Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика твердого тела. Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлению «Педагогическое образование», профили «Физика», «Математика и физика»,.pdf
– гексагональная (как тетрагональная, но один из углов равен 120°, а не
90°);
– кубическая (все стороны равны между собой, все углы равны 90°).
Выделяют также простой, базоцентрированный, объемноцентрированный и гранецентрированный типы решеток по содержащимся дополнительным атомам, находящимся на пересечениях диагоналей объемных, оснований (баз), стенок фигур.
1.6. Импульс электрона в кристалле. Фононы
Для описания положения атома в кристаллической решетке используют ψ-функцию, которая, в соответствии с условием периодичности при
трансляции на векторT , равный вектору кристаллической решетки, остается неизменной, т. е. при замене r на (r +T ) в аргументе ψ можно записать:
ψ(r +T ) = e
ikreikT
U(r +T ) = e
ikT
ψ(r);
U(r +T ) = U (r);
ikT
e
– фазовый множитель, на который умножается функция Блоха при
трансляции на вектор решеткиT (при изменении аргумента). При обращении в нуль потенциала решетки, т. е. U(x) → 0, функция U (r) становится
константой.
Функция ψ = Ce
ikr
имеет такой же вид, как для вектораk, фигурирую-
щего в законах сохранения, действующих в процессах движения электрона
в кристалле. По этой причине ¯hk называют импульсом электрона в кри-
сталле. Когда электрон с волновым вектором r сталкивается с фононом,
имеющим волновой векторk, правило отбора имеет вид
r +k =r/+G,
гдеG – произвольный вектор обратной решетки.
Если фонон при столкновении поглощается, столкновение приводит
к рассеянию.
Фонон – это квазичастица, характеризующая колебания кристаллической решетки. Он представляется в виде колебания атомов кристаллической решетки, локализованных в какой-либо области.
Локальный фонон – электрический дипольный момент, образующийся
вблизи иона кристаллической решетки, он деформирует ее вблизи своего местоположения, величина деформации быстро убывает при удалении
от этого местоположения.
Акустический фонон – колебания атомов кристаллической решетки
синфазны.
11
Оптический фонон – колебания соседних атомов решетки в проти-
вофазе.
Частота оптических фононов всегда больше акустических, что и ил-
люстрируется графиком (рис. 5).
Рис. 5. Кривые зависимостей частоты от волнового вектора для акустических (снизу) и оптических (сверху)
фононов
2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
2.1. Приближения при расчете характеристик твердых тел
Для нахождения ψ-функции для какого-либо электрона необходимо
решать представленную далее систему уравнений Шрёдингера, которая
объединяет волновые функции для атомов, ядер и электронов:
ˆ
H
ψ = E
атi
ˆ
H
ψ = E
ядi
ˆ
H
ψ = E
эл j
Для упрощения задачи по решению этой системы будем считать, что
существуют ионные остовы, т. е. все электроны, кроме валентных, находятся вблизи ядра и ядро атома ведет себя так же, как ионный остов, или
наоборот:
ˆ
H
ψ = E
ионi
ˆ
H
ψ = E
эл j
эл j
Считаем также, что ионные остовы малоподвижны по сравнению
с электронами: υ
1ср≫υ2ср
ную с влиянием атомных остовов и квазисвободных электронов, получим
потенциальное поле, в котором движутся квазисвободные электроны. Это
поле периодическое из-за повторяемости кристаллической решетки, обозначаем его Uu(r
). И можем записать
i j
ψ
атi
; i = 1, . . ., M; j = 1, . . ., N.
ψ
ядi
ψ
эл j
ψ
ионi
; i = 1, . . ., M; j = 1, . . ., N1,N > N1.
ψ
. Объединяя потенциальную энергию, связан-
ˆ
Hjψ = [Ej+Uu(r
Будем считать, что электроны движутся одинаково в поле других электронов: υ
1cр≈υ1 j
, поэтому
)]ψ, i = 1, . . ., M; j = 1, . . ., N1.
i j
U
r
∑
k
= Uэл.
j
jk
В итоге получаем
[E +Uu(r
) + Uэ]ψ =Hjψ.
i j
Итак, считаем, что исследуемое твердое тело состоит из одинаковых неподвижных атомов. Все электроны инвариантны, и найдя волновую
функцию для одного электрона, тем самым находим ее для всех.
13
Приближение называется адиабатическим, когда влияние атома учитывается введением потенциальной энергии. Приближение называется одноэлектронным, или приближением самосогласованного поля, когда ищется
функция одного электрона.
2.2. Функция Блоха
Запишем уравнение Шрёдингера для периодического потенциала:
ˆ
Hψ(r) = [E +U (r)]ψ (r) .
Ищем решение данного уравнения в виде ψ(r) = ψ (r0)e
ikr
Известно, что гамильтониан записывается в виде
2
¯h
где ∆ =
H =
2
2
2
∂
∂
+
2
∂x
∂
+
2
∂y
∂z
2
∂
=
∂2r
.
2
2m
∆,
Таким образом, проверяем высказанное предположение, подставив
в уравнение и проверив истинность полученного выражения:
∆ψ =
2
∂
−
2m
ikr
ψ0e
∂2r
2
¯h
k2ψ = (E +U ) ψ; E +U = −
= ψ
2
ikr
ik
e
0
= −ψ0k2e
ikr
(¯hk)
2m
= −k2ψ;
2
.
Если положить, что p2= ¯h2k2, получаем тождество.
Теперь проверим, выполняется ли условие периодичности для данной
волновой функции:
2
¯h
∆ψ(r) = (E +U (r))ψ (r) – уравнение Шрёдингера; (1)
2m
U (r) = Ur
′
= U (r +an) – условие периодичности (постулируется); (2)
.
¯h
2m
2
∆ψr
=
′
E +Ur
ψ
′
′
r
– получается заменой r на r′. (3)
На основании формул (1), (2), (3) получаем
(E +U (r)) =E +Ur
′
; (E +U (r)) ψ (r) =E +Ur
14
ψ
′
′
r
.
Иными словами, условие периодичности выполняется.
Решение волнового уравнения для кристаллической решетки имеет
вид функций Блоха:
C(k)e
ikr
.
Волновой вектор
ψ(r) =
фигурирует в разложении в ряды Фурье и имеет
k
∑
k
видk =r +G, гдеG пробегает все векторы обратной решетки.
Имеются такие области значения энергии, для которых решение волнового уравнения в виде функции Блоха не существует. Данные значения
образуют запретную область, при этих значениях энергии волновые функ-
ции затухают в пространстве, а соответствующие значенияk являются комплексными. Существование диэлектриков обусловливается присутствием
именно этих запрещенных областей энергии.
Энергетические зоны, называемые зонами Бриллюэна, часто могут
быть получены приближенно путем введения электрического описания поведения одной или двух плоских волн. Например, вблизи границы зоны
Бриллюэна волновую функцию можно записать в виде
ψ(x) ≈C(k)e
ikx
+C(k −G)e
i(k−G)x
.
В физике твердого тела рассматривается только первая зона Бриллюэна, которая называется примитивной ячейкой Вигнера – Зейтца. Она определяется в k-пространстве при значениях волнового вектора из диапазона
−
2π
2π
;
, где r – вектор решеточной трансляции, определяемый разме-
r
r
рами элементарной ячейки. Любая волна, проведенная из начала координат и законченная на поверхности зоны Бриллюэна, будет дифрагировать
от кристалла.
2.3. Энергетические зоны
Энергетические зоны можно описывать на основе одной из трех зонных схем: расширенной; приведенные; периодические.
Число состояний в энергетической зоне равно 2N, где N – число элементарных ячеек в образце, определяемых значениями внутренней энергии
(r) = e
iG/r
15
U
(r).
/
k
U
k
Запрещенной называется зона, лежащая между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны (рис. 6). В металлах запрещенная зона
отсутствует, что связано с нахождением большого количества свободных
Рис. 6. Энергетические зоны в твердых телах: а – металл, б – собственный
полупроводник, в – диэлектрик, г – полупроводник с донорной примесью, д –
полупроводник с акцепторной примесью
электронов в зоне проводимости, причем в металле все уровни валентной
зоны практически заполнены.
В полупроводниках количество электронов в зоне проводимости очень
мало, в то же время все уровни валентной зоны заполнены полностью,
однако ширина запрещенной зоны в полупроводнике не очень велика. Поэтому электроны при комнатной температуре начинают переходить в зону проводимости, что обусловливает многие полупроводниковые явления.
В диэлектрике все уровни валентной зоны заполнены, в зоне проводимости
нет электронов, ширина запрещенной зоны велика.
Для полупроводников ширина запрещенной зоны 0,5–3,5 эВ. Для диэлектриков – > 3,5 эВ. Запрещенная зона в металле отсутствует при комнатной температуре. Из вышесказанного следует, что диэлектрик при высокой
температуре становится полупроводником, если не обращается в расплав.
Уровень Ферми (рис. 7) – это уровень, на котором вероятность нахождения электронов равна 1/2, т. е. считается, что ниже все уровни заполнены, выше электронов нет при T = 0 К.
Уровень, который отделяет полностью заполненные уровни от полностью не заполненных при T = 0 К, называется уровнем Ферми.
Уровень Ферми определяется из распределения Ферми – Дирака:
1
E−E
kBT
e
.
F
+ 1
При e
f =
E−E
F
kBT
≫1 вырождение электронного газа полностью снимается.
При T = 0 К для E ⩽ EFf = 1, а для E > EFf = 0.
16
Рис. 7. Положение уровня Ферми: а – при нулевой абсолютной
температуре, б – при положительной абсолютной температуре
При изменении температуры положение уровня Ферми изменяется.
При низких температурах он практически не изменяет своего положения,
так как наличие электронов в зоне проводимости пренебрежимо мало. При
дальнейшем повышении температуры уровень Ферми несколько поднимается, что связано с ростом количества носителей в зоне проводимости.
При некоторой температуре наступает насыщение, т. е. уровень Ферми
практически не изменяет своего положения с повышением температуры –
это температура ионизации примесей. При дальнейшем росте температуры
происходит ионизация собственного полупроводника, положение уровня
Ферми поднимается, при этом также наблюдается уменьшение ширины запрещенной зоны. Дальше происходит полная ионизация высоких уровней
валентной зоны, полупроводники становятся вырожденными, т. е. уровень
Ферми пересекает дно зоны проводимости и полупроводники приобретают
свойства металлов.
В металле уровень Ферми выше зоны проводимости, в диэлектриках –
ниже потолка валентной зоны.
Большинство зависимостей, описывающих поведение уровня Ферми
и уровня донорной и акцепторной примесей, имеет экспоненциальный
характер.
Донорные уровни располагаются вблизи дна зоны проводимости. При
невысокой температуре (до 300 K) происходит их частичная ионизация.
При температуре от 70–150 °C наиболее часто происходит полная ионизация донорных примесей. Диапазон работы полупроводниковых приборов,
как правило, невелик и не превышает 100°.
Уровни акцепторной примеси располагаются вблизи потолка валентной зоны, при невысоких температурах происходит перенос электронов
из валентной зоны в зону акцепторной примеси. Количество вакантных
мест на акцепторном уровне и электронов на донорных уровнях напрямую
зависит от количества соответствующих примесей.
Донорная примесь отдает электроны, т. е. электроны слабо связаны
с атомом донорной примеси, а потому путешествуют по кристаллу, акцепторная примесь забирает электрон, так как его не хватает до завершения
17
связи. Причина такого поведения электронов примеси в том, что кристаллическая структура рассматриваемого полупроводника остается неизменной при добавлении примеси.
Акцепторная примесь способствует образованию так называемых дырок. Дырка – это отсутствие электрона вблизи атома, из-за чего появляется
положительный заряд, так как атом становится положительным ионом.
Возникший положительный заряд ведет себя как электрон со знаком «+».
Для упрощения вычислений и одинаковой записи законов принято считать,
что подобная частица является дыркой.
В физики твердого тела принято определять эффективную массу:
1
∂2E
= k
∗
m
∂p
,
2
где p = ¯hk – это величина, которую условились ранее называть импульсом.
В твердом теле существует множество взаимодействий, учет которых
слишком сложен, поэтому прибегают к понятию эффективной массы, что
позволяет учесть многие эффекты и воспользоваться при этом вторым законом Ньютона. Эффективная масса по своей величине отличается от массы
частицы. В твердом теле могут присутствовать легкие и тяжелые электроны и дырки. В большинстве твердых тел вблизи экстремума функции
энергии отk удается определять массу как коэффициент параболы
1
1
=
2
∗
m
¯h
∂2E
∂k
,
2
что позволяет записать связь энергии электрона с волновым вектором в виде
2
E(k) =
¯h2k
2m
.
∗
Таким образом, энергию Ферми можно считать как
2
¯h2k
2m
F
∗
EF=
через радиус сферы Ферми (kF).
Зонная диаграмма для наиболее широко распространенных полупроводников изображена на рис. 8. Следует отметить, что m
легкие электроны и дырки, а m
∗
– тяжелые. Как правило, большинство
2
∗
1
< m
∗
, т. е. m
2
∗
1
18
–
электронов находится в более низком энергетическом состоянии. В высокоэнергетическое состояние они переходят под воздействием сильного
электрического или магнитного полей,
а также при высокой температуре. Эффект данного перехода используется
в диоде Гана.
Донорная примесь инжектирует
электрон в кристаллическую структуру, электрон считается квазисвободным. Количество примесей в примесных полупроводниках варьируется
от 1012до 1017ед/см3, при количестве примесей от 1018до 1023ед/см
полупроводник переходит в вырожден-
3
Рис. 8. Дно зоны проводимости
для AsGa и Si
ное состояние. При количестве примесей < 1012ед/см3они практически
не влияют на физические свойства полупроводника. Выделяют полезные
и вредные примеси: полезные – это донорная и акцепторная, а также те, что
улучшают механические характеристики полупроводника, все остальные
считаются вредными. Вредными примесями чаще всего являются фосфор,
сера, бор, азот, фтор, которые влияют на увеличение хрупкости материала,
к тому же фтор является сильным окислителем и приводит к возникновению дефектов в кристаллической структуре. Количество этих примесей
не должно превышать 1011ед/см3.
Уравнение Шрёдингера, используемое при описании поведения электрона, допускает множество решений в связи с тем, что энергия по своей
величине для разных электронов не может совпадать (тогда бы нарушались законы квантовой механики). В связи с этим происходит расщепление энергетических уровней свободного электрона в зоны. Таким образом
образуются энергетические зоны.
2.4. Выпрямление в полупроводниках
Известно, что p-n-переход действует как выпрямитель. Пусть перпендикулярно его плоскости идет ток в прямом направлении, тогда он может
достигнуть большой величины, если приложить напряжение противоположного знака, то ток будет слабым.
Ток рекомбинирующих электронов экспоненциально уменьшается согласно множителю Больцмана, определяющему число электронов с энергией, достаточной для преодоления барьера:
j
= jnr(0)exp(e|V|/kt).
nr обр
19
Поток электронов (рис. 9) появляется за счет тепловой генерации, он не зависит от обратного
напряжения. Электроны движутся
в направлении спада потенциала,
т. е. из p в n:
j
= jng(0).
nr обр
При отрицательном смещении
Рис. 9. Вольтамперная характеристика полупроводника при приложении прямого и об-
ратного напряжения
ток генерации преобладает над током рекомбинации. При положительном смещении ток рекомбинации увеличивается пропорциональ-
но множителю Больцмана, так как высота барьера уменьшается; из n в p
может переходить намного больше электронов:
j
= jnr(0)exp(e|V|/kt),
nr пр
ток тепловой генерации не меняется.
Ток дырок через p-n-переход ведет себя аналогично. Приложенное напряжение снижает барьер и для электронов, и для дырок. Условие возникновения большого электронного тока такое же, как и для дырочного тока
в противоположном направлении. Складывая эти токи, получим полный
прямой ток:
J = Js[exp(e|V|/kt ) −1];
Js– сумма токов тепловой генерации электронов и дырок.
Изменение уровня Ферми в области p-n-перехода (10−9÷10−6м) показано на рис. 10; за ближайшей окрестностью p-n-перехода уровень Ферми
при невысоких напряжениях не меняется.
2.5. Подвижность протонов, пионов, мюонов
В некоторых телах протоны обладают подвижностью, но их движение не рассматривают как распространение волнового пакета. Протоны
перемещаются случайно, т. е. скачкообразно. Этот процесс трактуется как
тепловая активация протонов, которые при повышении энергии имеют возможность преодолеть барьер (туннелирование из одной точки в другую
из-за тепловой флуктуации). Перемещение более тяжелых ионов требует
наличия вакантных узлов. После инжекции в кристалл протонов они будут
двигаться скачками. Протон попадает в собственную ловушку, поляризуя
20