Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы дискретной математики. Учебное пособие
.pdf
6. Автоматы и языки
()
()
rS
()
()
ABx =
=(QR
�
()
()
()
,)
dt
ЮЗLL
12
LL
12
ЗЗ
Ю
12
qT
11
,)
qT
22
,)
()
е
pT
��
pt
()
qF
е
,)
()()
{}
()()
{}
ИИ
dd
12
()
{}
ap
TL
П
22
,,
,.
l
12
wwОЮ$О $О =Ю
�� �
v =l
TF
1
Н
v №l
()
е
Прямым произведением конечных автоматов (распознавателей)
AQ qT=
�еµ,, (,), )qr TS
1°, 4°.
,,,,d �
е
00
5° L
, L2 распознаваемы
1
Доказательство
В силу
0
x
LL
12
BR
,
, где
=�
=
,,,,t �
е
µ
qr aqara,, (,,(
, доказываемое утверждение является следствием
Замкнутость множества распознаваемых языков
относительно произведения и итерации
Утверждение 1. L1 и L2 распознаваемы
Доказательство
Пусть L
автоматом
"О "О
aQqa
распознается автоматом
1
AQ
=е(,,,
22 20
��
d �
:,d
2202 1
.
="О
� �
называется автомат
0
=
распознаваем.
LL
AQ
=е(,,,
11 10
создаем тройки
d �
)
.
распознаваем.
распознается
и L
2
tap,,
x
,
,
т. е. строим НКА
BQQE
=
(,,,
И
12 02
Exay xa yxay xa y=
где
ИО
��(, ,) &,tapt Tq
м
=
F
н
о
Проверим, что B распознает
LL uL vL uv вA
до Т
, в А2 есть путь, помеченный v от q02 до Т2. Если
1
читав u в B, можно попасть в Т
Делаем переход из Т
из p и приходим в Т2. Таким образом, v принимается B.
,, ,,,,
d
1202
И
TT L
12 2
12 12 1
О
l
,:
в p по добавленной стрелке, затем читаем в А2 слово x
1
,
=
=
,
LL
Если же
1.
=
.
есть путь, помеченный и от
, то
vaxa qa p=О
, то
,;,��d
, и, про-
=
02
101
q
01
.
Элементы дискретной математики
wО Ю
111212
е
w=uav()
()
()
wО
12
ii
{} {}{}
е
,)
aT
()()
{}
()()
{}
()()
{}
ИИ
wwLL
kk
11
wl=
wОLB()
w
qT
()
ОЮ
е
w
ww
jj
avb
wО
()
()
vqvT
()
bT
()
�vL L
LB()
то он не выходит из
Если путь приводит в Т
из А
в А2 по некоторому
1
d
qu TuL,
1011 1
d
qavT av L,
2022 2
Следовательно,
есть путь, помеченный ω из q
ALиT FL LL
ЮО НЮОЮ=wlwwlт .
2
ОЮО
ОЮО
a О
,
LL
, при этом
.
.
Утверждение 2. L — распознаваемый
, то произошел ровно один переход
в F. Если путь приводит в Т1,
01
,
*
Ю L
— распознаваемый.
Доказательство
BQ iE
=
И
Строим
E
где
=
*
wwww
В последнем случае очевидно, что
(,,,
(,,, ,, ,,,,dd d
paqpaq iapqap qaiq
=
,
=
0
a
ОS
,, :Ю$ =
� �
И
((, ,) ,).iaiqaT
{}
либо
d
О
()
0
.
.
Покажем, что для каждого j в B есть путь из i в i, помеченный
.
j
ww dw
=Ю ОЮ
1
jj
avbіЮ =2
,
01
. Возьмем в А путь, помеченный
шаги: первый — на шаг из i, последний — на шаг в i.
Соединяя найденные пути в один длинный путь из i в i, помеченный ω,
получаем искомый путь, т. е.
wО
Обратно, пусть
LB
, т. е. в B есть путь из i в i, помеченный ω. Разо-
бьем этот путь на такие куски c концами в i, у которых в середине i нет. Рассмотрим некоторый кусок, пусть он помечен словом v.
=Ю
vvaubqau
іЮ=Ю
В каждом случае
102
О10d ,
,
d ,
0
ОЮОw
О2
есть петля из i в i, помеченная
LB
.
.
*
.
.
i
, и заменим в нем
6. Автоматы и языки
()Ю
{}
∑
aa
{}
е
∑\{a}
LL
12
ЮИLL
12
Ю
12
Ю L
()Ь
()
()
{}
е
11
Li
()
{}
11
{}
()
=+
,)
11
"
{}
()
{}
ld
()
{}
е
Рациональность и распознаваемость языков
Теорема Клини
L рационален Ы L распознаваем.
Доказательство
L рационален Ю L записывается рациональным выражением.
l
распознается следующим автоматом:
1Ø
ОЮ
,
распознаваемы
и L2 распознаваемы
L
1
L распознаваем
Далее — индукция по числу операций в рациональном выражении.
LLAA QEqT QnQqq
Обозначим
jk ijuuvu viuqq
,, ,,:,,(,
()
го языка достаточно показать рациональность каждого из объединяемых языков. Индукцей по k покажем, что
=О
Имеем
База индукции:
Liiaia i(,,) ,1 =
распознается автоматом:
Ø
LL
*
распознаваем.
=
wdww d� 00
LA Ljn
=
,,,,,, ,, .���d
е
И
*
jq T
:
=" =>>
()
(,
О
j
О
е
1
a
распознаваем.
распознаваем.
==
. Для доказательства рациональности это-
i, j L (i, j, k) рационален.
=
— рациональный язык.
∑
Ю
∑
n
()
О
))
k
-
2
.
Li ja ia j(, ,) ,1 =О
d
=
— рациональный язык.
103
Элементы дискретной математики
()
()
=О
{}
LL
12
ЮЗ
LL
12
1
2
3
4
b
b
Lq
ii
{}
32
о
,.
**
()
{}
()
wО
wО
wwОЮОUUV
wОLV
Шаг индукции:
Li jk Li jk Likk L kkk Lk jk,, ,, ,, ,, ,, .
+
=
()
1
()
И
()()
*
Следствие
1.
2.
,
— рациональные языки
не является рациональным.
0
LL
,,� �
12
— рациональные языки.
nn
Labn N
Пример
b
a
=О
wdw*,
е
q
()
=
1
a
a
b
l
LLaLaLb
=+ ++
м
14
п
LLa
=
п
21
н
LLa
32
п
п
LLbLaLb
43 14
м
LLaLaLab
п
141
н
LLab Lb Lb
п
41214
о
�
=
=++
=+ ++
l
3
1
=++
Лемма
Пусть
l№ =+ Ы=VLULVLUV
� тогда
*
Доказательство
()
Ь+ =+
Ю
Оw L.
Либо
1.
U
, либо
*
. 2.
LV
=Ч
.
+Ч+Ч += =� �ULVU UV VU UV UV UV Ll
2
104
6. Автоматы и языки
UV
ww wl=ОО№
11
�� ��
ww
()
UL==ОЮО
� �
ww
vL
ОЮ
Ю= ОН� ww
VL
Lb
14
**
()
23
()
()
Докажем методом «от противного». Предположим, что
считать, что ω — кратчайшее из
Тогда
Поскольку
ЮОw1UV
Значит,
vLvVv,,,
<
1
*
. Тогда
LUVН
, то ω
wОUV
*
доказано.
короче самого короткого слова из L\UV* Ю
1
*
.
LUV\
*
.
.
Докажем обратное включение методом «от противного».
Пусть ω — кратчайшее слово из
w= ООі
uv vuUv Vk
Если
Если
kj1
ku
0
, то
kv
>= №Ю <Ю
0
,,��� то ww lwww
vL
1
k
kk
111
Теперь по доказанной лемме из
2
()
La bLbb La bb
=
+ L
++aab3)
++ +
aaba a
+=+l
1
a3 + L1ab =
1
3
11
*
. Автомат распознает язык L2 + L3 = L1a(l + a) = ((a2 + l)bb*a +
)*l
2
ll++
1
.
�UV L*\
0 ,,�� �
.
LLab Lb
LLaLaLab La bb a
; из
=+ ++=+
141
*
++La bb aa ab
.
2
=++
41
3
следует, что L4 = ((a2 + l)bb*a +
wП
*
. Можно
следует, что L
2
11
l� ()
=
4
*
105
Элементы дискретной математики
Содержание
1. Логические исчисления ................................................................... 3
Множество, отношения, функции ............................................... 3
Множества ..................................................................................... 3
Основное свойство множеств ................................................... 3
Способы задания множеств ...................................................... 3
Операции с множествами ......................................................... 5
Свойства " А, В, С .................................................................... 5
Отношения ..................................................................................... 8
Основное свойство .................................................................... 8
Теорема (об отношениях эквивалентности) .......................... 10
Структуры порядка ................................................................. 11
Операции с отношениями ...................................................... 12
Функции ....................................................................................... 14
2. Предикаты .................................................................................... 20
Операции над предикатами ......................................................... 20
Кванторы...................................................................................... 21
Предикатные формулы. Тавтологии ........................................... 23
Исчисление предикатов .............................................................. 28
3. Булевы функции ............................................................................ 30
Определение и примеры .............................................................. 30
Суперпозиция функций .............................................................. 32
Тождества ..................................................................................... 32
Дизъюнктивная нормальная форма БФ ..................................... 33
Полиномы Жегалкина ................................................................. 36
Замкнутые классы БФ ................................................................. 37
Теорема Поста ............................................................................. 43
4. Комбинаторика ............................................................................. 49
Основные правила ....................................................................... 49
Элементарные комбинаторные функции ................................... 50
Свойства числа сочетаний ........................................................... 51
Задача (о кроликах)...................................................................... 54
106
Содержание
5. Теория графов ............................................................................... 57
Определение и задание графа ..................................................... 57
Операции с множествами ............................................................ 60
Изоморфизм графов .................................................................... 60
О сложности алгоритмов ............................................................. 62
Маршруты .................................................................................... 64
Связность ..................................................................................... 67
Эйлеровы пути ............................................................................. 71
Деревья ......................................................................................... 75
Потоки в сетях ............................................................................. 78
Алгоритм поиска максимального потока ................................... 81
Расстояние в графах ..................................................................... 82
Двудольные графы ....................................................................... 84
Алгоритм проверки двудольности связного графа ..................... 86
Паросочетание ............................................................................. 87
Плоские и планарные графы ....................................................... 90
6. Автоматы и языки ......................................................................... 92
Языки ........................................................................................... 92
Операции с языками .................................................................... 92
Автоматы. Распознаватели .......................................................... 94
Моноид переходов конечного автомата ..................................... 97
Распознавание автоматом и моноидом ...................................... 98
Свойства распознаваемых языков .............................................. 99
Замкнутость множества распознаваемых языков
относительно произведения и итерации ...............................101
Рациональность и распознаваемость языков ............................103
107
Учебное издание
Ананичев Дмитрий Сергеевич
Андреева Ирина Юрьевна
Гредасова Надежда Викторовна
Костоусов Кирилл Викторович
ЭЛЕМЕНТЫ
ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
Редактор О. С. Смирнова
Верстка О. П. Игнатьевой
Подписано в печать 04.12.2014. Формат 70×100 1/16.
Бумага писчая. Плоская печать. Гарнитура Newton.
Уч.-изд. л. 5,7. Усл. печ. л. 8,7. Тираж 100 экз.
Заказ 1.
Издательство Уральского университета
Редакционно-издательский отдел ИПЦ УрФУ
620049, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5
Тел.: 8 (343) 375-48-25, 375-46-85, 374-19-41
E-mail: rio@urfu.ru
Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ
620075, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4
Тел.: 8 (343) 350-56-64, 350-90-13
Факс: 8 (343) 358-93-06
E-mail: press-urfu@mail.ru
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]