Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Цифровая обработка сигналов. Методическая разработка к лабораторным занятиям для студентов-бакалавров дневного и заочного обучения
.pdf
Рисунок 2. Временные и спектральные диаграммы аналоговой
и дискретной синусоид при F>Fd/2
Для выполнения п.2.1 - п.2.6 задания откройте программу Diskret2.sce Текст программы
приведён в Приложении В. Эта программа отличается от предыдущей только видом сигнала,
который подвергается дискретизации. Вместо синусоиды формируется случайная последо-
вательность элементарных посылок – прямоугольных импульсов.
Формирование посылок осуществляется в цикле по порядковому номеру расчетной точ-
ки i.
Сначала моделируется последовательность единичных отсчётов I(i), период следования
которых равен длительности элементарной посылки (строки 31 – 34). Используемая при
моделировании функция floor возвращает целую часть аргумента.
В строке 35 задаётся случайное число в диапазоне от нуля до единицы.
Затем на границе элементарной посылки при I(i)=1 задаётся значение элементарной
посылки в зависимости от значения случайного числа: если r< 0.5, то элементарной посылке
присваивается значение X
значение X
. Присвоенное значение остаётся неизменным до появления следующего еди-
max
. В противном случае элементарной посылке присваивается
min
ничного отсчёта.
Введите в программу исходные данные из таблицы 2 и запустите её.
Появится графическое окно, подобное тому, что представлено на рисунке 2.
11
Частота
несущей
аналогового
сигнала f0, МГц
Fd,
МГц
Частоты спектра дискретного сигнала, соответ-
ствующие частоте несущей f
0
аналогового сигнала, МГц
f
01 f02 f03 f04 f05
Рисунок 2. Временные и спектральные диаграммы случайной
последовательности прямоугольных импульсов до и после дискретизации
Сравните аналоговый сигнал, восстановленный из дискретного, с исходным аналоговым
сигналом. Сравните спектры исходного аналогового и дискретного сигналов. Определите
причину искажений восстановленного сигнала и укажите её в отчете.
Уменьшите частоту дискретизации в два раза, пронаблюдайте временные и спектраль-
ные диаграммы и запишите в отчет вывод о влиянии частоты дискретизации на искажения
восстановленного сигнала.
Для выполнения п.3.1 - п.3.7 воспользуйтесь программой Diskret3.sce (Приложение Г).
Эта программа отличается от предыдущей тем, что дискретизации подвергается модулиро-
ванный сигнал xs(t), а случайная последовательность элементарных посылок x(t) является
модулирующим сигналом. Модуляция осуществляется путём умножения функции x(t) на
функцию, описывающую синусоидальную несущую, (строка 42). В зависимости от вида модулирующего сигнала формируется сигнал или амплитудной, или фазовой манипуляции.
Рассчитайте частоты спектра дискретного сигнала, соответствующие частоте аналоговой несущей и запишите значения 5 частот, начиная с минимальной, в таблицу 5 в порядке
их возрастания.
Таблица 5
12
0
fkFd
Расчет выполняется по формуле
частоты в порядке возрастания и перенесите в таблицу первые пять частот.
Введите в программу Diskret3 значения параметров из таблицы 3 и запустите программу.
Появится командное окно, подобное тому, что представлено на рисунке 3. Обратите
внимание на равномерность сгустков спектра дискретного сигнала и на отличие частоты не-
сущей восстановленного сигнала от частоты несущей модулированного сигнала на входе
дискретизатора.
Сравните рассчитанные частоты с размноженными в процессе дискретизации частотами
несущей аналогового сигнала.
при k=0, 2, 3. Расположите рассчитанные
Рисунок 3. Временные и спектральные диаграммы модулированного сигнала на входе и
выходе дискретизатора
13
ПРИЛОЖЕНИЕ А
x(t)
u(t)
xД(t)
t
t
t
€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€
T
Д
τ
U
Рисунок П.1. Дискретизация
)t(x
Д
x(t)
)t(u
t),
д
ωcos(k
1k
k
C
0
Cu(t)
2
0
д
T
UdtU
д
T
2
0
C
,
k
д
T
ksin
U2
2
0
dtt
д
kcosU
д
T
4
k
C
к лабораторной работе №1
Дискретизация непрерывных сигналов
1. Спектр дискретной косинусоиды. Эффект размножения спектра
Дискретизацией называется замена непрерывного сигнала дискретными отсчетными
значениями (отсчетами), взятыми через определенный интервал времени - интервал дискретизации TД.
На рисунке П.1 показаны косинусоидальный сигнал x(t) и вспомогательное колебание
u(t), представляющее последовательность коротких прямоугольных импульсов с периодом
TД и длительностью .
Дискретный сигнал
результат перемножения функций
Периодическая функция u(t) может быть представлена рядом Фурье
где С
и Сk - коэффициенты ряда Фурье, определяемые следующими соотношениями:
0
с математической точки зрения можно рассматривать как
и
.
(П.1)
,
14
д
T
2
д
F2
д
.
)t
д
kcos(
1k
д
T
k
д
T
ksin
21
д
T
U)t(u
k 100
km1k
Д
))t
д
kcos(21(
T
U)t(u
)tcos(X)t(x
km
1k
t
д
kcos
km
1k
t
д
kcostcos
д
T
UXtutxt
д
x
Д
k
После подстановки последних соотношений в (П.1) получим
Из (П.2) видно, что амплитуда k-ой гармоники вспомогательного колебания u(t) пропорциональна функции sin(x)/x, где x =
= k π τ / TД. При x = 0 эта функция равна единице. Первый нуль функции имеет место при x =
π. Это означает, что при τ / TД = 0.001 амплитуда 1000-ой гармоники равна нулю. Однако
при
лее чем на 1.6%.
В этом случае можно воспользоваться приближенным соотношением
где km – максимальный номер гармоники, амплитуда которой отличается от амплитуды
первой гармоники на заданную допустимую величину.
При
ем
амплитуда k-ой гармоники отличается от амплитуды первой гармоники не бо-
(П.3)
сигнал на выходе дискретизатора определяется соотношени-
. (П.2)
щую на частоте входного аналогового сигнала и множество составляющих на часто-
тах
допущения одинаковы и пропорциональны амплитуде входного аналогового сигнала. Амплитудный спектр аналогового и дискретного косинусоидальных сигналов показан на рисун-
ке 2.
(П.4)
Из него видно, что спектр дискретной косинусоиды содержит спектральную составляю-
. Причем амплитуды всех спектральных составляющих в пределах сделанного
15
F
Д
2F
Д
2 F
Д
0 F
f
0 F
f
a
б
F
Д
,t
2
xt
1
xtx
.t
2
cos
2
Xt
2
x,t
1
cos
1
Xt
1
x
.tut
2
xtut
1
xtutxt
Д
x
tx
1
tx
2
Рисунок 2 – Спектр косинусоиды до (а) и после (б) дискретизации
Из рисунка видно, что в результате дискретизации возникает размножение спектра
аналогового сигнала.
Спектр дискретной косинусоиды представляет собой периодическую функцию частоты,
период которой равен частоте дискретизации.
2. Дискретизация периодического аналогового сигнала. Эффект наложения спектров.
Выбор частоты дискретизации
Пусть аналоговый сигнал представляет сумму двух гармонических составляющих
где
Тогда
В последнем соотношении первое произведение определяет спектр сигнала
выходе дискретизатора, а второе произведение - спектр сигнала
затора. Этот вывод распространяется на любое число составляющих входного сигнала.
Вывод: спектр дискретного сигнала, полученного путем дискретизации аналогового
сигнала в виде суммы гармонических составляющих, определяется путем суперпозиции
спектров, соответствующих каждой гармонической составляющей исходного сигнала.
На рисунке П.3 показан амплитудный спектр аналогового периодического сигнала до и
после дискретизации при двух разных значениях частоты дискретизации. В спектре сигнала
до дискретизации присутствуют две спектральные составляющие с частотами F1=ω1 /(2π) и
F
=5F1.
max
Чтобы сформировать спектр дискретного сигнала нужно для каждой из этих составляющих найти составляющие спектра дискретного сигнала, которые она порождает, как при
нахождении спектра дискретной косинусоиды. При этом нужно учитывать значение амплитуды исходной составляющей спектра аналогового сигнала. Результирующий спектр нахо-
дится методом суперпозиции.
Из рисунка П.3б видно, что если из спектра дискретного сигнала выделить составляющие, соответствующие спектру исходного аналогового сигнала, то таким образом можно
восстановить аналоговый сигнал из дискретного. Такую селекцию можно осуществить с по-
мощью фильтра, АЧХ которого показана на рисунке.
В восстановленном сигнале будут отсутствовать искажения, если
АЧХ фильтра равномерна в интервале частот от F1 до F
ФЧХ линейна в том же диапазоне частот,
на
на выходе дискрети-
,
max
16
коэффициент передачи равен нулю на частотах
Д max
F F F
F
0 F
max
FД-F
max
FД FД+F
max 2
FД 2FД+F
max
F
0 FД-F
max Fmax
FД 2FД-F
max
FД+F
max
2FД 3FД F
F
max
a)
б)
в)
АЧХ
0 F
1
Д max max
F F F
F F
Д
2
max
S( )
jt
S( ) x(t) e dt
Д
jk t
Д
k 1 k
ДД
u(t) U 1 2 cos(k t) U e
TT
Рисунок П.3. Спектр периодического аналогового сигнала до дискретизации (а), после дискретизации при FД>2F
Реализовать такой фильтр можно только при условии
(б), после дискретизации при FД<2F
max
max
.
(в)
.
Из приведенного неравенства вытекает известное соотношение Котельникова, позволя-
ющее выбрать частоту дискретизации
Если это условие не выполняется, то возникает наложение спектров. Эффект наложе-
ния спектров иллюстрируется рисунком П.3.в. Из него видно, что в полосу пропускания
фильтра неизбежно попадает спектральная составляющая, которой нет в спектре исходного
аналогового сигнала. Это вызывает искажение восстановленного сигнала.
3. Дискретизация апериодических аналоговых сигналов
Известно, что спектр
использованием прямого преобразования Фурье
Для определения дискретного сигнала сначала преобразуем соотношение (П.3)
апериодического аналогового сигнала x(t) определяется с
. (П.5)
(П.6)
Воспользовавшись прямым преобразованием Фурье, найдем спектр дискретного сигнала
17
.dtetx
T
U
dteetx
T
UetutxS
k
tkj
Д
tj
k
tkj
Д
tj
Д
Д
k
).
Д
k(S
Д
T
U)(
Д
S
F
F
max
0
-F
max
-F
max
0 F
max
FД-F
max
FД FД+F
max
-F
max
0 FД-F
max
FД FД+F
max
а)
б)
в)
Сравнивая последнее соотношение с (П.6), выразим спектр дискретного сигнала через
спектр аналогового сигнала
Таким образом, спектр дискретного сигнала с точностью до постоянного сомножителя
Uτ / TД равен сумме спектров аналогового сигнала, сдвинутых вдоль оси частот на kω
рисунке П.4 показаны спектры апериодического аналогового сигнала до и после дискретиза-
ции как в области положительных, так и в области отрицательных частот. Их отличие от линейчатых спектров периодического аналогового сигнала состоит в том, что спектральная
плотность апериодического сигнала представляет собой непрерывную функцию частоты.
Как видно из рисунка при FД < 2F
дискретного сигнала.
В случае, когда нельзя по каким - либо причинам увеличить частоту дискретизации сиг-
нала с ограниченным спектром, или аналоговый сигнал имеет неограниченный спектр, для
уменьшения ошибки наложения спектров требуется предварительное ограничение спектра
аналогового сигнала. Из рисунка П.5 видно, что при этом ошибка наложения уменьшается.
имеет место эффект наложения сгустков спектра
max
(П.7)
. На
Д
Рисунок П.4. Спектры апериодического аналогового сигнала до дискретизации (а), по-
сле дискретизации при отсутствии (б) и при наличии (в) наложения спектров
18
F
0
-F
maxFmax
-F
max
0 FД-F
max
FД FД+F
max
F
0
FД/2
FД
f0
0 F0 = f0-FД 2FД-f0 FД f0 3FД-f
0
f
Д
0 f F /2
Рисунок П.5. Уменьшение ошибки наложения за счет
ограничения спектра аналогового сигнала
4. Дискретизация узкополосных модулированных сигналов
Особый интерес представляет случай дискретизации модулированных сигналов, когда
результатом цифровой обработки должно быть выделение модулирующей функции. Покажем, что при этом частота дискретизации может быть выбрана ниже частоты несущей. На
рисунке П.6 показан спектр аналогового синусоидального сигнала с частотой f0 > FД до (а)
и после (б) дискретизации. Спектр дискретного сигнала получен в соответствии с соотношением (П.4).
Рисунок П.6. Спектр дискретной синусоиды до (а) и после (б)
дискретизации при f0>F
Д
Как и в случае, представленном на рисунке П.2 при F < F
/ 2, спектр дискретного сигна-
Д
ла представляет собой периодическую функцию частоты.
Важно отметить, что в интервале частот
-
интервале
Котельникова - по-
является составляющая спектра с частотой F0 = f0-FД, а вблизи частот kFД имеются спектральные составляющие, отстоящие от них на величину F0.
На рисунке П.7 показаны временные диаграммы синусоидального сигнала x(t) до (пунктир) и после дискретизации xд(t) при дискретизации с частотой, которая меньше частоты
сигнала.
19
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
0.5
0
0.5
1
x t( )
xdt( )
t
F F
Д
2
ΔF
FД/2
F
Д
f
0
б
0
F
Д
f
f
0
a
FД/2
Д
F 2 F
F F
Д0
4
Рисунок П.7. Синусоидальное колебание на входе и выходе
дискретизатора при дискретизации с частотой,
меньшей частоты входного сигнала
Из рисунка видно, что частота дискретного синусоидального сигнала существенно
меньше частоты сигнала на входе дискретизатора. Она равна частоте спектральной состав-
ляющей спектра дискретного сигнала, которая попадает в интервал Котельникова.
На рисунке П.8 изображен спектр модулированного колебания до и после дискретиза-
ции. Из него видно, что
в интервале Котельникова существует спектр, который по форме не отличается от
спектра исходного аналогового сигнала, следовательно, закон модуляции сигнала по-
сле дискретизации остался неизменным, изменилась только частота несущей (F0 вместо f0),
частота дискретизации должна удовлетворять условию
Последнее условие является необходимым, но недостаточным для обоснованного выбо-
ра частоты дискретизации.
Рисунок П.8. Спектр модулированного сигнала до и после (б)
дискретизации
При обработке сигналов в реальном масштабе времени стремятся выбрать минимально
возможное значение частоты дискретизации для того, чтобы увеличить время обработки, ко-
торое не должно превышать период дискретизации. На рисунке П.9 показан случай, когда
несущей, приведенная в интервал Котельникова, равна
и сгустки спектра равномерно расположены вдоль оси частот. При этом частота
. (П.8)
.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]