Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Цифровая обработка сигналов. Методическая разработка к лабораторным занятиям для студентов-бакалавров дневного и заочного обучения
.pdf
Приложение А
y
n
x
n
M
-A1
-A2
z
-1
z-1
.yAyAxMy
2n21n1nn
n
y
n
x
)z(Y
)z(X
2
z
2
A
1
z
1
A1
M
)z(X
)z(Y
)z(H
j
ez
,
д
T
2j
2
j
1
j
eAeA1
M
)e(H)j(K
)(K
)(
)j(Karg)(,)j(K)(K
21
2
21
2
2
zzzz
zM
AzAz
zM
)z(H
к лабораторной работе №3
Цифровой резонатор и его характеристики
1. АЧХ и ФЧХ резонатора
На рисунке П.1 приведено графическое представление алгоритма функционирования
цифрового резонатора.
Рисунок П.1-Цифровой резонатор
Из него видно, что выходной сигнал резонатора определяется следующим соотношени-
ем
Для определения системной функции резонатора сначала выразим Z-преобразование по-
следовательности
ношение
Используя подстановку
коэффициента передачи
Модуль комплексного коэффициента передачи представляет собой АЧХ
– ФЧХ
к
резонатора.
через Z - преобразование последовательности
, где
получим выражение для комплексного
, а затем найдем от-
.
.
, а аргумент
.
Для того чтобы выяснить влияние коэффициентов системной функции на АЧХ резона-
тора получим приближенную формулу для ее расчета.
Представим выражение для системной функции в виде
, (П.1)
61
где
1
z
2
z
zH
2
1212,1
A25.0Aj2Az
2
12
A25.0A
z
1
-1
Re(z)
Im(z)
0
z2
z1
00
j
22
j
21
eAz,eAz
2
1
Д
0
0
A2
A
arccos
F
F
2
0
F
j
ez
1
z
2
z
.
cosA2A1cosA2A1
M
eAeeAe
eM
K
022022
j
2
2j
j
2
2j
2j
00
0
2
2
2
2022
2
sinA4)A1()cos(A2A1
ся корни квадратного уравнения
и
- полюсы системной функции
Для их определения знаменатель системной функции приравнивается нулю и находят-
.
при
Комплексно-сопряженные полюсы системной функции резонатора представлены точка-
ми на комплексной плоскости
резонатора
Цифровой фильтр устойчив, если координаты полюсов системной функции фильтра
находятся внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.
Координаты полюсов в экспоненциальной форме описываются следующими соотношениями:
.
(рисунок П.2).
Рисунок П.2. Полюсы системной функции цифрового
где
Подставим в (П.1)
коэффициента передачи
Обозначим
и учтем, что
,
- резонансная частота резонатора.
, выражения для
и
,
и найдем модуль комплексного
62
2
02
2
2022
2
cosA4)A1()cos(A2A1
.
2
cos
A1
A4
1
2
sin
A1
A4
1)A1(
M
)(K
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7.0A2
2
2
2
4A
1
1A
2
2
2
2
02
2
sin
A1
A4
1
2
sin)A1(
M
)(K
.
д
F
0
F
2sin
2
A1
M
)
0
sin(
2
A1
M
)
0
(K
)sin(A1KM
020
2
2
2
2
0
0
0
2
sin
A1
A4
1
1
)
2
sin(
)sin(
)(K
)(K
Тогда
.
При
Поэтому
Из последнего соотношения следует, что резонансный коэффициент передачи резонато-
ра равен
Из (П.2) видно, что резонансный коэффициент передачи увеличивается при приближе-
нии коэффициента A2 к единице, прямо пропорционален коэффициенту масштабирования M
и зависит от отношения резонансной частоты F0 к частоте дискретизации F
резонансной частоты от FД / 4 резонансный коэффициент передачи увеличивается.
Из (П.2) следует также, что для получения одинакового резонансного коэффициента пе-
редачи K
должен быть выбран равным
гребенки резонаторов, настроенных на разные частоты, масштабный коэффициент
0
с погрешностью, не превышающей 1%, можно принять
(П.2)
.
. При удалении
Д
Разделив K() на K(0), получим относительный коэффициент передачи
Из него видно, что при 0, отличном от / 2, АЧХ асимметрична, однако при малых относительных расстройках ( / 0 <= 0.2) этой асимметрией можно пренебречь.
Кроме того при <= /3 sin( / 2) / 2 = π F/FД.
Поэтому
. (П.3)
.
63
,
dF
F2
1
1
)F(K
)F(K
2
Д
0
4
2
2
A
A1
d
.
dF
1
)F(K
)F(K
2
Дg
0
1dF
2
Д
dz
zz
z
dz
zz
z
zzj2
M
dz
zzzz
zM
j2
1
dzz)z(H
j2
1
h
2
1n
1
1n
21
21
1n
1n
n
1
1n
zzz
2
1n
zzz
где
Следовательно, при указанных ограничениях АЧХ зависит только от коэффициента A2 и
частоты дискретизации.
Для определения полосы пропускания резонатора П
отношение резонансного коэффициента передачи K(F
полосы пропускания K(F g)
Из последнего соотношения получим
Из последнего соотношения видно, что полоса пропускания резонатора прямо пропор-
циональна частоте дискретизации и и параметру d, который уменьшается при приближении
значения коэффициента A2 к единице.
2. Импульсная характеристика резонатора
Импульсная характеристика цифрового резонатора может быть найдена как обратное Z-
преобразование его системной функции (П.1)
.
при неравномерности найдем
) к коэффициенту передачи на границе
0
.
Из теории аналитических функций известно, что интеграл от функции f(z), взятый по
замкнутому контуру Г, содержащемуся в области, где функция является однозначной и аналитической, за исключением особых точек однозначного характера, и не проходящему через
особые точки, равен произведению суммы вычетов функции относительно всех особых то-
чек, заключенных внутри Г, на 2j.
Если функция f(z) = (z) / (z) и (z) имеет простой нуль при z = a, то
Выч.f(z) = (a) / ‘(а),
где ‘(z) - производная функции (z).
В рассматриваемом случае f(z) равна
поэтому
или
,
64
1nsin
sin
AM
zz
zz
M
h
0
0
2
n
2
1n
2
1n
1
21
n
.
Таким образом, импульсная характеристика представляет собой затухающее синусои-
дальное колебание, амплитуда которого зависит от дискретного времени n. Чем ближе A2 к
единице, тем медленнее затухает это колебание. Частота импульсной характеристики равна
резонансной частоте резонатора.
65
Приложение Б
к лабораторной работе №3
Программа исследования АЧХ, ФЧХ и импульсной характеристики
01 //Программа "Rezonator1"_Исследование АЧХ, ФЧХ и
02 //импульсной характеристики цифрового резонатора
03 //Ввод исходных данных
04 A1=0;//Коэффициент системной функции
05 A2=0.985; //Коэффициент системной функции
06 nmax=100; //Максимальный нлмер отсчета
07//
08 // Расчет АЧХ и ФЧХ
09 fN0=acos(-A1/(2*sqrt(A2)))/(2*%pi);//Нормированное
10 //значение резонансной частоты
11 M=(1-A2)*abs(sin(2*%pi*fN0));//Масштабный коэффициент
12 j=sqrt(-1);//Мнимая единица
13 delta_fN=0.0001;//Шаг изменения нормированной частоты
14 N=round(0.5/delta_fN);//Количество расчетгых точек
15 //АЧХ и ФЧХ
16 fN=zeros(1:N);
17 K=zeros(1:N);
18 phi=zeros(1:N);
19 for m=1:N
20 fN(m)=delta_fN*(m-1);
21 z(m)=exp(j*2*%pi*fN(m));
22 H(m)=1/(1+A1*z(m)^(-1)+A2*z(m)^(-2));
23 K(m)=abs(H(m));
24 phi(m)=atan(imag(H(m)),real(H(m)));
25 end
26 Ko=M*K; //АЧХ в относительном масштабе
27 //Расчет импульсной характеристики
28 //Формирование единичного отсчета
29 n=zeros(1:nmax+1);
30 y=zeros(1:nmax+1);
31 for i=1:nmax+1
32 n(i)=i-1;
33 if i==1 then
34 x(i)=1;
35 else
36 x(i)=0;
37 end
38 end
39 //
40 for i=1:2
41 if i==1 then
42 y(i)=M*x(i);
43 else
44 y(i)=M*x(i)-A1*y(i-1);
45 end
46 end
47 for i=3:nmax+1
48 y(i)=M*x(i)-A1*y(i-1)-A2*y(i-2);
66
49 end;
50 clf()
51 //Вывод графиков АЧХ, ФЧХ и ИХ
52 subplot(2,2,1)
53 plot2d(fN,K,style=[color("blue")])
54 xgrid
55 xtitle('АЧХ при М=1')
56 subplot(2,2,2)
57 plot2d(fN,Ko,style=[color("blue")])
58 xgrid
59 xtitle('АЧХ в относительном масштабе')
60 subplot(2,2,3)
61 plot2d(fN,phi,style=[color("blue")])
62 xgrid
63 xtitle('ФЧХ')
64 subplot(2,2,4)
65 plot2d(n,y,style=[color("red")])
66 xgrid
67 xtitle('Импульсная характеристика')
67
Приложение В
к лабораторной работе №3
Программа моделирования цифрового резонатора
при действии на его входе сигнала с помехой.
001//Программа "Rezonator2". Моделирование цифрового
002/ / резонатора при действии на его входе сигнала и помех
003 fc=2.0;//Частота сигнала
004 f1=0.5;//Частота помехи №1
005 f2=3.0;//Частота помехи №2
006 Fd=18; //Частота дискретизации
007 A2=0.99;
008 nmax=1024;
009 f0=2; //Резонансная частота резонатора
010 //
011 A1=-2*sqrt(A2)*cos(2*%pi*f0/Fd); //Коэффициент
012 // системной функции
013 M=(1-A2)*abs(sin(2*%pi*fc/Fd)); //Масштабный коэффици-
ент
014 //Расчет АЧХ резонатора
015 j=sqrt(-1);
016 delta_fN=0.0001;
017 N=round(0.5/delta_fN)+1;
018 fN=zeros(1:N);
019 K=zeros(1:N);
020 for m=1:N
021 fN(m)=delta_fN*(m-1);
022 z(m)=exp(j*2*%pi*fN(m));
023 H(m)=M/(1+A1*z(m)^(-1)+A2*z(m)^(-2));
024 K(m)=abs(H(m));
025 end
026 clf()
027 subplot(3,2,1)
028 plot2d(fN*Fd,K,style=[color("blue")])
029 xgrid
030 xtitle('АЧХ резонатора')
031 //Формирование сигнала с помехой на входе резонатора
032 n=zeros(1:nmax+1);
033 y=zeros(1:nmax+1);
034 xc=zeros(1:nmax+1);
035 xp=zeros(1:nmax+1);
036 x=zeros(1:nmax+1);
037 s1=zeros(1:nmax+1);
038 s2=zeros(1:nmax+1);
039 for i=1:nmax+1
040 n(i)=i-1;
041 xc(i)=cos(2*%pi*fc*i/Fd); //Сигнал
042 xp(i)=cos(2*%pi*f1*i/Fd)+cos(2*%pi*f2*i/Fd); //Помеха
043 x(i)=xc(i)+xp(i); //Сигнал с помехой
044 end
045 //Определение выходного сигнала резонатора
046 for i=1:2
68
047 if i==1 then
048 y(i)=M*x(i);
049 else
050 y(i)=M*x(i)-A1*y(i-1);
051 end
052 end
053 for i=3:nmax+1
054 y(i)=M*x(i)-A1*y(i-1)-A2*y(i-2);
055 end;
056 N1=Fd/f1;
057 x1=zeros(1:N1);
058 y1=zeros(1:N1);
059 for k=1:N1
060 x1(k)=x(nmax-N1+k);
061 y1(k)=y(nmax-N1+k);
062 end
063 alfa1=0;
064 alfa2=0;
065 for n=1:N1
066 alfa1=alfa1+x1(n);
067 alfa2=alfa2+y1(n);
068 end
069 for k=1:N1/2
070 alfa1=0;
071 alfa2=0;
072 for n=1:N1
073 alfa1=alfa1+x1(n)*exp(-2*j*%pi*(n-1)*(k-1)/N1);
074 alfa2=alfa2+y1(n)*exp(-2*j*%pi*(n-1)*(k-1)/N1);
075 end
076 s1(k)=alfa1*2/N1;
077 s2(k)=alfa2*2/N1;
078 end
079 N0=round(5*Fd/fc);
080 n0=zeros(1:N0);
081 xc0=zeros(1:N0);
082 xp0=zeros(1:N0);
083 x0=zeros(1:N0);
084 y0=zeros(1:N0);
085 for k=1:N0
086 n0(k)=nmax-N0+k;
087 xc0(k)=xc(nmax-N0+k);
088 xp0(k)=xp(nmax-N0+k);
089 x0(k)=x(nmax-N0+k);
090 y0(k)=y(nmax-N0+k);
091 end
092 kmax=N1/2;
093 s10=zeros(1:kmax);
094 s20=zeros(1:kmax);
095 f=zeros(1:kmax);
096 for k=1:kmax
097 f(k)=(k-1)*Fd/N1;
098 s10(k)=s1(k);
69
099 s20(k)=s2(k);
100 end
101 subplot(3,2,3)
102 plot2d(n0,xc0,style=[color("red")])
103 xgrid
104 xtitle('Сигнал на входе резонатора')
105 subplot(3,2,5)
106 plot2d(n0,x0)
107 xgrid
108 xtitle('Сигнал с помехой на входе резонатора')
109 subplot(3,2,2)
110 plot2d3(f,abs(s10))
111 xgrid
112 xtitle('Спектр сигнала и помехи на входе резонатора')
113 subplot(3,2,4)
114 plot2d(n0,y0,style=[color("red")])
115 xgrid
116 xtitle('Сигнал на выходе резонатора')
117 subplot(3,2,6)
118 plot2d3(f,abs(s20),style=[color("red4")])
119 xgrid
120 xtitle('Спектр сигнала на выходе резонатора')
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]