв:
MA aa
Конечный автомат дает пример алгебры унарных операций.
wО
wdwd dd=Ю-
aa
*
. Как свободный моноид порождается буквами (
=< -
d , £
составляют симметрическую полугруппу
-
*
дает функцию
е
,,(,,,),
12 12
wdw®-
� ,
.
dwt-
=-
является гомоморфизмом, и, следовательно,
О
)Q
, определенную следующим
Q
О
)
.
dww-
()
,
О
*
=< >
. Не толь-
, но и каж-
*
, ко-
е
), так
97
Элементы дискретной математики
1
2
3
4
a
PM�
е
,)
j
LP
LP
()
Пример
a b
Моноид переходов:
δ 1 2 3 4
l
a 2 1 4 3
b 3 4 1 2
a
ab 4 3 2 1
ba 4 3 2 1
b
aba 3 4 1 2
ab
1 2 3 4
2
1 2 3 4
2
1 2 3 4
2
2 1 4 3
a
Таблица Кели (таблица умножения)
l
l l
a a
b b ab
ab ab b a
a b ab
a b ab
ab b
l
l
a
l
Моноид в данном примере является группой, которая обычно обозначается как V4 (четвертая группа Клейна).
Распознавание автоматом и моноидом
Пусть внутри моноида М выбрано подмножество
*
имеется гомоморфизм
"О ОЫ О
нает L, если
Утверждение 1. Если L распознается автоматом, то L распознается моно-
��ww jw*()
j :
е
® M
. Будем говорить, что
(другими словами, если
идом переходов автомата.
98
и, кроме того,
(,
MP
�
=-j
распоз-
1
).
6. Автоматы и языки
:(
е
MA
dw
()
()
PL
()
""Ю �
:,,,
()
()=()
()
()
dw
()
()
AL
()
е
��
:(
jj
dj
qa,(
()
=
TP=
е
w=aa
()
() ()
() ()
ОЫ
aP
11
()
()
()
()
()
ww
,.
�
()
AQ qT
()
е
()
()
е
AQ
е
е
()
MP
jj
--11
PL
Доказательство
Определим гомоморфизм
jw
=-
разом:
""::
dw
Утверждение 2. Если L распознается конечным моноидом M, то суще-
ствует ДКА.
AL
�:
Доказательство
L распознается моноидом M
Строим автомат, полагая Q=M,
Проверим требуемое условие. Пусть
wjwjjjjОЫ
LPaaPa
Ыј
dd dd
� ,
по определению
ЬО
wjwjwj dwd� ���PvLv v
е
qqvT L
,, .
=
00
=
.
ОЫ
qa aaPq PT LA
,,
()
*
,
=
�j
О$О
ОЮО�
ј
*
j
n01 20
®
.
Ы$ Н®=
��
PM ML P,:
ОЫ Ы
nM n
ОЫ
)
и множество P следующим об-
qa
=Ч
*
wО
()
,
1
О=ЫО
Ю-
*
)
qM01
,
=-
-
1
,
.
n1
)
.
.
Свойства распознаваемых языков
1° L распознаваем
Если
2° Если
стой замены), то
Доказательство
L распознаваем
Тогда гомоморфизм
()j° µ=µ
=
L Н
Ю L
распознаваем.
=
для
*
распознаваем и
-
1
j
Ю$ <Ґ µ® Нµ =
:
,,,,d �
L �
распознаваем.
�� �����MM MP
°µ-распознает�1L
, то
0
*
j :
A ®
*
е
ў
A=
*
— гомоморфизм (шифр про-
. Действительно, проверим, что
для
ў
=
qQT,,,,\d �
0
1
-
L,,:,:()
.
.
99
Элементы дискретной математики
()
()()
()
()
ОЫ
--
11
--11
е
LP=µ-1.
()
{}
()
ОЫ
kP
()µ()
µО
ww
MM
:)
е
KL
LL
12
MP
11
µ=
е
MP
22
µ=
ОО
{}
22
,.
,.
()()=()
µ®
е
()
()µ()
12
-
12
PPP=
12
x.
()
11
22
LL
12
wj jw jwО°µ
ЫµЫЫО
jw jw wj() ()
3° Пусть L — распознаваемый и
Тогда
-1
Ы°µ
PPP
ОЫµ
PL L
KLLK
,� � �
распознаваемы.
.
K Н
Доказательство
Ы$ Нµ ®
MP M,,:
L — распознается
Рассмотрим
-
wwwОЫ$О ОЫ$О µ
Ы$ Оµ
1
KL kKkL kK
kK kP R
Значит, (
��RmmM kK km P=О$О µ
MR
,,
� ��Нµ ®
�
,:
: �
ОЫ
()
*
распознает
Правое частное — аналогично.
4° Пусть L
, L2 — распознаваемы. Тогда
1
Доказательство
LMPM
ЮНµ®
,,:, .
1111111
LMPM
ЮНµ®
2222222
� ����� � �
,,:, .
� ����� � �
*
*
е
-
*
.
е
*
М — гомоморфизм,
О
.
.
-1
распознаваем.
З
1
L
-
1
L
.
MMMmmm Mm M==
x(,)
12 12 11
�
ab cd ac bd,,
*
Построим
µ
=µ
www(,).
Покажем
-1
wwww
Оµ Ыµ
w
О
м
Ы
н
w
О
о
:
1
µ=З
PP PP
L
1
w
Ы
L
2
M
PL L
ОЫµ
()
ОЗ
(гомоморфизм):
, где
м
µ
,x
()µ()
()
12 12
ОЫ
п
н
µ
п
о
О
w
О
w
()
P
Ы
P
.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]