Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика твердого тела. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению «Педагогическое образование», профили «Физика», «Математика и физика»,.pdf
При достижении фотоном энергии, выходящей за рамки энергетической щели, поверхностное сопротивление возрастает до уровня, соответствующего нормальному состоянию металла (рис. 16). Иными словами,
фотон перебрасывает электрон на энергетический уровень, который уже
существует в нормальном состоянии.
При недостаточной энергии фотона электрон осуществляет переход между уровнями внутри энергетической щели, с чем
связано малое поверхностное сопротивление движению соответствующего электрона.
4.5. Изотопический эффект
Критическая температура сверхпроводника зависит от его изотопического состава. Статическое магнитное поле
внутри неограниченного соленоида, где
Ba– магнитное поле в вакууме, Bb– поле
наведенных сверхпроводящих токов в поверхностном слое образца, изображено на рис. 17.
Рис. 16. Зависимость разности поверхностных сопротивлений материала в
сверхпроводящем и нормальном состо-
янии от энергии фотонов
Рис. 17. Распределение статического магнитного поля: а – в ва-
кууме, б – в нормальном металле, в – в сверхпроводнике
В сверхпроводнике существует дополнительная энергия, образующаяся в магнитном поле, необходимая для поддержания состояния равновесия.
31
4.6. Незатухающие токи
В сверхпроводнике из-за малого сопротивления возможно неограни-
ченно долгое существование закольцованного электрического тока, если
его энергия удовлетворяет условию: υc= min
E
k
– скорость электрона
¯
hk
(критическая).
Энергия Ek, ¯hk – это мини-
мальные значения, которые необходимо задать электрону для того,
чтобы он двигался (рис. 18). В данном случае речь идет об энергии
возбуждения пары электронов.
Одночастичное туннелирование. При абсолютном нуле тока
нет до напряжения U =
E
g
∆
=
2e
e
Для получения одночастичного
туннелирования используют систе-
Рис. 18. Энергия возбуждения
му (рис. 19) из двух проводников
a и б со слоем изолятора в между
ними с толщиной 10–20 Å.
4.7. Адиабатическое размагничивание
.
Рис. 19. Туннелирование: а, б – проводники,
в – диэлектрик
Согласно этому методу количество энергетических уровней при
температуре, близкой к абсолютно-
му нулю, фиксированно и состояние спиновой системы таково, что электроны распределяются по уровням примерно одинаково. При включении
магнитного поля происходит не расщепление уровней, а перераспределение электронов по уровням так, что энтропия системы уменьшается и более низкие уровни становятся предпочтительнее. Поэтому данная операция
выполняется однократно.
5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДОГО ТЕЛА
5.1. Свойства диэлектриков
Электрическое поле, усредненное
по объему, образуется аналогично тем
электрическим полям, которые входят
в уравнения Максвелла, и называется макроскопическим полем (рис. 20).
Поле, действующее на атом с номером j, находящийся в точке, определяемой радиус-векторомrj, называется
локальным электрическим полем. Оно
рассматривается как сумма полей, созданных всеми частицами кристалла
E
(rj) =E0+E1+E2+E3(rj);
loc
E0– внешнее электрическое поле;E1–
деполяризующее поле, обусловленное
зарядами, образующимися на границах образца;E2– поле поляризации
объема кристалла вне сферы с центром в точке rj;E3(rj) – поле в точке
rj, создаваемое атомами внутри сферы с центром в точкеrj(E3принимает
несколько значений в элементарной ячейке кристалла).
Макроскопическое полеE =E0+E1=E
Если образец имеет форму эллипсоида, то деполяризующее поле имеет компоненту E1x= N Pxдля сферы N = 4π/3. ПолеE2называют полем
ЛоренцаE2= 4πP/3. Поляризуемость атома обозначается через α и опре-
деляется как коэффициент пропорциональности образующему его локальному полюP = αE
loc
.
Диэлектрическая восприимчивость и проницаемость определяются через полеE:
Рис. 20. Распределение электрического
поля в диэлектрике: +, − – заряды, формирующие внешнее E0и внутреннее E
электрические поля, стрелками показаны
направления этих полей
.
loc
1
D =E + 4πP = εE = (1 + 4πχ)E; χ = P/ε0ε;
P = ε0(ε −1)E; χ = ε −1;
33
Di/ε0= ε
, где i, j = 1,2, 3, . . .;
i jEj
D1/ε0= ε11E1+ ε12E1+ ε13E1.
Для атома, положение которого определяется кубической структурой
кристаллической решетки,E
=E = 4πP/3. Для полярных диэлектриков,
loc
состоящих из молекул с дипольным моментом p, при выполнении условия pE ≪ kT справедливо соотношение, называемое формулой Клаузиуса – Моссотти (ε −1)/(ε + 2) = 4π
(L
∑
j
)/3, Nj– концентрация ато-
i jNj
мов и ионов. Выводится она следующим образом из рассмотренных ранее
в параграфе формул:
P = 4π
E + 4πP = εE;P =E(ε −1)/4π;E
(L
)E
∑
i jNj
j
– выражение, определяющее поляризацию в веществе
loc
=E + 4πP/3;
loc
через локальное электрическое поле. Преобразуя записанные выражения,
получим следующее:
E(ε −1)/4π = 4π
E(ε −1) = 4π
∑
j
∑
(L
)(E +E(ε −1)/3);
i jNj
j
(L
)E(1 + (ε −1)/3).
i jNj
Откуда получается формула Клаузиуса – Моссотти:
(ε −1)/(ε + 2) = 4π
∑
(L
)/3.
i jNj
j
5.2. Оптические свойства в инфракрасном диапазоне
Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты, рассчиты-
ваемая по формуле
2
ω
ε(ω) = ε(∞) +
где ωT– результирующая частота при диэлектрической поляризации, ε(0) –
статическая диэлектрическая проницаемость, ε(∞) – оптическая диэлектрическая проницаемость, изображена на рис. 21.
В соответствии с данной формулой существует запрещенная область
частот ω
2
< ω2< ω
T
2
L
= ω
2
T
ε(0)
ε(∞)
дейна – Сакса – Теллера ε(ω) = ε(∞)
T
[ε(0) −ε(∞)],
2
T
−ω
2
ω
. Таким образом, получаем формулу Лид-
2
2
ω
−ω
L
2
ω
−ω
T
2
ω
ε(∞)
T
⇒
=
2
2
ω
L
. Эта формула
ε(0)
34
описывает зависимость диэлектрической проницаемости от частоты фотонов в инфракрасном диапазоне при
их распространении в диэлектрике.
5.3. Сегнетоэлектрики
Сегнетоэлектрики – большая
группа диэлектриков, для которых
характерно явление самопроизвольной
поляризации (P). Они обладают нелинейной зависимостью поляризации
от поля и способностью к переполяризации (рис. 22).
Существование гистерезиса в сегнетоэлектриках связано с наличием
доменов – объемных областей, в каждой из которых дипольные моменты
ориентированы одинаково, но в соседних доменах разнонаправлены.
Для сегнетоэлектриков диэлектрическая проницаемость – функция по-
ля, вводимая как ε
диф
шением температуры P сильно умень-
= ε
∂D
. С повы-
0
∂E
шается и при некоторой T (сегнетоэлектрическая температура Кюри) обращается в ноль. При T > Tктепловое движение разрушает сегнетоэлектрическое состояние, сегнетоэлектрик
становится параэлектриком (поле, в котором он ориентируется, сонаправленно внешнему полю). В этой области ε = c/(T −Tк). Ряд ионных кристаллов
имеет спонтанную поляризацию. Они не обладают постоянным электрическим моментом; их рассматривают как вставленные друг в друга подрешетки, поляризованные в противоположных направлениях, – это антисегнетоэлектрики. При некоторой T (антисегнетоэлектрическая точка Кюри)
они также обращаются в параэлектрики.
Рис. 21. Зависимость диэлектрической
проницаемости ε от частоты ω/ωT: заштрихована область с недопустимыми
значениями диэлектрической проницае-
Рис. 22. Гистерезис в сегнетоэлектриках:
P
PS,
,
E
P
C
мости
– параметры петли гистерезиса
5.4. Пироэлектрики и электреты
Изменение поляризации в кристалле при нагревании / охлаждении
называется пироэлектрическим эффектом. Он связан с особым элементом
симметрии – полярной осью.
35
Уменьшение поляризации с ростом температуры – истинный пироэффект, ложный пироэффект связан с тепловым расширением диэлектриков.
Оба эти эффекта зависят от температуры линейно.
Для истинного пироэффекта
∆P = P0(1 −cos θ).
При малых значениях температуры
θ ≈kT ; ∆P = P1∆T.
Для ложного пироэффекта
∆l = α∆T ; ∆P = P2∆T ; ∆P
= (P1+ P2)∆T.
общ
Диэлектрики, поляризованное состояние которых сохраняется после
отключения внешнего поля и других внешних воздействий в течение долгого времени, называются электретами. Электретное состояние создается
температурным воздействием, светом, трением (трибоэлектреты), механически, радиационным, магнитным воздействием.
5.5. Пьезоэлектрики
Появление поляризации в диэлектрике под действием механического
напряжения – прямой пьезоэффект. Обратный эффект – при наложении
поля кристалл сжимается / расширяется. Пьезоэффект наблюдается во всех
нецентральносимметричных кристаллах. При растяжении P = q∆a, при
сжатии P = −q∆a. При одноосном напряжении, приложенном к кристаллу
вдоль оси второго порядка (n = 2), P = dσ, σ – механическое напряжение,
d – пьезоэлектрический модуль. Компоненты поляризации: Pi= d
i jkσjk
.
5.6. Парамагнетики
В них направление поля внутри совпадает с внешним, его зависимость
от температуры – закон Кюри: χ = c/T .
Парамагнетики описываются с помощью следующих формул:
< M >=< M cos θ >=
cosθ exp
– среднее значение магнитного момента,
exp
MB cos θ
kT
MB cos θ
kT
sinθdθ
dθ
χ = µ0J/B = Nµ0M2/(3kT ); Nµ0M2/(3k) = c
36
– постоянная Кюри,
β = jgµ0B/(kT ); MjH= mjgµB, m
j
– магнитное квантовое число.
Эффективное число магнетонов Бора на один атом диэлектрика опре-
деляется
p
= gpj( j + 1), Bj=
e f f
(2 j + 1) cth
2 j
2 j+1
2 j
B
B
cth
2 j
−
2 j
– обобщенная формула Ланжевена (функция Бриллюэна).
Среднее значение магнитного момента показывает, что данное вначале
определение не совсем точное, т. е. намагниченность направлена по полю,
но не совпадает с ним. Проецируем магнитный момент на направление
магнитного поля, осуществляем переход к полярным координатам и производим интегрирование по всем направлениям.
Функция Бриллюэна показывает, что магнитное поле элементарного
диполя Bjпод действием внешнего поля B зависит от магнитного квантового числа, количества его направлений с соответствующими амплитудами
и от величины магнитного поля атома.
5.7. Диамагнетики
У диамагнетиков намагниченность J постоянна и отрицательна. Она
направлена против магнитного поляH и связана с ним линейно с коэффициентом пропорциональности χ. Диамагнитный момент электрона на круговой орбите с радиусом r определяется выражением
∆M = eS∆ω/(2π),
где ∆ω = eB/2m – частота Лармора. Тогда магнитный момент многоэлектронного атома
2
a
>
)
4
m
B,
где<a2>=2/3<r2>
∆M = −
z(e2)<(
– среднее расстояние электронов от оси, проходя-
щей через ядро параллельно полю для сферического атома.
Намагниченность единицы объема определяется формулой
j = Nze2< r2> /(6m).
37
Тогда магнитная восприимчивость единицы объема для диамагнетика
χ = Nµ0ze2< r2> /(6m).
В атоме электрон вращается по орбите с некоторым спином. Если
у атома на внешней орбите четное число электронов, он обычно является
парамагнетиком, если нечетное – диамагнетиком. При расчете диамагнетического момента для диамагнетика определяющими величинами являются
частота вращения и площадь орбиты, изменяющиеся под действием поля.
Основное отличие диамагнетика от парамагнетика – рассмотрение не витка
с током (для диамагнетика), а энергии магнитного поля (для парамагнетика).
5.8. Ферромагнетики
Ферромагнетики – это тела, имеющие в составе ограниченные зоны,
направленные по магнитному полю, причем эти зоны ориентируются им.
П. Вейс ввел понятие внутреннего магнитного поля:
Bi= λµ
J;
0
λ – постоянная молекулярного поля,J – намагниченность;
J = NM2(B + λµ
χ =
3kT −
B
=B + λµ
e f
J)/(3kT ); M2= µ2g2j( j + 1);
0
N(M2)µ
N(M2)λµ
J;
0
0
0
3k
c
=
T −θ
– закон Кюри – Вейса. При T = 0, Js= ngMb/2.
Принято считать, что намагниченность – результирующая магнитных
моментов, образуемых спинами электронов. Введение внутреннего молекулярного поля обосновано экспериментально (рис. 23).
Спиновые волны возникают спонтанно при переориентации спинов
атома и затухают во времени. Квант энергии спиновой волны – магнон.
Для ферромагнетиков обменный интеграл взаимодействия больше нуля, спины сонаправлены и параллельны; для антиферромагнетиков – меньше нуля, спины попарно антипараллельны. Обменный интеграл – интеграл
взаимодействия между электронами в разных энергетических состояниях:
A = 1/2(Es−Et) – энергии электронов в синглетном и триплетном состоянии. В антиферромагнитном состоянии ниже температуры Нееля спины
антипараллельны, восприимчивость максимальна при Tn. Точка фазового
38
Рис. 23. Зависимость магнитной проницаемости от температуры: а – парамагнетик,
б – ферромагнетик, в – антиферромагнетик
перехода регистрируется по максимуму теплоемкости и коэффициента теплового расширения.
В ферримагнетиках спины частично компенсированы. При температуре Нееля и выше антиферромагнетик превращается в ферримагнетик. При
критической температуре ферромагнетик превращается в антиферромагнетик или ферримагнетик.
Основное состояние системы электронов этой электронной оболочки
имеет максимальное значение S, допускаемое принципом Паули, и максимальное L, совместимое с S. Величина J = S + L, если оболочка заполнена
более чем наполовину, и J = |S −L| – если менее чем наполовину.
Элементарное возбуждение в ферромагнетике объясняется с помощью
магнон-дисперсионного закона. Во внешнем магнитном поле ka ≪1; ¯hω =
= Jk2a2. При низких температурах тепловое возбуждение магнонов вносит
вклад в теплоемкость и изменяет относительную намагниченность кратно
3/2
T
. В антиферромагнетиках дисперсионный закон ¯hω = akJ. При низких
температурах тепловое возбуждение магнонов вносит вклад в теплоемкость кратно T3и добавляется к вкладу фононов (T3).
Домены с намагниченностью в разных направлениях отделены стен-
кой Блоха толщиной (J/Kα3)
(KJ/α)
1/2
; K – плотность энергии анизотропии, α – постоянная решетки.
1/2
. Энергия на единицу площади стенки
Энергия анизотропии – энергия, отвечающая за несимметричность кристалла.
6. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Атомы в твердом теле при любой температуре T совершают тепловые
колебания около своих средних положений равновесия. Теплоемкость при
постоянном объеме для одного моля вещества – это количество энергии,
поглощенное или отданное веществом, необходимое для изменения его
температуры на 1 К: CV=
6.1. Классическая теория теплоемкости
В 1819 году П. Дюлонг и А. Пти установили закон определения теплоемкости твердого тела. При этом они использовали три предположения:
1) кристалл состоит из NAатомов; 2) при нагревании любого твердого тела
на 1° каждый его атом поглощает одно и то же количество энергии; 3) средняя энергия классической системы равна произведению числа степеней
свободы на
При наличии у каждого атома трех колебательных степеней свободы
кристалл будет представлять собой систему с 3NAстепенями свободы.
Полная средняя энергия такой системы
При наличии свободных электронов полная энергия определяется как
kBT
.
2
∂E
.
∂T
V
E = 3NAkBT ⇒ CV= 3R.
E = 3NAkBT + 3NAk
Для одновалентного металлаE=
9
2
T
.
B
2
RT
, так какN=
NA. Классическая
теория дает теплоемкость в 1,5 раза большую, чем наблюдается у реальных
твердых тел. Она приводит к понятию свободного электронного газа Ферми. Свободный электронный газ Ферми – это приближение, при котором
считается, что электроны в твердом теле ведут себя подобно идеальному
газу. При этом к данному газу применимы все уравнения, действительные
для идеального газа.
40