Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Цифровая и микропроцессорная техника. Учебное пособие
.pdf
1.1. Системы счисления. Кодирование чисел
Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном
кодах имеют разное изображение.
В прямом коде отрицательного числа в знаковый разряд помещают единицу, а в мантиссу – абсолютную величину числа в
двоичном коде.
Обратный код отрицательного числа сохраняет единицу знакового разряда, а в мантиссу записывается инверсия всех битов
числа в двоичном коде: нули заменяются единицами, а единицы – нулями.
Для получения дополнительного кода отрицательного числа
требуется прибавить единицу к младшему разряду числа, представленному в обратном коде.
Пример кодирования 8-разрядного битового набора:
–1010 = –1010
2
–11510 = –1110011
2
знак мантисса знак мантисса
Прямой код 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1
Обратный
1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
код
Дополнитель-
1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1
ный код
В компьютерной технике кроме целых чисел существуют вещественные числа, имеющие дробную часть. При их изображении во многих языках программирования принято вместо запятой ставить точку.
Существует два основных способа представления вещественных чисел: с фиксированной точкой и плавающей точкой.
Представление чисел с фиксированной точкой используется
для сокращения длины разрядной сетки и упрощения обработки
данных. При этом логически число будет представлять два компонента: поле знака числа и поле абсолютной величины, которая
делится на целую и дробную части:
± целая часть . дробная часть
В таком представлении хранятся целые числа (дробная часть
отсутствует), так как ограничения длины разрядной сетки приводит к ограничению диапазона хранимых значений и потере
точности дробных чисел.
11
Глава 1. Основы теории цифровых устройств
В свою очередь, в зависимости от количества занимаемого
места в памяти компьютера числа с фиксированной точкой делятся:
• на int – целое число (занимает 2 или 4 байта в памяти);
• long int – длинное целое число (занимает 4 или 8 байт в
памяти);
• short int – корот кое целое число (занима ет 2 байта в памяти);
• unsigned int – беззнаковое целое число (занимает 2 или
4 байта в памяти).
Для повышения точности записи дробных чисел используется представление чисел с плавающей точкой. Каждое такое число
можно представить в виде формулы
А = Mqp,
где M – абсолютная величина числа (мантисса); p – порядок
числа.
Пример записи дробного числа в представлении с «плавающей» точкой:
159.7532810 = 0.15975328 ∙ 103 = 15975328 ∙ 10–5.
Если плавающая точка расположена в мантиссе перед первой
значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов,
отведенных под мантиссу, обеспечивается запись максимального
количества значащих цифр числа, т. е. максимальная точность
представления числа в вычислительной машине.
В общем виде любое число с плавающей точкой в машинном
виде представляется в виде знака мантиссы, мантиссы, знаков
порядка и порядка:
± мантисса ± порядок
Порядок (с учетом знака) показывает, на сколько разрядов и
в какую сторону сдвинута точка.
1.2. БУЛЕВА АЛГЕБРА (АЛГЕБРА ЛОГИКИ)
Алгебра логики – раздел математической логики, изу чающий
логические высказывания, которые могут принимать значения
истина либо ложь, а также логические операции над ними.
Так как высказывание – это, по сути, бинарный объект (принимает только два значения), часто истинному значению высказывания ставят в соответствие 1, а ложному – 0.
12
1.2. Булева алгебра (алгебра логики)
Примеры логических простых высказываний:
• в прямоугольном треугольнике нет угла в 90° – высказы-
вание ложно;
• сумма всех углов квадрата равняется 360° – высказывание
истинно;
• арбуз – это ягода – высказывание истинно;
• уравнение 5х + 7 = 17 не является высказыванием. Одна-
ко при инициализации переменной х можно получить истинное
либо ложное высказывание.
Каждое логическое высказывание может состоять из нескольких утверждений, тогда его называют сложным. Например:
«абитуриент может готовиться к вступительным экзаменам самостоятельно или с помощью репетитора»; «яблоко имеет зеленый
цвет и кислый вкус».
Формальное объединение нескольких простых выражений
можно представить в виде логических операций. Результат логических операций или их объединений (логических функций)
обычно представляется в виде таблицы истинности.
Для задания логических функций используют два способа:
табличный и аналитический.
При табличном способе строится таблица истинности, в которой приводятся все возможные значения наборов аргументов и
значения логической функции, которые она принимает на каждом наборе. Число наборов аргументов N (число строк в таблице
истинности) определяется по формуле 2n, где n – число аргументов, например, таблицы истинности для основных функций
одного и двух аргументов.
При аналитическом способе логическая функция записывается в форме логического выражения, показывающего, какие логические операции над аргументами функции и в какой последовательности должны выполняться.
Элементарные логические функции одного аргумента приведены в таблице 1.4.
Таблица 1.4
Элементарные логические функции одного аргумента
x 0 1
F0(x) 0 0 0 Константа 0
Условное
обозначение
Название
функции
13
Глава 1. Основы теории цифровых устройств
Окончание табл. 1.4
x 0 1
Условное
обозначение
Название
функции
F1(x) 0 1 x Переменная x
F2(x) 1 0 x Инверсия x
F3(x) 1 1 1 Константа 1
Логические функции двух аргументов приведены в таблице 1.5.
Таблица 1.5
Логические функции двух аргументов
x
x
F0(x1, x2) 0 0 0 0 0 Константа 0
F1(x1, x2) 0 0 0 1 x1 ˄ x
F2(x1, x2) 0 0 1 0
F3(x1, x2) 0 0 1 1 x
F4(x1, x2) 0 1 0 0
F5(x1, x2) 0 1 0 1 x
F6(x1, x2) 0 1 1 0
F7(x1, x2) 0 1 1 1 x1 ˅ x
F8(x1, x2) 1 0 0 0 x1 ↓ x
F9(x1, x2) 1 0 0 1 x1 ≡ x
F10(x1, x2) 1 0 1 0
F11(x1, x2) 1 0 1 1 x2 → x
F12(x1, x2) 1 1 0 0
F13(x1, x2) 1 1 0 1 x1 → x
F14(x1, x2) 1 1 1 0 x1 | x
F15(x1, x2) 1 1 1 1 1 Константа 1
1
2
0 0 1 1
0 1 0 1
Условное
обозначение
2
x1 → x2
1
x2 → x1
2
x1 ⊕ x
2
2
2
2
x2
1
x1
2
2
Название
функции
Конъюнкция
Отрицание импликации
от x1 к x
2
Переменная x
Отрицание импликации
от x2 к x
1
Переменная x
Сумма по модулю 2
Дизъюнкция
Стрелка Пирса
Эквивалентность
Инверсия x
Импликация от x2 к x
Инверсия x
Импликация от x1 к x
Штрих Шеффера
1
2
2
1
1
2
Над высказываниями можно проводить различные манипу-
ляции, упрощая их с помощью аксиом и законов булевой алгебры. Основные аксиомы и законы представлены в таблице 1.6.
14
1.2. Булева алгебра (алгебра логики)
Таблица 1.6
Основные аксиомы и законы булевой алгебры
Название Представление
Поглощение А + (А ∙ В) = А; А ∙ (А + В) = А
Аннулирование А + 1 = 1; А ∙ 0 = 0
Ассоциативность (объединение) (А + В) + С = А + (В + С);
(А ∙ В) ∙ С = А ∙ (В ∙ С)
Коммутативность (перестановка) А + В = В + А; А ∙ В = В ∙ А
Дополнение А + А = 1; А ∙ А = 0
Правило Де Моргана А + В = А ∙ В; А ∙ В = А + В
Дистрибутивность А ∙ (В + С) = (А ∙ В) + (А ∙ С);
А + (В ∙ С) = (А + В) ∙ (А + С)
Двойное отрицание А = А
Тождественность А + 0 = А; А ∙ 1 = А
Тавтология А ∙ А = А; А + А = А
Для удобства представления логических функций существу-
ют различные формы. Основными из них являются:
• дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – дизъюнкция
конъюнкций (сумма логических произведений), образованных из
переменных и их отрицаний. Не содержит скобок;
• конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – конъюнкция
дизъюнкций (произведение логических сумм), образованных из
переменных и их отрицаний.
Если ДНФ функции F от n переменных в каждой своей
конъюнкции содержит все n переменные либо их отрицания, то
данная ДНФ является совершенной (СДНФ). Каждая функция
имеет одну единственную СДНФ, которая может быть получена из таб лицы истинности функции путем записи всех наборов
переменных, на которых она определена как истинная. Каждый
такой набор переменных соответствует конъюнкции (минтерм), а
между наборами ставится дизъюнкция.
Если КНФ функции F от n переменных в каждой своей
дизъюнкции содержит все n переменные либо их отрицания,
то данная КНФ также является совершенной (СКНФ). Каждая
функция имеет одну единственную СКНФ, которая может быть
получена из таблицы истинности функции путем записи всех
наборов переменных, на которых эта функция определена как
ложная. Каждый такой набор переменных соответствует дизъюнкции (макстерм), а между наборами ставится конъюнкция.
15
Глава 1. Основы теории цифровых устройств
( )( )( )
ab c da bcdabcd
abcdabcdabcd
Пример получения СДНФ и СКНФ:
№ a b c d f
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 1
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 1
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 0
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 0
10 1 0 1 0 1
11 1 0 1 1 0
12 1 1 0 0 0
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 1
СДНФ
;
abcd abcd abcd
СКНФ ( )( )
( )( )( )
abcd abcd abcd abcd abcd
abcdabc d
На основе функций алгебры логики осуществляют построение схем различных дискретных устройств, сложность которых
оценивают количеством оборудования, составляющего схему.
Сложность (цену) по Квайну определяют суммарным числом
входов логических элементов в составе схемы. При этом каждый
инверсный вход оценивается в две единицы сложности.
Для уменьшения сложности реализуемой схемы существуют различные методы минимизации функций алгебры логики. Одним из самых удобных является минимизация табличным методом (методом карт Карно-Вейча). Использование карт
Карно-Вейча позволяет производить минимизацию логической
функции в процессе ее составления.
Правила минимизации для карт Карно-Вейча для получения
минимальной ДНФ (МДНФ):
• в карте Карно-Вейча группы единиц (ДНФ) необходимо
покрыть контурами. Внутри контура должны находиться только
единицы (соответствует операции склеивания – нахождения импликант данной функции);
• количество единиц контура должно равняться степени
двойки (1, 2, 4, 8, ...);
16
1.2. Булева алгебра (алгебра логики)
• каждый контур должен включать максимально возмож-
ное количество клеток. В этом случае он будет соответствовать
простой импликанте (импликанта-конъюкция, которая не может
быть упрощена выбрасыванием из нее переменных, т. е. неупрощаемая конъюнкция);
• все единицы в карте (даже одиночные) должны быть охва-
чены контурами;
• множество контуров, покрывающих все единицы функ-
ции, образуют тупиковую ДНФ;
• в элементарной конъюнкции, которая соответствует одно-
му контуру, остаются только те переменные, значение которых не
изменяется внутри контура;
• на основании закона тавтологии любая единичная клетка
может быть включена в любое количество контуров, для получения МДНФ нужно стремиться к отсутствию лишних покрытий.
Пример получения МДНФ методом карт Карно-Вейча для
исходной таблицы:
№ a b c d f Карта Карно
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 1
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 1
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 0
8 1 0 0 0 0
9 1 0 0 1 0
10 1 0 1 0 1
cd/ab 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 1 1 1 0
11 0 0 1 0
10 1 1 0 1
11 1 0 1 1 0
12 1 1 0 0 0
13 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 0
15 1 1 1 1 1
Примечание. 1. Контуры выделяют
штриховкой и заливкой.
2. В некоторых случаях может быть
несколько вариантов выбора контуров.
3. Контуры могут пересекаться,
но их пересечение не должно быть
излишним.
17
Глава 1. Основы теории цифровых устройств
асd
abd
bcd
Исследование контуров:
• со сплошной заливкой: в контуре не изменяются значения
переменных a, c и d со значениями 0, 0 и 1 соответственно. Значит, первая элементарная конъюнкция:
• с диагональной заливкой сверху-вниз: в контуре не изме-
няются значения переменных a, b и d со значениями 0, 1 и 0
соответственно. Значит, вторая элементарная конъюнкция:
• с диагональной заливкой снизу-вверх: в контуре не изме-
няются значения переменных a, b и d со значениями 1, 1 и 1
соответственно. Значит, первая элементарная конъюнкция: abd;
• с горизонтальной заливкой: в контуре не изменяются зна-
чения переменных b, c и d со значениями 0, 1 и 0 соответственно.
Значит первая элементарная конъюнкция:
Получили МДНФ как дизъюнкцию всех элементарных конъ-
юнкций, т. е.
МДНФ = .асd abd abd bcd
;
;
.
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение понятия «система счисления». Приведите системы
счисления современной вычислительной техники.
2. Приведите правила перевода целых и дробных чисел.
3. Опишите процесс перевода чисел из одной системы счисления с основанием, являющимся степенью двойки, в другую, с основанием, являющимся
степенью двойки, по правилам триад и тетрад.
4. Опишите процесс перевода положительного и отрицательного чисел в
прямой, обратный и дополнительный коды.
5. Приведите пример высказывания, сложного высказывания.
6. Перечислите основные логические элементы и их таблицы истинности.
7. Дайте определения понятий «минимизация булевых функций», «простая
импликанта».
8. Перечислите правила минимизации булевых функций методом карт Карно-Вейча.
18
ГЛАВА 2. ЦИФРОВЫЕ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МИКРОСХЕМЫ
2.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О ЦИФРОВЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МИКРОСХЕМАХ
Электронные устройства и системы подразделяют на аналого-
вые и цифровые в зависимости от вида обрабатываемого сигнала.
Аналоговая электроника подразумевает, что информационный сигнал непрерывно изменяется в рабочем диапазоне значений, отражающих переносимую им информацию. Преобразование сигнала в электронных устройствах и распространение в
канале передачи всегда сопровождается искажениями и шумами.
Это приводит к деформации или потере информации.
Пример, когда исходный сигнал после преобразований приобретает искаженный вид вследствие добавления шумов и некоторой дополнительной низкочастотной компоненты, приведен на
рисунке 2.1.
u(t)
u(t)
t
а б
Рис. 2.1. Диаграммы аналогового сигнала:
а – исходного; б – с искажениями и помехами
t
19
Глава 2. Цифровые интегральные микросхемы
Значимость искажения и возможность исправления сигнала
зависят от характера и ограничений в формате внесения в сигнал
полезной информации. Даже слабые искажения могут оказаться
критичными для работы сверхчувствительной аппаратуры.
В цифровой электронике сигналы имеют конечное число
устойчивых дискретных уровней, а их информационное содержание связано с изменением значения сигнала от одного уровня к другому: информация определяется дискретным уровнем,
которому соответствует текущее значение сигнала, и переходами значения сигнала с одного уровня на другой. Наибольшее
распространение получили системы дискретного представления
информации, использующие два информационных уровня: логического «0» (U0) и логической «1» (U1).
Цифровыми называют сигналы с дискретными информационными уровнями. Электронные устройства, обрабатывающие такие сигналы, также называют цифровыми (логическими). Их
широко применяют для преобразования данных дискретного
характера (текст, коды управления, сигналы срабатывания датчиков и т. д.), не имеющих прямого отношения к числовой информации и реализации вычислений.
При идеализированном рассмотрении цифровые сигналы
имеют вид прямоугольных импульсов (переходы между уровнями являются мгновенными). Реальные сигналы допускают отклонения от номинальных уровней, а также неизбежно наличие
шумов, конечное время переходов между уровнями отклонения
от идеальных импульсов. Пример исходного идеального цифрового сигнала, этого же сигнала с помехами и искажениями при
передаче, а также полученного после обработки специальной аппаратурой для нейтрализации помех приведен на рисунке 2.2.
В общем случае электронные устройства могут представлять
собой комбинацию аналоговой и цифровой электроники, так как
сигналы могут сочетать в себе аналоговые и цифровые принципы
представления информации. При этом неправильно представлять
цифровой сигнал только как альтернативу аналоговому. Цифровой сигнал всегда можно интерпретировать как аналоговый сигнал определенной формы.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]