Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика твердого тела. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению «Педагогическое образование», профили «Физика», «Математика и физика»,.pdf
Саратовский национальный исследовательский государственный
университет имени Н. Г. Чернышевского
Балашовский институт (филиал)
А. Н. Сорокин
ФИЗИКА ТВЕРДОГОТЕЛА
Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению
«Педагогическое образование», профили «Физика»,
«Математика и физика», «Информатика и физика»
Саратов
Издательство Саратовского университета
2022
УДК
539.2
ББК
22.37
С65
Сорокин, А. Н.
С65
Физика твердого тела : учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению «Педагогическое образование», профили
«Физика», «Математика и физика», «Информатика и физика»
[Электронный ресурс] / А. Н. Сорокин. – Саратов : Издательство
Саратовского университета, 2022. – 60 с. – URL: https://books.sgu.ru/
tutorials/978-5-292-04752-0. – Имеется печатный аналог.
ISBN 978-5-292-04752-0 (online)
ISBN 978-5-292-04751-3 (print). – Текст: непосредственный.
DOI: 10.18500/978-5-292-04752-0
В учебном пособии изложены вопросы, касающиеся дисциплины «Физика
твердого тела». Проводится обзорное представление информации о кристаллической структуре твердого тела, квантовой теории твердых тел, резонансных явлениях, сверхпроводимости, электрических, магнитных, тепловых и других свойствах
и характеристиках твердых тел.
Для студентов, обучающихся по направлению «Педагогическое образование»,
профилей подготовки «Физика», «Математика и физика», «Информатика и физика».
Р ек ом е н д у ю т к п еч а т и :
кафедра математики, информатики, физики факультета математики
и естественных наук Балашовского института
кандидат технических наук, доцент Н. Д. Гаврилов
кандидат физико-математических наук, доцент А. В. Фадеев
(утвержден Ученым советом Саратовского национального исследовательского
ISBN 978-5-292-04752-0 (online)
ISBN 978-5-292-04751-3 (print)
Работа издана по тематическому плану 2022 года
государственного университета имени Н. Г. Чернышевского,
протокол № 13 от 21 декабря 2021 года)
УДК 539.2
ББК 22.37
©©Сорокин А. Н., 2022
Саратовский университет, 2022
ВВЕДЕНИЕ
Большая часть современных приборов и конструкций изготавливается
на основе знаний, относящихся к разделам физики твердого тела, – это
цифровая и аналоговая техника, разные инструменты, здания, автомобили
и т. д.
Однако глубокое изучение предмета представляется достаточно сложной задачей и не является приоритетным аспектом при подготовке студентов гуманитарных направлений, в частности обучающихся по направлению
«Педагогическое образование» профилей подготовки «Физика», «Математика и физика», «Информатика и физика» и другим аналогичным направлениям, включающим подготовку по физике. Поэтому необходимо предоставить минимальный набор знаний, позволяющих составить представление
о данной области науки и предоставляющих возможность углубленного
изучения вопроса при наличии интереса со стороны обучающегося.
Для минимального ознакомления с курсом физики твердого тела достаточно данного издания, которое содержательно соответствует рабочей
программе по дисциплине «Физика твердого тела» для студентов, обучающихся по направлению 44.03.05 «Педагогическое образование» с профилем подготовки «Математика и физика». Для более глубокого изучения
предмета можно прибегнуть к источникам, представленным в списке литература.
В предлагаемом издании 7 глав, содержащих информацию об основных характеристиках веществ в твердотельном состоянии и о способах
расчета и экспериментального определения их физических параметров.
Пособие является переработанной, исправленной и дополненной версией пособия [1]. Оно написано на основании информации, представленной в источниках [1–25].
1. КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ТВЕРДОГО ТЕЛА. СВОЙСТВА И СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ
1.1. Кристаллическая решетка
Кристаллической решеткой называется совокупность точек, т. е. узлов
решетки, связанных между собой вектором трансляции
T = n1a + n
b + n3c,
2
где n1, n2, n3– целые числа; a,b, c – векторы примитивной трансляции,
выбранные в качестве ортов кристаллографических координат.
Преобразование кристаллической структуры с какой-либо точкой решетки всегда связано с одним базисом, составленным из атомов, имеющих
координаты
rj= xja + y
b + zjc, j = 1, 2,. .., N;
j
xj, yj, zjлежат в интервале от 0 до 1.
Векторыa,b,c образуют ячейку минимального объема Vc=|abc|. При
помощи этой ячейки векторы трансляции и базиса, связанного с каждой
точкой решетки, могут образовывать кристаллическую решетку. Положение плоскости и направление кристалла обозначается с помощью индексов
Миллера h, k, l, которые заключаются в круглые скобки для плоскостей
и квадратные – для направлений. Вектор rjзадает положение всех атомов
в элементарной кристаллической ячейке относительно выбранного узла
решетки (начало координат). Базис – это набор векторов rj. Точечные
дефекты влияют на свойства решетки, в связи с чем выбирается базис
несколько больший примитивной или элементарной ячейки, чтобы нивелировать влияние данных дефектов. Удобнее всего описывать кристаллическую решетку посредством ячейки, которая обычно выбирается таким образом, что ее объем кратен объему примитивной ячейки. Точечные дефекты
в твердом теле: отсутствие атома в узле решетки, присутствие инородного
атома в узле, присутствие лишнего атома в узле. Неточечные (плоскостные, объемные) дефекты – это дислокации, т. е. нарушение кристаллической структуры, связанное с изменением месторасположения групп атомов
по отношению к стандартному положению (теоретическое расположение
при трансляции примитивной ячейки).
4
1.2. Энергетические связи атомов в твердом теле
Для образования кристаллической структуры необходимо наличие
энергетических связей между атомами, составляющими данное твердое
тело. Если связи присутствуют только между соседними группами атомов,
говорят либо о жидком, либо об аморфном состоянии вещества (ближний
порядок). Если говорят о дальнем порядке, то все соседние атомы энергетически связаны между собой – это кристаллическая решетка. Типы связей
в кристалле: ковалентные полярные – связь между разнородными атомами,
обусловленная разной энергией обмена; неполярные – связь между одинаковыми атомами, определенная выгодой энергетического состояния (минимализацией энергии); ионные – в отличие от валентных связей электронная
оболочка не обобщена, в связи с чем присутствуют силы кулоновского притяжения, а не отталкивания; водородные и ван-дер-ваальсовые. Водородная
связь объясняется притяжением, возникающим между атомами водорода,
которые принадлежат разным молекулам, при этом атом водорода не покидает ранее образованного химического соединения, т. е. химическая связь
не разрывается, с чем связаны малые изменения электронной плотности,
а потому возникающие силы не приводят к образованию высокоэнергетической связи. Ван-дер-ваальсовые связи (самые слабые) образуются при
построении твердого тела из инертных газов. Силами Ван-дер-Ваальса называются такие, которые наведены диполь-дипольными взаимодействиями,
они изменяются с радиусом обратно пропорционально R6.
Возникновение сил отталкивания между атомами вызывается тремя
причинами:
– увеличением кинетической энергии наиболее удаленного от ядра элек-
трона, что является следствием сферической локализации электронно-
го заряда в атоме;
– электростатическим отталкиванием при перекрывании электронных
облаков;
– принципом Паули, в силу которого электроны, имеющие параллельные
спины, переходят на уровни с более высокой энергией.
Энергия электростатического взаимодействия в структуре, состоящей
из 2N ионов с зарядом ±q, будет определяться выражением
U = −Nα
q
R
2
= −N
∑
(±)q
r
i j
2
(СГС),
где α – постоянная Маделунга, R – расстояние между ближайшими соседями.
Связь между атомами металлов в значительной степени обусловлена уменьшением кинетической энергии валентных электронов в металле
по сравнению с кинетической энергией электрона в свободном атоме.
5
Полуметаллы. Их отличие от металлов состоит в том, что количество электронов в зоне проводимости из-за пересечения энергетических
уровней мало, а в валентной зоне крайне низкая концентрация дырок, что
не позволяет полностью проявиться металлическим свойствам.
Аморфные полупроводники. В некоторой области образца электрон
в валентной зоне может иметь большую энергию, чем избыточный электрон проводимости в несвязанном локализованном состоянии, находящийся в другой части образца. Подвижность носителя заряда с энергией в запрещенной зоне мала и может быть связана только с тепловой активацией.
1.3. Наблюдение кристаллической структуры. Теория
Исследуя максимумы дифракционной картины, обусловленные имеющейся кристаллической решеткой, определяем кристаллическую структуру твердого тела.
Теперь необходимо предсказать дифракционную картину, создаваемую данной структурой, и проверить ее соответствие реальным наблюдениям. Для этого в наличии имеется наблюдаемая картина, имеющая
вид карты пространственной обратной решетки, для которой обнаруже-
ны дифрагированные пучки, что дает нам возможность найти ∆k =k′−k.
Выберем тройку векторов трансляции a,b, c предполагаемой структуры,
причем не обязательно, что это векторы примитивной трансляции. Исходя
из векторов a,b, c образуем векторыA,B,C – основные векторы обратной
решетки, рассчитываемые по формулам:
A = 2π
b ×c
ab ×c
;B = 2π
c ×a
ab ×c
;C = 2π
a ×b
ab ×c
.
Далее строим узлы обратной решетки при помощи векторов обратной
решетки
G = hA + kB + lC,
где h, k, l – целые числа.
Часть узлов или все узлы должны совпадать с экспериментальными
точками на карте. Если подобное не наблюдается, вероятней всего, неверно
выбраны вектора a,b, c. Можно подбирать векторыa,b, c и соответственно
векторыA,B,C до тех пор, пока часть узлов не совпадет с эксперимен-
тально полученным результатом.
Вектор ∆k и полученные векторы a,b, c будут определять кристал-
лическую решетку.
Теперь каждая точка ∆k совпадет с каким-либо узломG. Однако если
структурный факторF для этого значения вектораG равен 0, эти узлыG
6
не будут совпадать с наблюдаемой точкой ∆k. Находимf (форм-фактор)
для предполагаемого базиса нашей структуры с векторами a,b, c и смот-
рим, всегда ли нулевое значениеF соответствует узлуG, для которого нет
дифрагировавшего луча. Подбираем координаты атомов xj, yj, zjдо тех
пор, пока нулевые значенияF не совпадут с соответствующими атомными
координатами определенного базиса, связанного с кристаллической решеткой.
Значение форм-фактораf можно найти по справочным таблицам. Точ-
ные индексы, соответствующие нулевым значениямF, обычно можно найти, не уточняя значения дляf . Следует сравнивать, хотя бы качественно,
теоретические предсказания и наблюдаемые значения относительно интенсивности в пучке. Для выполнения этого сравнения используемf при
расчете
F(hkl)
2
.
Для проверки и выявления значений векторовf иF необходимо из-
мерять интенсивность излучения рассеянной неподвижной решетки
1
I = I0exp−
2
u
G.
3
Получили в весьма приближенном виде ожидаемую относительную
интенсивность. Уменьшение интенсивности дифракционной линии означает перераспределение исходного значения интенсивности между этой
линией и появляющимися в ее окрестности «крыльями».
Используя закон Брега
2d sinθ = nλ
и уравнения дифракции Лауэ
∆k =G;2kG =G2или a∆k = 2πh;b∆k = 2πk;c∆k = 2πl,
найдем некоторую функцию, которая инвариантна относительно операции
решеточной трансляции и может быть разложена в ряд Фурье с использо-
ванием соотношений для определения модуля вектораA:
m,n,p
G;
ΦG=
A = ΦG×
N
fjexp−iρ
∑
j=1
∑
G=
j
exp−iρ
m,n,p
N
fjexp[−i2π (xjh + yjk +zjl)].
∑
j=1
7
Таким образом, можно получить функцию, которая определяет положение
атомов в кристалле на основе проведенных экспериментов. Данную функцию можно записать в виде
n(ρ) =
nGexpiGρ.
∑
G
1.4. Экспериментальное исследование кристаллической структуры твердого тела
Ультразвуковой метод. В этом методе ультразвук от кварцевого преобразователя проходит через кристалл и, отразившись от его задней стенки,
возвращается обратно к преобразователю. Для волны 0,3 мм линейные
размеры образца должны быть порядка 1 см.
Дифракционный метод.
видов: рентгеновское, нейтронное и электронное. Регистрация результата
происходит по отраженному пучку. Для исследования кристалла требуется
рентгеновское излучение с энергией квантов 10 ÷50 кэВ. Для определения
энергии нейтронного и электронного излучения служат формулы:
λ(Å) =
где λ – длина волны де Бройля.
Метод Лауэ. В этом методе узкий немонохроматичный пучок рентгеновских лучей или нейтронов направляется на неподвижный монокристаллический образец (рис. 1). В кристалле происходит «отбор», т. е. дифрагируют только те лучи, для длин волн которых межплоскостные расстояния d
и углы падения Θ удовлетворяют закону Брэгга. В данном методе размеры
образца не более 1 мм.
В этом методе используется излучение трех
0,28
(ε(эВ))
; λ(Å) =
1
2
12
(ε(эВ))
,
1
2
Рис. 1. Схема метода Лауэ: И – источник излучения, γ – пучок рентгеновских
лучей, К – кристаллический образец
8
Для x компоненты электрического поля падающей волны в свободном
пространстве имеем
E(x) = E0exp[i(kx −ωt]).
В точке ρ (рис. 2) находится центр рассеивания, после прохождения которого выражение для E примет вид
ESC= CE(ρ)
exp[ikr]
r
= CE
0
exp[i(kr −ωt ])
r
.
r ≈R −ρcos α, k = k′, что видно из рис. 2. Направление k′совпадает сR.
′
kρ cos α = k′ρcos α =k
ρ, следовательно, фазовый множитель принимает
вид
exp[ikr] = exp[ikR] ·e
−iρ∆k
;
∆k =k′−k – вектор рассеяния, тогда
ESC(r) =
CE0e
ikRe−iωt
R
−iρ
∆k
mnp
e
.
Таким образом, интересующая нас амплитуда
A =
Сумма, взятая по узлам решетки, максимальна, когдаρ
ρ
= ma + nb + pc – уравнение Лауэ.
mnp
∑
mnp
exp(−iρ
mnp
∆k).
∆k = 2πl ;
mnp
Рис. 2. Процесс рассеивания электромагнитной волны в кристалле: k, k′– значения
волновых векторов до и после рассеивания соответственно; ρ, r, R – значения
радиус-векторов, определяющих местоположения центра рассеивания (одного из
атомов, обозначенных кружками) и пленки, фиксирующей дифракционную картину
9
Метод вращения кристалла
(рис. 3). В этом методе производится вращение кристалла вокруг одной из его осей. Производится также облучение используемой цилиндрической фотопластинки. На фотопластинке получается
дифракционная картина, соответ-
Рис. 3. Метод вращения кристалла: И – источник излучения, γ – пучок рентгеновских
лучей, К – кристаллический образец, стрелкой
показано направление вращения кристалла по
часовой стрелке
ствующая облучаемому кристаллу.
Метод порошка. Пучок монохроматического излучения падает на заключенный в тонкостенную
капиллярную трубку образец в ви-
де мелкого порошка или мелкозернистого поликристалла. Отраженные лучи выходят из образца по направлению, образующему семейство конусов,
общая ось которых совпадает с направлением падающего луча. Затем эти
лучи фиксируются на фотопластинке.
1.5. Принципы симметрии
Для кристалла характерны
разные виды симметрии: зеркальная (m); поворотная –
где n – порядок симметрии;
центральная, O – центр симметрии
(центр инверсии); трансляционная
(перемещением на определенный
вектор). Эти виды симметрии описывают все возможные упрощения
при построении из нескольких
исходных точек (положений атома
Рис. 4. Схематическое изображение элементарной ячейки: x, y, z – кристаллографические
оси; α, β, γ – углы элементарной ячейки; a,
b,c
– стороны элементарной ячейки
в кристаллической решетке) всего
кристалла.
Есть простейшие кристаллические решетки, которые определя-
ются параметрами элементарной ячейки (рис. 4):
– триклинная (стороны и углы не равны между собой, углы не равны
90°);
– моноклинная (стороны и углы не равны между собой, один из углов
90°);
– ромбическая (стороны не равны между собой, все углы равны 90°);
– тетрагональная (как ромбическая и две стороны равны между собой);
180
n
,
10