Элементы дискретной математики. Учебное пособие

Лемма о количестве

2

n

{}

fx00

()

fx

()

fx x

()

�

()

216

2

=

01

()=()

yx

()

yy

()

yy

()

yx

()

=

yx

()

==

()

=Ъ

()

=®

()

=®

()

=«

xyxy yx«= ®Щ®()()

Количество n-местных БФ равно Доказательство

А

Всего

� В

функций из А в В). У нас

Пример 1

n=1

x f

0 0 0 1 1 1 1 0 1 0

0

3. Булевы функции

2

.

� Аn=

01,

f

1

f

B =

,

2

01,

f

3

,

Аn=��2

.

=

fx x

=�

2

,

(отрицание х).

=

3

1 — константы,

=

1

;

Пример 2

n=2,

2

x y f0f1f2f3f4f5f6f7f8f9f10f11f12f13f14f

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

fxyfxy

,, ,

fx

,

=

3

fx

,

5

fx

,

10

fx

,

12

fxyx

,

1

;

=

;

=

;

Щ

5

=� � �

— константы;

y

(конъюнкция, умножение, «и»);

15

fxyxy

,

7

fxyxy

,

13

fxyyx

,

11

fxyx y

,

9

(дизъюнкция, «или»);

(импликация, «если…, то»);

;

(« эквивалентность, «тогда и только тогда»);

;

31

Элементы дискретной математики

()

=Е

xy

yx

,|

()

xy

()

==

()

=®

.)

fy yy y

(,,..)

()

xy yx�� Ъ=Ъ

ў

Щ=Щ1.xyyx

yz

()

ЪЪ()

ў

ЩЩ=Щ Щ2.() ()� � xy zx yz

()

ЪЩ=ЩЪЩ�

ў

()

fxyxy

,

6

xy

Е=«

(сложение по модулю 2);

;

fx

14

fxyxy

,

8

fxyfxy

,(,)

213

fxyyx

,

4

y

=

=�

(штрих Шеффера);

(стрелка Пирса);

®

;

.

Суперпозиция функций

fxxx x

Если

nn nn nk

123

ffyyyy fyyy yfyyy

(,,..,,..(,,

(,,.

123

, то функция

n

11112131 22122232 12

kknn n

13

fy yy y

,

n

ј

(,,.

hy yy

�, ј

11 12�

k11112131

1

ј

nk

…

=

n

ется суперпозицией этих функций.

Тождества

1.

.

fy yyy

(,,.

y

.. ))

nnnk

3

n

.

…

k22122232

3

называ-

xy zx

Ъ

2.

Ъ=

.

Проверить можно с помощью таблицы:

x Y z

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

() ()

xy zxzyz

3.

x Ъ y y Ъ z (x Ъ y) Ъ z x Ъ (y Ъ z)

32

.

Щ

� � � xy zxzyz

Ъ= ЪЩЪ3. ()

3. Булевы функции

xxxЪ=

ў

Щ=4.� � ��xx x

x Ъ=11

ў

Щ=500.� � � x

xxЩ=1

ў

Ъ=600.� � � x

xxЪ=1

ў

Щ=70.� � �xx

xx� �

yy

()

ў

ЪЩ=

� � �

yy

xy

xyЪ

xy

x

y

xyЩ

,;

,.

aab

=«

{}®{}

()



),

{}

()

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

=

xy

Щ

xy

Ъ=Щ

.

. .

.

Ъ=

.

. .

9. ()

.

xy

10ўЩ=Ъ.� � �� xy

.

Замечание

Если в тождествах для операций с множествами заменить З на Щ, И на Ъ,

U на 1, Ø на 0 и отрицание на дополнение, то получим 19 тождеств для БФ.

Проверим Закон де Моргана:

x y

0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0

Ъ

Дизъюнктивная нормальная форма БФ

Обозначение

Замечание:

Лемма 1

Для любой булевой функции

fxxx xx xf

:,,, (, )

12 12 12

по всем наборам

b

ј

=Ъ��

nnn

м

п

b

a

=

н

ab

п

о

aa

12

(,

aa a

12

� �

ab

� ��10

.

=

fn:, ,01 01

a

n

aa a

n

01

О

n

, для которых

, где дизъюнкция берется

верно тождество

fnaa a

12

1, 

=

.

33

Элементы дискретной математики

bb

nn

,,

()

,(,)

bb

nn

,,

()

,,



()

bb

nn

,,

()

nn

,)

bb

nn

,,

()

nn



()

{}

№=

bb

10

{}

��

ii

,,

ff

nn

,,

()

{}®{}

{}()

nn



�

aa a

О

Sf

()

{}

,.

{}

22

==

2

nn

,,

()

aa a

О

Доказательство

Пусть при

есть дизъюнкт

bb

12

bb bfbb b

вен

12 12

xx xb

xx xfbb b

b

n

�

n

12 12

bb

12

12 12

=

b

n

�

n

1

.

=

Значит и вся правая часть равна 1.

n

левая часть равна 1. В правой части

. При

n

xx xb

12 12

=

он ра-

Пусть при

xx xb

12 12

извольный дизъюнкт из правой части

xx xb

12 12

Если

� �

aa a

12 12

=

$О

in

 ,,� � aaто

=

он равен

ii i

bb b

левая часть равна 0. Рассмотрим про-

aa

12

xx xf

12 12

aa

12

bb bf

12 12

i

0

=

. Т. е. дизъюнкт всегда равен 0. Все дизъюн-

a

n

� ,

, если

a

n

aa a

"О

aa a,(

�

.

1

=��

a

кты в правой части равны 0, значит вся правая часть равна 0.

Теорема

"

nn

:, ,! ,, ,01 01 01

$Ј

ция берется по всем наборам

12 12

(, )

12n

aa

=Ъ� �� fSfxxx xx x

S

.

12

a

nn

, где дизъюнк-

Доказательство

Для доказательства существования такого множества в силу леммы 1 достаточно положить

�

=

aa aaaa

()

12 12

О

n

01 1,,

{}

=

n

При этом считаем, что пустое множество S соответствует нулевой булевой функции f.

Для доказательства единственности, заметим, что выражений для правой

,

01

{}

части столько, сколько множеств

SnН

01,

т. е.

b(, )

n

01

{}

. При

�inb

то

n

2

n

2

и n-местных БФ тоже

. Каждой правой части соответствует ровно одна

БФ, и каждой БФ соответствует выражение правой части. Если какой-то БФ соответствует более одного выражения правой части, то на все функции не хватит таких выражений.

Если

борам

aa

fxxx xx x

12 12

(, )

12n

S

12

=Ъ

, то правая часть равенства называется дизъюнктив-

a

n

, где дизъюнкция берется по всем на-

ной нормальной формой функции f.

34

3. Булевы функции

xy®

ЪЪ

11

x

yxyxyxyxy xy xyЪЪ

,)

()

=ЪЪЪxyzxyz xyzxyz

()

zx

()

Пример 1

Построим ДНФ для функции

x y

0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

xyxy xy xy®=

:

°° 01

x ® y

Проверка

x y

0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1

Пример 2

У нас есть 3 кнопки. Требуется спроектировать устройство, которое вы-

дает сигнал, когда нажаты хотя бы 2 кнопки.

x y z

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1

fxyz(,

fxyz,,

шим запасом деталей, позволяющих вычислять Щ, Ъ и –, то формула

потребуется 8 деталей «Щ», 3 детали «Ъ» и 3 детали «–».

Заметив, что

кратить количество необходимых деталей:

fxyz yz xz xy yx

— функция голосования трех. Теперь, если мы обладаем боль-

fxyz,,

позволяет собрать требуемое устройство. При этом

xyzxyz xy zz xy xyzxyz xyzxyzЪ= Ъ

=ЪЪ=Ъ

==ЪЪи

Ъ �

, можно со-

y,,

(теперь нужно 2«Щ» и 2«Ъ»).

=

35

Элементы дискретной математики

xy

��

{}

xyxyЩ=Ъ

{}

�

xx=Е

ЕЧ

xyyxЕ=Е

yz

()

ЕЕ

()

xxЕ=0

()xyzxzyzЕ=Е

xy yx=

()=()

xxЧ=1

xxxx№Ю=Ю =01 1

xx xkxx

Ч=Ю" і=1

()

е

Х

Полиномы Жегалкина

Теорема о ДНФ говорит о том, что любую БФ можно представить в виде суперпозиции Щ, Ъ и –.

Система БФ А — полная, если любая БФ является суперпозицией функций из А. Например,

xy

из

Ъ=Щ

следует, что

Щ-

,

— полная система;

Ъ-

,

— полная система.

Любая БФ может быть выражена через Щ, Ъ и –. Но таким образом, все отрицания, получим выражение через

1

1,

и

, а заменив,

.

Эти функции удовлетворяют следующим тождествам:

1.

xy zx

Е

2.

Е=

3.

4.

5.

9 аксиом двухэлементного поля Ю <{0, 1}, Е, ·> — поле

6.

xy zxyz

7.

8.

9.

Раскроем в полученном ранее выражении скобки, получим многочлен.

k

Заметим, что

, т. е. в каждом одночлене каждая пе-

ременная стоит в степени 1 или отсутствует. Таким образом, получим тож-

fxxx x

дество вида

,,

=

n

Sn

a

s

is

Нј

12

{}

О

. Его правая часть называется поли-

i12

ном Жегалкина.

Теорема

Каждая n-местная БФ однозначно (!) представима ($) в виде полинома Жегалкина.

Доказательство

Существование доказано перед формулировкой теоремы. Докажем единственность. Каждому полиному соответствует ровно одна БФ. Сколько всего полиномов для n-местных БФ? Каждый полином определяется вектором

36

3. Булевы функции

,,

aa aa aa aa aa

јј

{}

2

A Н�

{}

xh

()

{}

()

=ј

()

{}

коэффициентов ких векторов

2

(, ,, ,, ,,

Ж

1212 31323123 412,,)јј

n

{} {} {} {} {} {} {} {}

,,,,

. Таким образом число полиномов от n переменных равно

n

. Та-

числу n-местных функций. Значит каждой булевой функции соответствует ровно один полином.

Замкнутые классы БФ

Класс БФ С — замкнутый, если каждая суперпозиция функций из С ле-

жит в С.

Лемма

Пусть С — замкнутый класс, содержащий не все БФ,

ная система.

Доказательство. Предположим противное. А — полная, тогда есть суперпозиция функций

из А, не лежащая в С, что противоречит определению C.

Примеры

1. Все БФ — замкнутый класс.

x

2.

С. Тогда А непол-

01,

3.

01,,x

4.

01,, ,xx

5.

Для доказательства достаточно заметить, что позиция функций от одной переменной является функцией от одной переменной.

Ъ-

,�

6.

не замкнутый класс.

7. Все 2-местные БФ — незамкнутый класс.

Важный пример 1

Говорят, что функция f (x

Пусть

Tffcccс

c

,, .

, ..., xn) сохраняет константу c, если

1

=

Замкнутые классы

fy

=

x()

, т. е. супер-

fcccс,, ,ј

=

.

37

Элементы дискретной математики

T

{}

xT

nc

,,

()

,,

yT

kc

()

Ој

yT

kc

()

yy

nk

()

јј

()

nn

,)

()

јј

()

fTОП

00

f

ОT0ПT

ОT

1

xxyx y,,�� Ъ

1, ,��xyxy«®

П

1

xy+

x

()

gf

xx

nn11

,(,)

()

xy

Ъ=Щ

()

==

01

()

xx

ff

ff==

{}

yy

nk

,)

11

()

јј

()

Утверждение 1

Т

и

0

— замкнутые классы.

1

Доказательство.

с О

Пусть

fy

nn

1

Если

hccc ffcc cfcc c

,, (,,,,,

,01

. Пусть

,ј

hy yffy yf

ј

О

n

ј

kk

11 1111 1

n n

=ј

1

Как узнать по таблице

fx

ј

1

.

=ј

(,

n

fT

или

fy

О

1

ј

1111

fcccc,, .ј

=

1

�

n

, то

=

?

х

1

0 0 0 0

1 1 1 1

x

2

Для этого необходимо рассмотреть

T

0,

Важный пример 2

gx x

=

Функция

gx xf

если

Например, из

Если

fx

fx x

= 0

=

,

1

=

xy

Ъ=Щ

, то

двойственная для

n

.

следует

fx fx*()

*

fx fx

===

()

… x

и

1

fx x

*

=

.

n

0 f 1 f

0 1 f

.

n

0

,

.

f

1

2

n

(обозначение

n1

*

=

),

f — самодвойственная, если

Утверждение 2

S — замкнутый класс. Доказательство

ff fShffy yf

,.(,

Пусть

 О= ј

1111

38

*

=

. Пусть

1

Sf

nn nk

*

.

n

*

,,

11

()

јј

()

=О

()

,,

()

kn

nn

hS

fSО �

fSП

()

ОS

ПS

xxxy xz yz,,�� ЪЪ

,,

xy

xx

()

=ЧЧЪЧЧЪЧЧЪЧЧЪЧЧЪЧЧЪЧЧЪЧЧ =xxyxxz xzyxzz yxyyxz yzyyzz

=ЪЪЪЪЪ ЪЪ= ЪЪЪ =ЪЪxy xz xyzxzxyxyz yz yz xy xz yz xyzxyxzyz.

xy xz yzЪЪ

hy yhyy ffyy fy y

,()(

ј

11 111111

fy yfyy ffS

,,ј

=ј=ј

knkknn nk

1 1

=ј

kkn1111 1111 1

11

n n

й

л

=т.к. 

щ

ы

3. Булевы функции

)

.

ж

=ј

fy yfyy

з

1111 1

и

=О

т.к. fS ff yy fy yhyy

й

л

јј

knnnk

1

(, ,) ,

=ј

щ

ы

1111 111

Как по таблице узнать

х

1

0 0 0 0

g

1

g

1

1 1 1 1

"

xx xfxx xfxx x

,, , 

*

=

nn n12 12 12

ц

=

ч

n

ш

јј

knnn

1

или

х

2

g

2

g

2

... х

?

п

0 1

g

n

g

n

0 1

=

01,, ,,

«®+

=ј

f

a b

g

g b a

k

|�� xy xyxyxy

.ЮО

fxyz xy xz yz,, .

*

fxyz xy xz yz xy xz yz xyxzyz

=ЪЪ

,,

=ЪЪ=ЧЧ=Ъ

Ъ

Самодвойственность этой функции можно увидеть и по таблице:

x y z

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1

Ъ

=

39

Элементы дискретной математики

xy xz yzЪЪ

r

()

{}

,,

r

()

{}

,,

r

ab

{}

ii

00



� � � � �

()

{}



,,



ab

()

ff

{}

yy

nk

,)

11

()

јј

()

r

aa

()

x y z

1 1 0 1 1 1 1 1

Важный пример 3

Пусть

Laaaa=

12

О

n

01

n

,

12

Lbbbb=

О

n

01

n

.

Положим по определению

ЈЫ"О

Тогда ≤ — бинарное отношение на {0,1} ≤ рефлексивно, ≤ антисимметрично,

Ю ≤ — порядок на {0, 1}n.

≤ транзитивно,

Отметим, что

n = 3

011

001

001 110 11

,

111

101

010

000

сительно введенного порядка.

fx x

Функция

"О

ab

01

n

ab

,

ЈЮ

монотонная, если она сохраняет порядок ≤, т. е.

n1

Ј

.

Lab

1

n

01

, т. е. эти векторы несравнимы отно-

Ј .in

110

100

Пусть

Mff=

– монотонная

.

Утверждение 3

М — замкнутый класс. Доказательство

Пусть

 О= ј

1111

1

nn nk

.

n

ff fShffy yf

,.(,

Рассмотрим два произвольных вектора

aaaaaa aa

=

LL L

,,

11 12 121222 12

kknn nk

L

2

n

40