Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физикохимия неорганических композиционных материалов. Учебное пособие.pdf
2.5. Работа разрушения композиционных материалов
′
⋅⋅=
PNG
2
)(′⋅⋅⋅⋅=
τπ
rN
2
2/
0
2
2/
0
23
)(
⋅
⋅⋅⋅
=
′
′
⋅⋅⋅⋅
=
∫
∫
lrN
ld
ldlrN
G
l
l
ВВ
τπ
τπ
Работа разрушения является важной инженерной
характеристикой, во многом определяющей пригодность материалов
для изготовления из них деталей и конструкций. Для волокнистых
композиционных материалов общая работа разрушения значительно
больше суммы работ разрушения составляющих с учетом их
объемных долей. Это связано с тем, что при разрушении волокнистых
композиционных материалов существуют специфические механизмы
рассеяния энергии, такие как вытягивание волокон из своих гнезд и
связанная с этим работа G
, разрушение связи по поверхности раздела
вв
волокно-матрица. Последний процесс также связан с затратой энергии
G
. В случае пластичных матриц, например металлических, большой
рс
вклад в работу разрушения композиционного материала вносит
работа пластической деформации G
. Общая работа разрушения
м
композиционного материала будет состоять из трех слагаемых:
G
= G
+ G
м
вв
+ Gм.
рс
2.5.1.Работа вытягивания волокон. Оценим каждое из этих
слагаемых. Вначале рассмотри, какой вклад в общую работу
разрушения вносит процесс вытягивания волокон в композиционном
материале, армированном короткими волокнами длиной l<l
. При
кр
разрушении такой композиции все волокна, концы которых находятся
не дальше 1/2l
от поверхности разрушения, будут вытягиваться и
кр
совершать работу против силы трения τ. Пусть τ=const, определим
работу в процессе вытягивания N волокон радиуса r на среднем
расстоянии l’:
трВВ
.
Так как l’ изменяется от 0 до 1/2l, то средняя работа при
вытягивании:
.
31
Учитывая, что
d
КР
М
в
=
τ
σ
2
*
2
rNV
в
⋅⋅=
π
KP
BB
ВВ
l
lV
G
⋅
⋅⋅
=
12
2*
σ
l
l
кр
l
lV
l
ll
rN
G
КРВBKPKP
ВВ
⋅
⋅⋅
=
⋅⋅⋅
=
1223
2
*
2
σ
τπ
22
*
*
KP
B
BBKP
lq
⋅
−
=
σ
σσ
2
*
KP
B
l
у ⋅
∆
>
σ
σ
, а
,
при l<l
кр.
Если композиционный материал армирован дискретными
волокнами длиной l>l
, то доля вытягиваемых волокон будет
кр
, а
остальные волокна будут разрушаться в плоскости трещины. Тогда
разрушения:
при l>l
кр.
Максимальной работой разрушения обладает композиция,
армированная волокнами критической длины.
Разрушение композиций, армированных непрерывными
волокнами, также может сопровождаться вытягиванием волокон.
Рассмотрим этот случай, используя модель Купера. В модели
предполагается, что прочность волокон всюду равна σ
*
, за
В
исключением равномерно распределенных дефектов на расстоянии q
друг от друга. В этих местах прочность волокон равна σ
. Когда
В
трещина полностью перерезает матрицу, то напряжения в волокнах,
перекрывающих эту трещину, достигают максимума в плоскости
трещины. Если в волокне имеется дефект, и он находится на
расстоянии у, не превышающем величины
волокно, порванное в слабейшей точке, будет вытягиваться из
матрицы. Если же
трещины при напряжении σ
, то волокно порвется в плоскости
*
, и работа вытягивания этого волокна
В
будет равна нулю.
Поскольку дефектные участки по определению распределены
равномерно, то можно установить такое критическое расстояние
32
, то
между ними q
2
KP
q
q
q
KP
)1(
q
q
n
KP
−=
КР
KP
КР
BB
ВВ
qq
q
q
V
G <
⋅
⋅
= ,
12
2
*
σ
КР
КР
КР
BB
ВВ
qq
q
q
V
G >⋅
⋅
= ,
12
2
*
σ
BВВРС
VуG ⋅⋅⋅⋅=
εσ
*
2
1
BВ
В
В
VуЕ⋅⋅⋅⋅=
ε
σ
2*
)(21
xd
d
V
B
+
=
, что при q<qкр все волокна разрушаться в дефектных
кр
местах, так как в каждом волокне найдется дефект, расстояние
которого от плоскости трещины не превышает
волокна будут вытягиваться. Если q>q
матрицы волокон будет
, а доля разрываемых в плоскости
, то доля вытянутых из
кр
. При этом все
трещины и не вытягиваемых волокон:
.
Тогда
.
2.5.2. Работа разрыва связи. Теперь оценим второе слагаемое
. В композиционном материале с ослабленной связью напряжение
G
рс
на вершине трещины вызывает разрушение связи прежде, чем
разрушится волокно. Если связь нарушена на участке длиной у, то
энергия, аккумулированная на этом участке волокна, рассеивается
необратимо в виде теплоты при разрушении волокон. В связи с этим в
первом приближении работу разрушения границы раздела можно
приравнять деформационной энергии волокна длиной у.
Деформационная энергия:
2.5.3. Работа пластической деформации матрицы.
Рассмотрим G
пластической деформации в матрице имеет треугольную форму. Если
волокна имеют диаметр d и расстояние между ними х, то
.
. в двухмерной композиции. Пусть область
м
33
.
Объем матрицы, подвергаемый интенсивной пластической
в
вв
ед
V
Vd
d
Vх
xd
х
V
22
2
)1( −⋅
=
⋅
=
+
=
∫
=
*
0
M
dU
М
ε
εσ
U
r
V
V
d
V
Vd
G
м
в
в
М
в
в
М
M
⋅
⋅
⋅
−
=⋅
−⋅
=
∫
τ
σ
εσ
ε
1)1(
*
0
2
деформации, для двухмерной модели пропорционален х
2
Следовательно, объем материала, деформируемый на единицу
площади распространяющейся трещины, будет
.
Работа разрушения единичного объема матрицы при ее деформации:
,
.
потому
.
Из формулы видно, что доля вязкости разрушения за счет
пластической деформации матрицы пропорциональна диаметру
волокна, объемному содержанию матрицы и обратно
пропорциональна прочности связи на границе раздела.
Одна из наиболее важных характеристик конструкционного
материала – его сопротивление распространению трещин или вязкость
разрушения. В любом материале всегда есть внутренние дефекты
(поры, трещины, надрезы и т.п.), которые под действием сравнительно
небольших напряжений могут разрастись и привести к
катастрофическому разрушению. От того, насколько хорошо материал
сопротивляется распространению трещин, зависит надежность работы
конструкций, их масса. Не следует думать, что прочный материал
обязательно хорошо сопротивляется распространению трещин. При
большой статистической прочности у него может быть низкая
вязкость разрушения (работа разрушения), которая лимитируется
процессами развития трещин. Один и тот же материал при испытании
относительно тонких образцов может вести себя как пластичный и
вязкий, а при испытаниях больших образцов становится хрупким. Это
связано с изменением напряженного состояния у вершины
распространяющейся трещины: с переходом от плоского
напряженного состояния к плоскому деформированному.
34
2.6. Прочность композиционных материалов при сжатии
Изучая поведение композиционных материалов при сжатии
вдоль волокон, рассматривают аналитическую двухмерную модель
(рис. 2.6). Она состоит их жестких параллельных пластинок-волокон
единичной толщины с длиной L и шириной h, разделенных
промежутками 2с сравнительно мягкой матрицы. На композиционный
материал действует сжимающая нагрузка Р в направлении
армирования. Пусть волокна имеют неограниченно большую
прочность на сжатие. Деформация их носит чисто упругий характер и
пренебрежимо мала по сравнению с деформацией сдвига в матрице.
а б
Рис. 2.6. Разрушение композиционных материалов при сжатии:
а –симметричное вспучивание; б – асимметричное вспучивание.
Разрушение рассматриваемой модели начнется после того, как
волокна потеряют устойчивость. При этом возможны два вида
разрушения. Первый вид реализуется, когда смежные волокна
выпучиваются в противоположных направлениях, образуя
симметричную картину относительно плоскости, проходящей по
середине расстояния между соседними волокнами. Разрушение в этом
случае проходит по моде растяжения за счет растяжения матрицы
перпендикулярно к оси волокон. Второй вид разрушения заключается
в том, что волокна, изгибаясь в одной фазе, образуют асимметричную
относительно такой же плоскости картину. Разрушение при этом
происходит по сдвиговой моде за счет сдвиговой деформации
матрицы.
35
В случае симметричного выпучивания волокон расчет
BM
В
B
BСЖ
EE
V
V
V ⋅⋅
−=)1(3
2
σ
В
M
СЖ
Vg−=1
σ
B
M
В
B
кр
E
E
V
V
⋅
−=)1(3
2
ε
)1(
ВBB
M
кр
VEV
g
−⋅⋅
=
ε
рассматриваемой модели на устойчивость производится по формуле:
,
а при асимметричном выпучивании – по формуле:
,
где g
раздела фаз. При малых V
– модуль сдвига матрицы или сдвиговая жесткость границы
М
наблюдается разрушение по моде
В
растяжения, а при больших – по моде сдвига.
Критическая деформация ε
, соответствующая разрушению
кр
композиционного материала при симметричном выпучивании волокон
рассчитывается по формуле:
,
а при асимметричном:
.
Рассчитанные прочности композиционного материала при
сжатии ближе к экспериментальным, если учитывается пластичность
матрицы. Учесть ее можно, заменив модули упругости текущими
модулями, зависящими от деформации и уменьшающимися с ее
увеличением. Параметры, от которых больше всего зависит прочность
композиционного материала при сжатии, это жесткость и прочность
матрицы и границы раздела волокно-матрица при сдвиге, а также
жесткость волокон.
36
2.7. Статистическая модель разрушения композиционных
материалов
Мы рассматривали разрушение композиционных материалов в
предположении, что у всех волокон предел прочности одинаков и
разрушаются они одновременно – при достижении определенного
уровня напряжения. На практике в свойствах волокон всегда есть
разброс. Если композиция состоит из прочных пластичных волокон и
пластичной матрицы, то разброс прочностных характеристик
компонентов мал, и прочность такого композиционного материла без
большой погрешности можно выразить уравнением аддитивности.
Разрушаются такие композиционные материалы из-за неустойчивости
пластического течения с образованием шейки и одновременным
разрывом всех волокон.
Если композиционный материал состоит из хрупких волокон с
большим разбросом прочности и малопластичной матрицы
(боропластики, углепластики, стеклопластики), то использование при
оценке прочности композиционного материала правила смеси дает
большие погрешности. Для таких композиционных материалов нужен
статистический подход к оценке прочности. При нагружении
композиционного материала «хрупкая матрица–хрупкое волокно»
разрыв, появившийся в одном сечении, не приводит к разрушению
всех волокон в том же сечении, поскольку внутренние дефекты в
волокнах распределены по всей их длине. За первым разрывом в
одном сечении следует разрыв другого волокна в другом сечении. Эти
разрывы накапливаются по длине образца и по достижении
некоторого критического состояния приводят к разрушению
композиционного материала в целом. Такой вид разрушения положен
Розеном в основу статистической теории прочности композиционных
материалов.
В соответствии со статистической теорией прочности
композиционный материал следует рассматривать как цепь,
состоящую из последовательно соединенных звеньев небольшой
длины. Разрушается композиционный материал при разрыве одного из
этих звеньев. Розен предлагает принять длину звеньев равной
критической длине волокон l
, так как на этой длине концы
кр
разрушенных волокон не создают упрочнения. Они выполняют роль
дефектов, определяющих прочность звена композиции. Оставшиеся
неразрушенными волокна принимают на себя всю нагрузку. Каждое
звено рассматривается как пучок волокон, и прочность
37
композиционного материала рассчитывается как прочность пучка
σσσ
σ
dfF )()(
0
∫
=
σσσσ
σ
dFfwВ
w 1
0
)](1[)()(
−
−⋅⋅=
∫
w
FВ )](1[1)(
σσ
−−=
m
Н
F
−
=
0
)(
σ
σσ
σ
волокон длиной l
прочности пучка волокон от их длины и разброса свойств.
Посмотрим, как зависит вероятность разрушения одного
волокна от его длины. Волокно длиной l условно разделим на равные
отрезки, длина которых равна диаметру d волокна. Число таких
отрезков w=l/d. Всегда имеющиеся в волокне дефекты статистически
распределены по всей длине. Их наличие определяет прочность
каждого отрезка. Совокупность прочностей отрезков можно
охарактеризовать функцией распределения f(σ), где f(σ)dσ –
вероятность того, что данный отрезок разрушится в интервале
напряжений от σ до σ+dσ.
Вероятность того, что один отрезок разрушится при
напряжении, меньшем определенного уровня σ, выразится
интегральной функцией распределения прочности:
При напряжении меньше σ вероятность неразрушения любого
отрезка составит [1–F(σ)]. Вероятность разрушения волокна в
интервале 0…σ определяется интегральной функцией В(σ)
распределения прочности волокон:
. Задача сводится к установлению зависимости
кр
.
.
На основе многочисленных экспериментальных данных по
прочности материалов Вейбулл предложил задавать F(σ) выражением:
,
38
где σ – приложенное напряжение, величина которого находится в
m
C
2.1
=
σ
S
C =
σ
N
N
i
i
∑
==1
σ
σ
1
)(
2
1
2
−
−
=
∑
=
N
S
N
i
i
σσ
интервале между нижним (σ
(часто принимают σ
прочности материала); m – параметр, характеризующий разброс
данных.
Параметр m рассчитывают по формуле
Величину С определяют после обработки экспериментальных данных:
=0, тогда σ0 становится равным теоретической
н
Рис. 2.7. Распределение Вейбулла
) и верхним (σ0) пределом прочности
н
.
,
где S – дисперсия прочности, равная квадрату стандартного
отклонения;
где N – число испытанных образцов.
– средняя прочность испытанной партии материалов.
;
,
39
Чем больше m, тем меньше разброс прочности в материале.
−
0
σ
σσ
Н
≈
−
−−
w
m
Н
0
11
σ
σσ
−
−−
m
Н
w0)(exp1
σ
σσ
−
−−=
m
H
d
l
В
0
exp1)(
σ
σσ
σ
nN
В
В
А
Р
−
=
σ
N
n
)(
σ
В
N
n
=
При m
→∞
разброса нет; для малых значений
можно
воспользоваться приближением Пуассона:
;
.
Таким образом, вероятность разрушения волокна при заданном
напряжении σ возрастает по мере увеличения отношения l/d.
Параметры σ
, σ
и m уравнения Вейбулла рассчитывают по
н
0
результатам механических испытаний партии волокон.
Поскольку прочность композиционного материала
рассчитывают как прочность пучка волокон, рассмотрим прочность
пучка волокон длиной l. Пусть все волокна в пучке параллельны, не
касаются друг друга и нагружаются одинаково. Если общая нагрузка,
приложенная к пучку, равна Р
и при этом n волокон уже разрушились,
в
а (N–n) волокон остались целыми, то напряжение в уцелевших
волокнах:
,
где А
– суммарная площадь поперечного сечения неразрушившихся
N–n
волокон.
Из определения вероятности события следует, что
есть
вероятность разрушения одного волокна, то есть
.
40