Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика твердого тела. Часть 2. Динамика кристаллической решетки. Тепловые свойства решетки
.pdf
В итоге числитель подынтегрального выражения (без уче-
(
)
2
45
Б
exp x gx fx
2xkT
γ
++
) имеет следующий вид:
та U
0
и распадается на три слагаемых, из которых первое и третье –
нечетные функции и при интегрировании дают ноль. Второе
слагаемое дает табличный интеграл, равный
3(2π)
1/2
(kБT)
3/2 gγ–5/2
.
В знаменателе выражения (6.4) можно ограничиться гармоническим приближением. Соответствующий табличный
интеграл равен
1/2
T/γ)
(2πk
Б
.
Окончательный результат
<x> = (3g/γ) k
T
Б
(6.6)
соответствует постоянному значению коэффициента теплового расширения.
Поскольку k
T имеет смысл средней энергии классического
Б
осциллятора, возникает предположение о возможности замены этой величины при низких температурах соответственно
на среднюю энергию квантового гармонического осциллятора – формула (3.2).
В этом случае коэффициент теплового расширения ниже
характеристической температуры T
= hωД/kБ будет резко
Д
уменьшаться, а при T→ 0 K будет в соответствии с теоремой
Нернста стремиться к нулю.
Рис. 6.1 с асимметричной кривой относится к взаимодействию двух атомов, образующих устойчивую молекулу. Для
кристалла кривая зависимости потенциальной энергии атома от координаты по какому-либо выделенному направлению
должна быть симметрична: соседние частицы равноправны.
На первый взгляд, это исключает тепловое расширение. Чтобы объяснить причину теплового расширения в твердом теле,
необходимо учесть важнейшее его свойство – сильное взаимодействие между атомами, приводящее к коллективному характеру возбуждений.
51
22
20 21 32
2()( ),
2
UU xx xx
γ
=+ −−−
Рис. 6.2. «Триада» атомов 1–2–3 в одномерном кристалле,
рассматриваемая в модели теплового расширения
Самая простая модель кристалла – одномерный кристалл,
то есть атомная цепочка (рис. 6.2). Следующее упрощение –
так называемое близкодействие, когда учитывается взаимодействие только ближайших соседей. Выделив такую «триаду»
1–2–3, рассмотрим характер потенциальной «ямы», в которой
колеблется атом 2. Любой сдвиг атома 2 из положения равновесия приведет к движению соседних атомов 1 и 3. Поэтому
потенциальная энергия U
собственной координаты x
соседей: x
= (x2 – x1) и x
21
на двух координатных осях, а U
атома 2 зависит не только от его
2
а определяется расстояниями до
2,
= (x3 – x2). Величины x21 и x32 отложим
32
на третьей оси, получив тем
2
самым потенциальную поверхность в трехмерном пространстве (вместо плоской кривой рис. 6.1). Можно изобразить это на
плоскости рисунка, прибегая к «топографическому» методу:
по двум осям отложим величины x
и x32, а точки, соответству-
21
ющие одинаковому значению потенциальной энергии, соединим линией. При этом введем некоторый постоянный «шаг»
∆U, соответствующий разнице энергий соседних линий.
Отрицательные значения координат x
и x32 означают, что
21
расстояние между соответствующими атомами меньше равновесного, положительные – что оба расстояния больше равновесного. Иными словами, если обе координаты отрицательны – модельный кристалл в виде «триады» атомов сжат. Если
обе координаты положительные – он растянут. Разные знаки
координат соответствуют промежуточному случаю.
При небольших изменениях расстояний между атомами 1
и 2 потенциальная энергия U(x
(6.1), т.е. параболой. Это относится и к энергии U(x
– x1) описывается формулой
2
– x2) вза-
3
имодействия атома 2 с атомом 3. Считая, что потенциальная
энергия атома 2 суммируется, получим:
52
(6.7)
то есть атом колеблется в симметричной трехмерной по-
23
000
() ()()Ux Uxxgxx
γ
=+ −−−
2
тенциальной «яме», а изоэнергетические линии представляют собой окружности (рис. 6.3). В силу увеличения крутизны
параболы и постоянства «шага» ∆U окружности сближаются
по мере увеличения энергии.
С повышением температуры и увеличением амплитуды
тепловых колебаний атомов становится важным (так же, как
в случае двух атомов) отличие формы кривой U(x) от параболы. Это отличие можно учесть за счет добавления в формулу
(6.1) слагаемого, пропорционального (х
– х)3:
0
(6.8)
где: g – положительная величина.
Действительно, очевидно, что при (х – х
) < 0 и g > 0 поп-
0
равка положительна и поднимает первоначальную параболу
Рис. 6.1 ближе к истинной кривой U(x). При (х – х
) > 0 поп-
0
равка отрицательна и также приближает первоначальную
кривую к истинной. Для потенциальной энергии атома 2, взаимодействующего с атомами 1 и 3, получаем:
= 2U0 + [(х2 – х1)2 + (х3 – х2)2] –
U
2
– х1)3 + (х3 – х2)3].
– g[(х
2
(6.9)
Трехмерная потенциальная «яма», в нижней своей части
совпадающая с симметричным параболоидом, далее превращается в нечто вроде «кувшина-молочника», его сечение по
оси FG дает асимметричную кривую рис. 6.1. Очевидно, что
колебания с большой амплитудой в такой «яме» приведут к
увеличению среднего расстояния между частицами.
53
2
∂∂
=−
∂∂
V
PV
T
(p/T)
T
cc
V( p/ V)
(/)
0
(/)
V
p
T
pT
V
TpV
∂∂
∂
=− =
∂∂∂
1
∂∂
==
∂∂
p
S
TV
c
(p/V)
.
(p/V)c
Рис. 6.3. Схема теплового расширения одномерного кристалла в
приближении близкодействия
Таким образом, тепловое расширение кристаллов явля-
ется следствием асимметричности кривой зависимости потенциальной энергии парного взаимодействия частиц, составляющих кристалл, от расстояния между ними, а также
результатом коллективного характера теплового движения.
Отсутствие теплового расширения в гармоническом крис-
талле сопровождается рядом термодинамических аномалий,
не соответствующих эксперименту. Удельная теплоемкость с
равна
(6.10)
p
Но
кристалле удельные теплоемкости при постоянном объеме и
постоянном давлении совпадают. Совпадают также адиабатическая и изотермическая сжимаемости, так как
В действительности с увеличением среднего равновесного
расстояния между атомами (за счет теплового расширения
или за счет механического воздействия) изменяются упругие
константы и соответственно спектр тепловых колебаний решетки. Качественно это поясняет рис. 6.1, на котором кроме
54
, следовательно, в гармоническом
(6.11)
кривой потенциальной энергии U(x) отложена сила, действу-
(ln)
(,).
(ln)
Gs
V
∂ω
=−
∂
k
ks
,
,
,
,
(,)()
,
()
Vs
s
Vs
s
Gsc
Gc=
∑
∑
k
k
kk
k
ющая на один атом и равная
F = –∂U/∂x,
причем упругость связи γ = –∂F/∂x.
Если равновесное расстояние смещается вправо от x
, уп-
0
ругость связи и частота колебаний падают. Для количественной характеристики этого эффекта вводится параметрГрю-
найзена, который для моды k и ветви s равен отрицательной
логарифмической производной частоты этой моды по объему:
(6.12)
Полный параметр Грюнайзена равен
(6.13)
где: представляет собой вклад в удельную теплоемкость за
счет нормальной моды k, s.
Коэффициент теплового расширения α выражается при
этом простой формулой [3]
где: B – модуль всестороннего сжатия.
α = Gс
/3B,
V
(6.14)
55
Контрольные вопросы
1. Как будет меняться упругость атомной связи γ =
–∂F/∂x при увеличении (x – x
в гармоническом прибли-
0)
жении и с учетом ангармонизма (рис. 6.1)?
а – в гармоническом приближении упругость атомной свя-
зи постоянна, с учетом ангармонизма она монотонно падает
до нуля при увеличении (x – x
);
0
б – и в гармоническом приближении и с учетом ангармо-
низма упругость связи монотонно падает до нуля при увеличении (x – x
);
0
в – в гармоническом приближении упругость атомной свя-
зи постоянна, с учетом ангармонизма она падает до нуля, а
затем стремится к нулю, оставаясь отрицательной.
2. Во многих моделях динамики решетки параметр
G(k,s) полагают постоянной величиной. Учитывая, что
модуль всестороннего сжатия слабо меняется с темпе-
ратурой, как будет меняться α с температурой в двух
случаях:
T → 0
T >> T
Д
а – при T → 0 α стремится к 0 по закону T3; при T >> TД
это постоянная величина;
б – при T → 0 α возрастает, стремясь к ∞; при T >> T
это постоянная величина;
в – при T → 0 α стремится к 0 пропорционально тем-
пературе T; при T >> T
коэффициент теплового расширения
Д
стремится к 3R.
Д
56
Список литературы
(Необходимость ссылки [1] определяется сквозными обозначениями и логикой изложения).
Основная литература
1. Разумовская И. В. Физика твердого тела. Ч. 1: Структура и механические свойства твердого тела. – М.: Изд. «Прометей», 1993.
2. Павлов П. В., Хохлов А. Ф. Физика твердого тела. – М.:
МГУ, 1984.
3. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – М.: На-
ука, 1978.
4. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. – М.:
Мир, 1979.
5. Ансельм А. И. Введение в теорию полупроводников. –
М.: Наука, 1978.
6. Брандт Н. Б., Чудинов С. М. Электроны и фононы в ме-
таллах. – М., МГУ, 1990.
Дополнительная литература
7. Займан Дж., Электроны и фононы. ИЛ, М.: 1962.
8. Соросовский образовательный журнал.
9. Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая
теория кристаллической решетки в гармоническом приближении. – М.: Изд. Мир, 1965.
10. Строшио М., Дутта М. Фононы в наноструктурах. М.:
Физматлит, 2006.
57
Глава 1
1 – а
2 – в
3 – а
Глава 2
1 – б
2 – а
3 – б
4 – в
Глава 3
2 – а
Глава 4
1 – б
2 – б
3 – а
Глава 5
1 – в
2 – б
3 – б
Глава 6
1 – в
2 – а
Ответы на вопросы
58
Словарь
Определения
Свободныйобъем
В кристалле свободный объем представляет собой сумму
объемов вакансий – пустых узлов кристаллической решетки, по каким либо причинам не занятых атомом. В аморфных
твердых телах и в жидкостях величина свободного объема
имеет более условный характер: вместо четко определенных
вакансий рассматриваются места в структуре, где расстояния
между атомами существенно больше средних.
Нормальныекоординаты,нормальныеколебания
Для системы с s степенями свободы, совершающей малые
колебания, всегда можно подобрать s таких обобщенных координат (нормальные координаты), что каждая нормальная
координата меняется во времени по гармоническому закону
независимо от других обобщенных координат (нормальные
колебания). При этом гамильтониан системы распадается на
сумму s гамильтонианов независимых линейных гармонических осцилляторов. Впервые этот результат получен Иваном и
Даниилом Бернулли и обсуждался в их переписке (см. [9]).
Нанообъект,наноструктура
Объект (структура), размеры которого, по крайней мере,
в одном направлении не превышает 100 нанометров (1 нм –
–9
м). Наноструктуры обладают физическими и химичес-
10
кими свойствами, отличными от таковых для макроскопических тел.
Фонон
Квазичастица, введенная по аналогии с фотоном как квант
энергии упругих колебаний решетки. Название, видимо, введено И. Е. Таммом. Возможность квантования энергии нормальных мод кристаллической решетки впервые предположил А. Эйнштейн при объяснении экспериментального факта
падения теплоемкости твердых тел с понижением температуры. Фрактон – фонон во фрактальной структуре (М. Шредер, Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. R&C, Dinamics, Москва–Ижевск, 2001, – С. 78).
Фотонныйкристалл
Представляет собой «сверхрешетку», то есть периодическое чередование областей с коэффициентом отражения
59
(диэлектрической проницаемостью), отличающейся от этого
показателя для матрицы. Размеры областей, от миллиметров до десятков нанометров, определяют длину волны электромагнитного излучения, дифрагирующего на фотонном
кристалле. Возможность получения фотонных кристаллов с
«запрещенной зоной», аналогичной «запрещенной зоне» для
электронов, открыла большие перспективы их технического
использования.
ТемператураДебая
В модели решеточной теплоемкости Дебая вводится мак-
симальная частота акустических колебаний ω
– температура Дебая. TД (или ωД – единственный параметр,
T
Д
= ћTД/kБ, где
Д
отличающий в его теории один кристалл от другого.
Нормальные процессы и процессы переброса (при
столкновениях фононов)
Если при столкновении двух фононов суммарный волновой
+ k
вектор k
не выходит за пределы первой зоны Бриллюэна,
1
2
то такие процессы называются нормальными. При процессах
переброса сумма волновых векторов выходит за пределы первой зоны Бриллюэна. Для «переброса» в эту зону волнового
вектора фонона, родившегося при столкновении, к сумме век-
*
торов добавляется вектор обратной решетки T
, отличный от
нуля и направленный в сторону, противоположную векторам
и k
k
(относительно направления потока фононов). Можно
1
2
показать, что без процессов переброса решеточная теплоемкость была бы бесконечно велика.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]