Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы дискретной математики. Учебное пособие
.pdf
Свойства числа сочетаний
kk
<>
,.
An
��
()
aA
Aa
{}
Aa
{}
C
+
Ю
1615 20 ��� �� �15 61
()
()
()
()
е
4. Комбинаторика
CC
1)
nn
k
CC
=
2)
n
k0
100==
,,
� � �����
-
nk
.
n
n
Доказательство
Пусть
j BAB
= \
= , BABk AB AABnkН=ЮН =-�
— биекция между k-элементами и (n-k) — элементами указан-
�,\,\
ных множеств.
knk
CC C
+=
3)
n
+
1
k
.
++11
n
Доказательство
An
=+ О1,� �
. Разобьём все k+1 элементные подмножества множества A
на 2 вида:
а) с элементом а; остальные k элементов — из множества
k
подмножеств будет
C
;
n
б) без элемента а; все k+1 элементов — из множества
1
множеств будет
k
. Свойство доказано.
n
Треугольник Паскаля
, то есть
\
. Таких
\
. Таких под-
4) Бином Ньютона.
Доказательство
C
берется x n-элементного множества всех скобок.
0
� � � � � � �
C
0
1
CC
� � � � ��
101
CCC
� � �� �
20212
�� ��
CCCC
3031323
n
xy Cxy
+
()
xy xyxy xy xy
n
=
n
+
=+
k
— число k-элементных подмножеств некоторых скобок, из которых
� � � � � � � � � � �111
� � � � � � � � � �� �
121
� � � � � � �
1�� �� �� �
2
33
е
=
k
0
12444434444
331
� � � � � � � �� �� �� �
14641
� � � � �� �� �� �� �
1510 10 51
-
kknk
n
.
+
... .
n
knk
+
=
-
51
Элементы дискретной математики
C
()
!!
C
C
()
!!
aa
{}
xAН
aX
aU
о
,,
,.
Xk
=Ы =
xx
() () ()
11
00
kn
!!
()
CC
++
n
5)
k
=
n
!
-
nkk
Для данного свойства приведем два доказательства.
Доказательство I
Пусть
k
A
— число упорядоченных цепочек длины k.
n
k
— число неупорядоченных цепочек длины k.
n
P
– число способов упорядочения цепочек длины k.
k
Тогда
k
A
k
n
==
n
P
k
n
!
-
nkk
.
Доказательство II
Пусть
,,..., .�
12
Каждому
n
поставим в соответствие
Aa
=
дующим образом:
О
1
� �
Xa
м
=
н
x
П
0
� �
X
сле-
x
Тогда
xk
XXaXaXa
xx
Всего у такого слова
«
supp .
x
,,...,�
12
10
... ...
-
— это анаграмма слова.
n
n
k
!
-
nkk
анаграмм.
6) Треугольник Паскаля:
0
/\
0 0
/\/\
0 0 0
/\/\/\
0 0 0 0
/\/\/\/\
0 0 0 0 0
Сумма элементов, выделенных полужирным, равна элементу, выделен-
ному полужирным курсивом.
n
n
++++ =
nnn
CCC
...
n
++
12 1
nknnk
n
+
1
.
+
52
Доказательство
CC
CC
CC
12
CC
=Ч
ki-
en=1
{}
,.
ee
11=№,.
()
++
()
++
()
++
1
0
-
№
e
3
()
Доказательство проведем с помощью индукции по k:
Б. И. при k = 0
n
Ш. И.
7)
++++ +=+=
nnn
k
k
е
mn
+
min
i
=
0
n
==
n
n
CCCC
n
++ +++++
ki
-
C
n
+
n
...
1
.
+
1
nknnk
n
n
+
nk
n
1
nk
++ ++12 11
1
.
Доказательство
4. Комбинаторика
nn +1
.
nk
CC
min
А
i
m
множеств пересекающихся с A по i элементам и с B по n-i элемен-
В
k–i
n
там.
ε — первообразная — это есть корень из 1-q степени n, если
"О -
111,...,
���e
Пусть
3
k
№kn
� �
.
Тогда с использованием свойства 4 можно записать следующие равенства:
n
1
+
eeeeee
1
+
eeeee
11
+
01 22 33 4526
=+ ++++
CC CCCC C ...,
nn nnnn n
n
2012 24 3425 6
=+ ++++
CC CCCCC ...,
nn nnnnn
n
0123456
=+++++
CCCCCCC ....
nnnnnnn
Заметим, что
3
1
-
1
++ =
e
2
0
=
0
=ee
.
А теперь, сложив первые три равенства и преобразовав полученную пра-
вую часть при помощи четвертой формулы, придем к равенству:
11 2
+
()
n
++
ee
n
2
+
n
0369
=++++
CCCC....
nnnn
53
Элементы дискретной математики
ee
21
ee
Ю=
--
11
1111
()
()
()
()
()
eeee
CC
3
()
pp
232
2
233
ss
33
pp
CC
3
p
С
CC
CC
01
11
="іЮ =+
--
� � �
Учитывая, что
=-,
получим
ee
==
1
.
2
1
+
e
03
++=
nn
Пусть
n
=+
ee
=- +Ю+= += +
nnn
=+
21 2
Re.e
+
=+
n
+
n
...
1
iiico
1
1
=+
3
n
.
in
.
Тогда
n
1
+
=+e
()
cossin ,
n
n
i
123
Re
02
++=+...
nn
n
22
cos
n
3
.
Число размещений с повторениями — это число способов разместить n
одинаковых предметов по k различным большим ящикам.
k
Обозначение
.
n
Построим биекцию между раскладками n одинаковых предметов по k раз-
личным большим ящикам и словами, составленными из n нулей и k-1 единиц:
5
= ,
20625
k
k
-
1
nk
+-
C
==
n
n
nk
+-1
.
1
Задача (о кроликах)
В момент t = 0 родилась пара кроликов. Кролики два месяца растут, а по-
том каждый месяц приносят по одной новорожденной паре. Сколько пар
кроликов будет через 10 месяцев, 1000 месяцев.
Пусть Fk — количество пар кроликов в момент t = k. Тогда
FnFF F
F
1
=
,
1
54
nn n
старые новорожденные
2
4. Комбинаторика
{}
aR
{}
Ґ
()
,,
00
aR
{}
()
aa
nn
:,
aR
{}
$� �� �aa a
,,..., ,mR
"і =+ ++
���nmaa aa
nnnm
aa a
...
aR
{}
{}
()
kn
aa
ax
'.
F22=,
F33=,
Построенная последовательность
F45=,
F58=, F613=,
F721=,
F
— последовательность Фибо-
n
=Ґ0
n
наччи.
Ґ
Н
n
0
=
n
Ґ
$®$О "і =
fR Rn Nnna fa aa
:,
Ґ
n
=
0
n
$®"і =
�����fR Rnma fa
Ґ
n
=
0
n
ка m, если
— это рекуррентная последовательность, если
0011 0
Ґ
Н
— это рекуррентная последовательность порядка m, если
m
Ґ
Н
— это линейная рекуррентная последовательность поряд-
12
nn
nnn
-- -
12
--
,...,
nn
.
m
11 22
нейное рекуррентное соотношение порядка m.
Пусть
Ґ
n
n
Ґ
Н
=
0
, тогда
fx ax
водящая функция последовательности
Рассмотрим действия с рядами. Пусть
=
()
Ґ
е
n
=
n
— это есть обыкновенная произ-
n
0
a
.
n
=Ґ0
n
gx bx
()
Тогда будут справедливы следующие равенства:
Ґ
fx gx abx
1)
()+()
fx gx ab x
2)
()Ч()
fx x
3)
()
fx ha xn
4)
()
x
ftdt
5)
()
т
0
=+
е
nn
n
=
0
n
Ґ
ж
=
ее
з
k
n
==
00
и
Ґ
=
е
n
Ґ
==+
=
=
kn
n
n
ax
n
n
.
-
1
+
1
n
=
+
1
=
0
Ґ
=
n
.
ц
n
.
ч
knk
-
ш
Ґ
1
()
ее
=
00
nn
Ґ
a
-
1
n
ее
nn
x
n
=
10
n
+
1
n
n
.
F834=,
,..., ,,...,� ��������
-- -
Ґ
=
е
n
=
0
…
..
n
.
n
— ли-
55
Элементы дискретной математики
№
()
Ч=
ba
00
()
()
()
()
ее
xn
nn
и
ш
и
ш
ее
()
nx
Лемма
=
()
Ґ
е
n10
=
Ґ
fx ax
=
()
е
n
n
=
0
n
, a00
-
1
$
� �a
0
тогда
-
$
� � fx bx
Доказательство
Ґ
ax bx
=
Ґ
ж
з
n-==
и
ab
00
ab ab ba ba
01 10 10101
ab ab ab ba ab ab
02 11 20 20111 20
ab ab ab ab ba ab ab ab
03 12 21 30 30112 21 30
Ґ
n
ее
n
n
ее
k
nn
=
ab x
knk
00
n
1=® =-.
0+=®= -
n
100.
ц
n
=
1.
ч
ш
1
-
0++ =® =--
0+++=® =---
.
-
-
.
…………
1
2
1
-
x
()
1
ж
=
з
-
1
и
Ґ
ц
ч
x
ш
xn
=
()
n
=
0
Ґ
'
n
==+
е
=
Ґ
-
1
=
nn
00
x
1
'
Тогда
е
n
Ґ
ж
з
n
knk
k
==
00
+-
()
ц
n
=
ч
-
++
()
n
Ґ
ж
nx xx ab x
()
з
n
=
0
Ґ
ж
=+
з
kn
n
и
=+ +-
1211 2112 11 1
()
ц
n
+
ее
=-=
xx nn
Ч- -
112
n
()
ч
kbx
1
()
20
nk
()
2
=
ц
n
=
ч
-
ш
Ґ
+-
()
е
=
2
n
n
.
n
.
.
=
.
56
5. Теория графов
nn
()
nV
о
Определение и задание графа
Приведем пример графа. Важно, какие точки соединены, а какие нет. Это
способ изображения любого симметричного бинарного отношения.
x
y
Помеченный граф G — это есть G = (V, E), где V — конечное множество
вершин, а Е = {{x, y}| x≠y; x, yV}=V
(2)
— множество ребер.
Пример
G = ({1,2,3,4,5}, {{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,4}, {3,4}, {4,5}}).
Как еще можно задать граф? Матрице бинарного отношения соответству-
ет матрица смежности графика.
Матрица смежности графа — это есть матрица
a
, где
ij
ґ
=
M
=
эффициенты которой находятся следующим образом:
ij
10,� � §я и §я вершина — ребро,
м
a
=
н
ij
,иначе.
Согласно определению, матрица смежности выше приведенного графа
имеет вид
0 1110
� � � � � � � �
M =
ж
з
10010
� �� �� � � �
з
з
10010
� �� �� � � �
з
11101
� � � � � �� �
з
з
00
� �� � �� � � �010
и
ц
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ш
, ко-
57
Элементы дискретной математики
о
ij
Нґ
� �� � � �
� � � � � � � � �� �
Матрица инцидентности графа — это матрица I = (βij)
n×m,
где n = |V|, m = |E|, а элементы β определяются следующим образом:
10,если§вершинапринадлежит §му ребру,
м
b=
н
,иначе.
Матрица инцидентности выше приведенного графа имеет вид
111000
� � � � � �� �� �
ж
з
100100
з
з
I =
010010
з
001
з
з
000001
и
� �� �� � � �� �
� � � �� �� � � �
� �� � � �� � � � � �
� �� �� �� �� �
111
ц
ч
ч
ч
,
ч
ч
ч
ш
где m = |E|, n = |V|, причем для числа ребер справедлива оценка
0 ≤ m ≤ |V
2
| = C
2.
n
Мультиграф — это есть граф G = (V, E), где V — конечное множество вер-
().2
шин, а Е — множество ребер с кратностями, т. е.
EV N
Пример
G = ({1,2,3,4}, {({1,2},1), ({1,2},2), ({1,3},3), ({1,4},1), ({3,4},1), ({3,4},2),
({3,4},3)}).
m = |E|, αij — количество рёбер, соединяющих i-ю и j-ю вершины.
мере, имеют вид
шине. Степень вершины v обозначается записью deg v.
58
1
1
1
2
4
Матрица смежности мультиграфа G есть матрица М = (αij)
2
2
3
3
3
, где n = |V|,
n×m
Матрицы смежности и инцидентности для графа, рассматриваемого в при-
M =
0211
ж
з
� �� �� �
2 000
з
з
� �� �� �
1 002
з
� �� �� �
1020
и
ц
ч
ч
ч
ч
ш
I =
,
111 100
ж
з
110000
� � � �� �� �� �
з
з
001011
� �� � � �� � � �
з
000
� �� �� � � � � � �111
и
ц
ч
ч
.
ч
ч
ш
Степень вершины v — это есть число ребер, инцидентных данной вер-
5. Теория графов
g.
vE
е
g.
vE
е
2
Ч
()
Нґ
VNНґґ
==
aa� ��
,,
о
�
gd
ее
Лемма о рукопожатиях
de
� �
2
vV=О
Доказательство
Сумма степеней всех вершин графа равна числу концов ребер данного
графа, а именно:
de
��
2
vV=О
Пример
В графе 100 вершин, каждая соединена с 15-ю другими. Сколько в гра-
фе ребер?
Ответ:
10015
750
= .
GVE=
нечное множество (вершины), а
G = (V, E) — ориентированный мультиграф, если
,
— ориентированный граф (ОРГРАФ (digraph)), если V — ко-
EVV
.
EV
.
Матрица смежности ориентированного графа — это матрица
M
(),
ij nn ij
ґ
количество ребер с началом в i-й вершине и концом в j-й.
Матрица инцидентности ориентированного графа — это матрица
ij
� �
§я вершина – начало §горебра
м
п
i
-11
,
� �
I
() ,bb
deg
§я вершинна – конец §горебра,
п
=
ij nm=ґ
v
— степень исхода вершины ν — это число ребер с началом в вер-
+
н
ij
ai№±1, � � и конец§го ребра,
п
п
,иначе.
0
§я вершина– и начало,
j
j
шине ν.
deg-v
— степень захода вершины ν — это есть число ребер с концом ν.
Лемма о рукопожатиях (для орграфов)
de
О
NV vV
==vE v
+
О
eg .
-
Доказательство
Количество начал рёбер = количеству рёбер = количеству концов рёбер.
59
Элементы дискретной математики
22
()=()
,,
GG
EE
12
()
GG
12
()
GG
\.
()
()
()=()
HGН
UVFEНН,.� �
®
GV
22
()=()
,,
{}
() ()
{}
��
(G
G
GG
12
@
@
@
GG
{}
()
jj
()
{}
vE
()=()
,,
jj
vb
vE,,
{}
() ()
{}
@
GGGG
23
@@
� �
Операции с множествами
GVEGVE
=
Пусть даны два графа:
следующие графы:
=
12 12
∩ G2 = (V1 ∩V2, E1 ∩ E2),
G
1
VV
,� �
,,
1112
,
� � �
тогда можно построить
\\,\ ,=
12 12
\\,\
12 1212 12
HUFG VE=
VVEE
VVEE VV
=
,, ,� �
� �
� �
— графы,
2
()
(H подграф G) — если
Изоморфизм графов
EGVE
φ: V
1
"О
uv VuvE uvE,, ,
V2 — изоморфизм графов
11 2
ОЫ
jj
���
=
1112
.
Замечание
Если картинки графов изображены одинаково, то такая функция есть.
Если между графами G
)
морфен
, пишут —
2
и G2 существует изоморфизм, то говорят
1
.
Теорема (об изоморфизме)
Отношение изоморфизма есть эквивалентность на множестве графов.
Доказательство.
рефлексивно (тождественное отображение — изоморфизм).
1)
2)
симметрично:
@$"® "
,: ,, ,то есть�� �� � �� �� �
12 12 1
Заметим, что φ
"О
����� �
ab Vauua
2
� � � � � � � � � � � � � � � � � ���
ab Eu
О«
2
–1
-
1
-
1
j �� j
bv
()
--
11
jj�
VVuv uv En
��j
: V2→V
1
=
,
=
,
= ,
()
.
О
2
О«
и
-
1
-
1
, если
изо-
1
О
.
2
3)
транзитивно:
,
12
60
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]