Элементы дискретной математики. Учебное пособие

2) "О Ю$

ОО

ii

��

ОЮ Юrr

iI jI

xA yA

zA

ii

jj

ОО ОО

� и

®

ij AA

№Ю =Ж,

jx

ОЮ=®$О

xz

О®r

aA

r= Н" О� � � �

aR

aA

ii

®®

ij

$i

aA

ii

aR

К" ОiI

О/r

aA

ii

{}

yxyЫr

{}

xA AiIx A

� �



О

ij

ρ очевидно симметрично.

1. Логические исчисления

�

xA xx

и

i

рефлексивно.

r

xy

"О

,, �

xyzA

yA Ai

но

AR

/

xa xa jО

йлщ

ы

xA aA

ОЮ

xA xa xa Aa

О® ®О

м н

r

yz

о



ij i

$r � xA aA

йлщ

ii

ы

(надо

$О

м

®

н

$О

о

(надо показать, что

ООЮ=

и �

ij

Н

йлщ

ы

AA

i

Структуры порядка

Ј

� �� на 1234,,,

1)

yA

A

и

Ю=

)

йлщ

aA

ОЮ

4 max

и

zA

й

л

Ю

йлщ

ы

йлщ

ы

ij

i

щ

ы

=

.

О

йлщ

ы

.

, то есть

=r

i

ы

.

AAiI

=Ю$О ОО� �

)



iI

йлщ

ы

О

.

Будем изображать элементы A точками на плоскости. Пусть они соответствуют элементу x, можно добраться по линиям снизу вверх до точки соответствует

на� � 123456,,,,,

2) |

, полученное изображение и есть структура порядка.

4

2

3

2

1 min

max

6

3

5

1

11

Элементы дискретной математики

{}

()

xAО �

"О

yx� � r

xAО

"О

xy� r

xAО

"О ®=

xy� � r

xAО

"О ®=yAyx xy� r

"ОbP

ab

о

®=

aa

12

,� �

aa

12

®=

-

"''""" "<И ==Ј

"''""" "ЈЗі==

<И>=№

|}

yx

rr

BA

2,3 — несравнимы. Наибольшего нет.

Н

� �� на b 123,,

3)

:

{1,2,3}

max

{1,2}

{1}

Элемент

наибольший, если

наименьший, если

Элемент

максимальный, если

чем x).

минимальный, если

Замечание 1

Наибольший — максимальный

Замечание 2

Наибольший единственный

{1,3}

{2}

yA

{2,3}

{3}

Ø

yA

min

(x больше всех).

.

yAxy

.

ab

r

м н

ba

r

— наибольший

(нет элемента, >

.

aa

r

м

21

н

aa

r

12

о

.

UI,,\,

1)

Пример

"''""" "

-1

r

2)

{( ,)

=

НґЮНґ

AB

12

xy

Операции с отношениями

r

— обратное к ρ отношение.

-

1

Пример

"" ""<=>

""

ЫО

""===

-

��

rr

rЈ ґAB

sН ґBC

rs rsЧ= $О

|,

zy� ��

rО ґAA

Ы

Н

Ы

rr rЧН

32®

21®

"Оxy A,

yxrrrr()

--

®®

13®

-1

-=1

"|

1. Логические исчисления

"



xy

x

Z

y

1

""

Замечание

--

11

()

=

3)

{( ,)

}xy zBxz

— произведение отношений ρ и σ.

Пусть А — люди, В — должности, С — предприятия. Если ρ соответствует фразе «…способен быть…», σ соответствует фразе «…требуется на…», тогда ρ и σ соответствует фразе «…может наняться на…».

А В С  Капитан



Джон

 «Ветер»

 Кок



Билли

 «Волна»

 Боцман

Теорема (о связи свойств и операций)

1) ρ — рефлексивное

2) ρ — симметричное

3) ρ — антисимметричное

4) ρ — транзитивное

Доказательство:

2)

 Пью

 «Топор»

 Канонир

.

«=»Н ρ.

-1

r

ρ Ы

rr-Н

-1

r

1

.

очевидно.

xy yx

по определению �

= ρ.

«=».

11

.

13

Элементы дискретной математики

rr

К

rrr

Ю

о

®О

Ь

®=

xy

)(

rr

Ь

о

xz

rН ґAB

rr

��

{}

rr

��

{}

DA

=

EB

=

"О $О

ab� �� r

==

-

r

-

rН ґAB

sН ґBC

rs,

rsЧ

rs,

rsЧ

-

®

-

1

м н о

®Ч®xyz

1

(,)

xy

м н

(,)

xy

r

®О

-

1

xy

r

xz

r

м

�

xz

®® О(,

н

zy

r

о

rr r

О О

xy

r

-

1

r

xy xyrr

докажем Н: докажем

(,)

3)

4)

"

ЮМЧ®$

"

(,)(,) (,)xy yx xyН® О® О (,)(,) (,)xy yx xyО® О® О

:

xy

м

xy

,(,)

н

yx

о

,,�

rr



r r

xy

r

м н

yz

r

Функции

®

rr

.

xy

м н

yx

о



r

®=

r

-

1

,)xy z

r

.

-

1

.

xy xyО®

(,)""xy

=

.

Область определения

Область значений

:|,

r

:|

r

ρ — всюду определено, если

ρ — сюръективно, если

ρ — всюду определено

r

aAbB

Утверждение 1

--1

DE D

ρ — всюду определенно Ю ρ — сюръективно Ю

r

1

.

r

1

всюду определенно.

Доказательство очевидно.

Утверждение 2

,

.

— всюду определенно Ю — сюръективно Ю

�EbBbBab=О $О

;

r

;

.

1

сюръективно.

— всюду определенно.

— сюръективно.

�DaAbBab=О $О

.

14

1. Логические исчисления

"О ѕ®ѕѕѕѕѕ$ О

cC bB

srcaA

ѕ®ѕѕѕѕѕ$ О

acrrsЮ

rН ґAB

о

®=

bb

12

®=

aa

12

rsЧ

"О О

� ��

12

о

==

cc

12

ѕ®

rН ґAB

r:AB®

ОЫ Ы=rr r

ba()

r : AB®

r:AB®

r:AB

®

Доказательство:

-

s сюръективно

.

"О О

ρ — однозначное

ρ — инъективное

aAbb B

"О О

bBaa A

Утверждение 3

ρ — однозначно

ρ — инъективно

®-r ®-r

Утверждение 4

ρ, σ — однозначно Ю

ρ, σ — инъективно Ю

Доказательство:

aAcc C,,

ac b

rs

м н

®$

11

ac b

rs

®$

22

.

abbc

rs

�

м н

ab bc

rs

�

��,

11 1

,

22 2

в

,,

12

,,� ��

12

1

— инъективно.

1

— однозначно.

м

� �

н

— однозначно. — инъективно.

r

– однознаачно

ѕ®ѕѕѕѕ

� -

сюръективно

ab

r

1

ab

r

2

r

ab

м

1

н

r

ab

2

о

bbb

12

ab

.

�

bc

s

м н

bc

о

1

s

2

и

— функция, если ρ — однозначно и всюду определено.

(ρ — это функция, действующая из множества А в множество В).

(a, b)

ρ — инъективно — функция вложена.

.

ρ — сюръективно — функция « отображение на ».



Биекция.

 

s

– однозначно

ѕѕѕѕ =

ab

.

15

Элементы дискретной математики

®

Af

®Ю

-

j:AB

®

"ОaA

$О =!(,)� ��aja

"О $О =

� �� !(,)aja

AB

M

-

Mn

=+

nm

о

43

ю

An

=+

Теорема 1

fA B:

gB C:

,

.

f, g — инъективные Ю f · g — инъективно. f, g — сюръективные Ю f · g — сюръективно. f, g — биекция Ю f · g — биекция.

Это следует из утверждений 2 и 4.

Теорема 2

-

1

fB

f: A → B,

:

f — биекция Ю

1

f

— биекция.

Это следует из утверждений 1 и 3.

Замечание

Пусть множества А и В — конечные,

 

, тогда в множествах

А и В будет одинаковое количество элементов.

Доказательство

ab

.

В А и φ одинаковое количество элементов.

bB xb

.

В B и φ одинаковое количество элементов.

A

— количество элементов в А.

j : AB

 ®Ю=

.

Пример

множество кратчайших маршрутов между противоположными

mn,

концами города размером m на n кварталов. Легко проверить, что

M

n11,

=

226,

M

?=

mn,

Анаграмма слова — это слово, полученное перестановкой букв. ПОП → ПОП ОПП ППО

Легко проверить, что

16

4

ьь

п

.

э п

м

п

A

mn

,

|=-

ww анаграммаслова ПП...П BB...B� ��

н п

,

A

n11,

226,

1243412

.=

A

mn,

?=

φ — правило:

j

,,

MA

mn

®

-

,,

AM

mn

AM

,,

j:AB

®

AB

iN

=О

{}

XN

<Ґ

X

{}

29

RR

$®

ѕ®

� ��

nn

Zbbb= 0

,,,� ��

ba

ii

{}{}

$=

� � � � j()

ab

№

AB

$®

$Н ®� ��

AB

j

идем вправо — пишем П;

идем вверх — пишем В.

:

mn

1

j

®

:

mn

.

По Т2 φ — биекция.

=

mn mn

.

1. Логические исчисления

Пусть

 

, тогда мощность А равна мощности В. (

Лемма

Rx

|

i

– разбиение Х.

Доказательство

X

Занумеруем

на конечном шаге для любого i.

до

i

по очереди, тогда, поскольку

i

Пример (Диагональ Кантора)

NRaZa

=ОО

:, ,, ,...,

� �� 01

iij

,

Доказательство:

NR

о/п:

1)

2)

3)

n)

№Ю

j

ѕ aa aa

,,, ...

1111213

j

ѕ®ѕ �� aa a ѕ®ѕ � �� aa a

ѕ®ѕ �� aa aa

,,...

22122

j

,,...

33132

j

,,, ...

nn

123

j :  

123

.

"О<ҐiNxi� �

.

. Тогда

1

-

X



1

ki=

=

.

, процесс дойдет

k

=

).

О

01 9,,...,\��

φ — сюръективно:

nZ n

AB

ЈЫ

, но

j : 

i

.

nn n

— противоречие.

BB

(или

': '

 

).

17

Элементы дискретной математики

AA

=®

"О =

aa� � � e

BCЈЈ

� �

AC

ЮЈ

jy b:,::ABBA AB

®®Ю$ ®� �

ajya

=®=

:(

EA

� � �

� ��

AA

== ==� � ��ya a

()

AAAAADAA

kk

42

КККККК =

... ... ()a

ABAA

12

=К=yyj() (( ))

BAКj()

== Кay yjjy

()� � �

AA

=Н

)\

22

xAAxAA yA

¬О=Ю$О

++

12

\()()� �aa

aa() ()yx=

ОЮ$О =

\(

� �a

21

=О

a

23

21

ii

О

22

a(\ )\AA AA

ii

22

=

a :\ \AA AA

ii

22

++

®

"ОiN

,\

aD

b : AA

®

Теорема

| А | Ј | В | — порядок на множестве мощностей. Доказательство:

AA AA

Ј$

≤ — рефлексивно

� � � �� ': 'e  

aA

()

.

≤ — транзитивно

j

:

AB



м н

$®

о

®

y

:

BC



Ю®

AB

jy

0

,

:

AC



.

≤ — антисимметрично.

Предложение (Теорема Кантора-Бернштейна)

   

Доказательство:



0

a

Строим цепочку множеств

AAABAA

011203 1

0123

(),(),

)AA

AAA

,,,...

012

.

AB BA B

(()) ((( )))

3

Ґ

DAAA

a(\



iiiii

i

=

0

2212

Допустим:

+++

ii ii i

++

221232

.

3

x № y, это противоречит инъективности α.

yA AxAxy

ii i

++22 23 2

xA

Если Значит

iО+

xA

Следовательно,

.

0

yxA

, то

, то есть

iП+

()

ii

2212

)

i

+

xA A

\

.

+

1

.

-

3+++

ii

2212

 

+

что

3

1

()

aiNa AA

ba()

a

м

=

н о

��если

иначе

,\

aaAA

Убедимся, что

$О О

0221

О

i

+

21 2ii

 

.

1

+

2

18

ii

или .

,

+

О

1. Логические исчисления

"ОyA

yyО®=b()

yy=¬b

ОО

$О

--

ii

21

¬

AN

ОО

a()xy=

)(

О=bb

bb bb

yyО® ОЮ===

$О ®О Ю ===

xy

bbb

$О ®О Ю ===

xy

bbaa

() \()()()

::

AB

Ю®

Сюръективность:

()

xA A

22

\

либо

yA AA N

iii

либо

.

Инъективность:

Либо

либо

Итак,

() () () ()xD yD xx

iN xA Ax

iN xAAx

byy:,

AA BA

xy Ax y,(

() \()()

221

=ѕ ®ѕѕ

y

b

()

     ®®

но by b·:-®

11

что и требовалось доказать.

либо

\\

+21 22 0

yA

+

ii0212

ii

a

– инъективно

yD

\

ii

+221

)

.

+

ѕѕѕѕ=xy.

.

,

y

,

-

1

A  

,

19

2. Предикаты

MB

{}

()

MB

ґґґ®

IM

{}

О

Операции над предикатами

n

Предикат — функция P типа:

®

множество, то есть функция P, сопоставляющая вектору чение 0 или 1.

При этом множество М называется предметной областью предиката Р

mm m

,,...,

mm m

;

n12

,,...,

— предметными переменными, Р — предикат-

n12

ным символом.

Используется выражение: n-местный предикат на множестве М; число n

называется местностью предиката.

В общем смысле предикатом называется отображение

, где

B =

01,

, M — произвольное

mm m

,,...,

n12

зна-

Р:

есть некоторые множества. Прямое произведение M1 × M2 × ... × Mn

где M

i

MM

...

n12

,

будем называть областью определения предиката Р.

n

Н

Область истинности предиката Р — подмножество

p

предметной

области предиката Р, на элементах которого значения предиката равны 1.

Пример

Одноместный предикат Р (X) на множестве натуральных чисел: «при делении на 3 число X даёт остаток 2». Область истинности — множество чисел вида 3n + 2(n = 0,1,2,..).

Пример

Двуместный предикат Q (X, Y): «при делении на 3 число X даёт остаток Y». Предметная область для Q (X, Y) — множество пар (a, b), где a и b — нату-

b О

012,,

ральные числа, причём

.

Пример

Трёхместный предикат R (X, Y, Z): «при делении на Z число X даёт остаток Y». Предметная область — множество троек (X, Y, Z), где X, Y, Z

N,

Z ≠ 0, 0 Ј Y < Z.

20