Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика твердого тела. Часть 2. Динамика кристаллической решетки. Тепловые свойства решетки
.pdf
Из полученных решений для un (в трехмерном кристалле
,Nam0c
=
u
NE
0
t
=
u
это вектор) можно построить общее. Смещение n-го атома во
всех коллективных колебаниях решетки с допустимыми час-
тотами ω равно
U
= ∑u
n
n
(k).
(2.20)
Для цепочки одинаковых атомов суммирование ведется по
всем N допустимым значениям k или же по соответствующим
частотам, заданным законом дисперсии (2.10).
Нормальными координатами, меняющимися во времени
по гармоническому закону и независимо от остальных (N – 1)
обобщенных координат, являются величины
iωt
= u
e
u
k
,
0
так как для них выполняется уравнение гармонического осциллятора
2
∂
u
/∂t2 + ω
k
2
u
= 0.
k
(2.21)
Нормальные координаты действительно характеризуют не
смещения индивидуального атома, а волну с частотой ω.
Мы получили [cм. (2.15а)], что в приближении близкодействия скорость распространения колебаний
(2.22)
2
2
Ф/∂u
где γ = (∂
)0 – упругость атомной связи в одномерном
n
кристалле. Известно, что в сплошной среде
где E – модуль Юнга, ρ – плотность. Подставив выражение
для E = γ/a [1] и учитывая, что ρ = m/a
соответствие для скорости распространения колебаний в струне и в цепочке при малых значениях ka.
боды (продольные смещения по оси Х и два типа поперечных
смещений – по Y и по Z), то аналогичные рассуждения приводят к трем законам дисперсии. При этом колебания по осям
Y и Z равноправны (вырождение), и две кривые дисперсии
3
, мы получим полное
Если атомы одномерного кристалла имеют три степени сво-
(2.23)
21
Рис. 2.4.а. Модель одномерного кристалла
(сложная решетка из атомов двух сортов)
Рис. 2.4.б. Модель одномерного кристалла
(сложная решетка, атомы одного сорта)
совпадают. Поперечные колебания соответствуют меньшей
упругости связи, чем упругость связи при продольных колебаниях: при одном и том же отклонении в продольном или поперечном направлении истинное расстояние между атомами
и их энергия в первом случае изменяются больше. Поэтому
скорость C
при больших длинах волн для поперечных коле-
0
баний меньше, чем для продольных, и кривая дисперсии для
них лежит ниже кривой дисперсии для продольных.
Атомная цепочка рис. 2.1 моделирует простую решетку.
При рассмотрении колебаний сложной решетки выявляются
принципиальные особенности. Прежде всего, очевидно, увеличивается число законов дисперсии даже при одномерном
движении атомов из-за разных условий колебаний для разных атомов в ячейке. Проще всего это продемонстрировать
вновь на одномерном кристалле с продольными смещениями
атомов, но с двумя атомами на ячейку.
Две обычно рассматриваемые модели сложной одно-
мерной решетки даны на рис. 2.4. Это либо закономерное
чередование в атомной цепочке атомов разной массы, либо
одинаковые атомы, расположенные попеременно на расстояниях d и (a – d).
В последнем случае вводится два разных значения упру-
гости связи.
Первая модель может в частности интерпретироваться как
ионный кристалл, и если атомы отличаются не только массой,
но и зарядом, эта модель окажется полезной при рассмотрении ИК-поглощения в ионных кристаллах.
Заметим, что узлы одномерной обратной решетки теперь
располагаются на расстоянии π/a, b = π/a.
22
Для получения конкретного вида закона дисперсии будем
2
2()
........
2()
2nos
nosM
ka
ka
m
0
2
2
$
$c~
c
c
c~
-
-
=
u
u
()/()/ ()/sinMmMm MmMm ka Mm4
2222222
!~c cc
=+ +-
учитывать только взаимодействие соседних атомов (приближение близкодействия). Придадим для определенности «тяжелым» атомам с массой M четные номера (2n, 2n + 2 и т.д.),
а «легким», с массой m – нечетные (2n – 1, 2n + 1 и т.д.). Нормальное колебание с частотой ω, видимо, может реализоваться на легких и тяжелых атомах с разными амплитудами: u
1
. В этом случае при подстановке решения (2.7) в N урав-
и u
0
нений движения атомов цепочки трансляционная симметрия
кристалла позволяет все уравнения свести к двум, причем амплитуды колебаний в отличие от простой решетки при вычислениях не сокращаются:
0
–Mω
–mω
2
2
u
u
= γ(u
0
1
0
= γ(u
0
1
e
0
ika
e
ika
+ u
+ u0e
–ika
1
e
– 2u0)
0
–ika
– 2u
1
).
0
(2.24)
(2.25)
Непосредственно закон дисперсии мы не получили, но он
может быть найден, если рассматривать уравнения (2.24),
1
и u
(2.25) как два уравнения с двумя неизвестными u
, для
0
0
которых мы потребуем нетривиальности решения (тривиаль-
1
= u
ное решение u
= 0 нас явно не устраивает). Следователь-
0
0
но, должен равняться нулю определитель, составленный из
1
и u
коэффициентов при u
:
0
0
(2.26)
откуда
(2γ – Mω
2
) (2γ – mω2) – 4γ2cos2ka = 0.
(2.27)
Это биквадратное относительно ω уравнение
4
– 2γ(M + m)ω2/M + 4γ2sin2(ka)/Mm = 0.
ω
(2.28)
В полученном биквадратном уравнении содержится два
интересующих нас закона дисперсии, соответствующие положительному значению частоты
(2.29)
23
Рассмотрим первое решение (со знаком + перед корнем)
при k = 0 и при k = +π/2a (на правой или аналогично левой
границе первой зоны Бриллюэна).
2
При k = 0 sin(ka) = 0 и ω
= 2γ(M + m)/Mm,
а положительное для частоты решение равно
= [2γ(M + m)/Mm]
ω
1
1/2
(2.30)
При k = +π/2a sinka = 1 и под корнем стоит γ2(M – m)2/
2m2
. Первому решению – плюсу перед корнем в (2.29) – соот-
M
ветствует ω
2
= 2γ/m и частота
ω
= (2γ/m)
2
1/2
.
(2.31)
Аналогично для второго решения (знак – перед корнем)
для предельно длинноволновых колебаний с k = 0 получаем ω
ω
4
= 0, а на границе первой зоны Бриллюэна частота
3
= (2γ/M)
1/2
Таким образом, кроме закона дисперсии, аналогичного за-
кону дисперсии для простой решетки, в сложной решетке реализуется дополнительно совершенно иной тип коллективного
возбуждения, в котором при k = 0 частота ω ≠ 0.
Возникающие при этом две ветви закона дисперсии изоб-
ражены на рис. 2.5. Зависимость 1 аналогична закону дисперсии для простой решетки и называется акустической
ветвью. Зависимость 2 называется опти-ческой ветвью,
так как связана с поглощением ионным кристаллом электромагнитного излучения в ИК-области. Между двумя ветвями
обнаруживается запрещенная по частоте (и соответственно по
энергии) зона, где колебания быстро затухают.
При колебаниях с длиной волны существенно большей
межатомного расстояния (практически k = 0) уравнения (2.25)
принимают вид
2
u
–Mω
–mω
= γ(2u
0
2
1
u
= γ(2u0 – 2u
0
При этом для акустической ветви ω = 0, откуда u
1
– 2u0);
0
1
(2.32)
).
0
1
= u0. В
0
длинноволновом колебании фазы соседних атомов практически совпадают, и в акустической ветви соседние тяжелые и
24
Рис. 2.5. Закон дисперсии для одномерной сложной решетки:
1 – акустическая ветвь; 2 – оптическая ветвь
легкие атомы колеблются с одной амплитудой, в едином нормальном колебании, аналогичном колебанию упругой сплошной среды.
Для оптической ветви в уравнения (2.32) следует подставить
= [2γ(M + m)/Mm]
ω = ω
1
при этом оказывается, что u
1
/ u0 = –M/m. Это означает, что в
0
1/2
,
длинноволновых оптических колебаниях соседние атомы колеблются в противофазе, а центр тяжести ячейки остается на
месте. Длинноволновые оптические колебания аналогичны
внутримолекулярным колебаниям, что объясняет их высокую
частоту (ω
лежит в ИК-области).
1
Итак, длинноволновые колебания сложной решетки распадаются на колебания, аналогичные колебаниям сплошной
среды, и на колебания, аналогичные внутримолекулярным.
Групповая скорость оптических колебаний мала, и они не
играют существенной роли в переносе энергии по решетке.
Может возникнуть вопрос, почему частоты ω
и ω4 на грани-
2
це первой зоны Бриллюэна зависят только от массы легкого и
тяжелого атома соответственно. На первой брэгговской плоскости удовлетворяется условие Лауэ,
*
где вектор трансляции обратной решетки T
в данном случае равен ± b. Так как групповая скорость равна нулю, возникает стоячая волна с λ = 4a, в которой узлами являются либо
тяжелые атомы (оптическая ветвь), и тогда частота зависит
только от массы m колеблющихся легких атомов; либо узлами
являются легкие атомы (акустическая ветвь), тогда частота
25
/
u
eE M
0
22
0
~~
=
-
-
/
u
eE M
0
1
22
0
~~
=
-
Рис. 2.6. Поперечные колебания на границе первой
зоны Бриллюэна: а – оптические; б – акустические
зависит только от массы M (рис. 2.6). Для наглядности изображены поперечные колебания.
Рассмотрим вынужденные колебания одномерного ионно-
го кристалла, когда при раскачке атомной цепочки возможен
резонанс. В одномерном ионном кристалле атомы отличаются
не только массой, но и зарядом. Для NaCl тяжелым атомам Cl
следует приписать отрицательный заряд (–e), а легким атомам Na – положительный (+e).
Пусть цепочку «раскачивает» переменное электрическое
поле, составляющая электромагнитного излучения в ИК-области. Длина волны, соответствующая ИК-области, намного
больше постоянной решетки a, следовательно, модуль волнового вектора k << π/2a и можно воспользоваться уравнениями
(2.32), добавив к упругим силам в правой части силу, действующую на ионы со стороны электрического поля:
–Mω
–mω
2
u
= γ(2u
0
2
1
u
= γ(2u0 – 2u
0
1
– 2u0) – eЕ0;
0
1
) + eЕ0.
0
Можно попытаться записать решения для амплитуд u
1
вынужденных колебаний из общих соображений. Очевид-
u
0
но, что возможен резонанс, поэтому выражение для обеих
2
2
амплитуд в знаменателе должно содержать (ω
– ω
резонансное
Кроме того, амплитуда должна быть пропорциональна силе,
действующей на заряд, и равной +eЕ
или –eЕ0 , и обратно
0
пропорциональна массе иона. Таким образом, из общих физических соображений ожидаемые решения должны иметь вид
резонансное
резонансное
26
(2.33)
0
(2.34)
и
).
Размерности правых и левых частей предполагаемых соот-
ношений совпадают.
Для непосредственного решения уравнений (2.33) надо
выразить одну амплитуду через другую, что проще всего сделать, сложив правые и левые части двух уравнений. Получающиеся решения полностью совпадают с предполагаемыми
(2.34), причем ω
[2γ(M + m)/Mm]
резонансное
1/2
, как и следовало ожидать, равно ω1 =
.
При переходе к трехмерной решетке основные полученные
выше результаты остаются в силе. Если атомы имеют 3 степени свободы и в кристаллической ячейке содержится μ атомов,
то закон дисперсии содержит всего 3μ ветвей, из них 3 акустические, остальные (3μ – 3) – оптические. Заметим, что для
произвольного волнового вектора одна волна поляризована
«более или менее» параллельно k, две другие «более или менее» перпендикулярно.
К экспериментальным методам определения законов дисперсии для фононов относится, прежде всего, рассеяние нейтронов [2]. Длина волны де Бройля для тепловых нейтронов
сравнима с длиной волны фононов. Однако для нанообъек-
тов – квантовых точек, нанопроволок и т.п. – сечение рассеяния недостаточно велико, и более информативным является
метод комбинационного рассеяния света.
27
Контрольные вопросы
1. Что означает наличие области запрещенных час-
тот для колебаний в сложной решетке?
а – для их возбуждения нужна энергия, большая чем мак-
симальная энергия оптических колебаний;
б – колебания с частотами в этой области затухают;
в – в этой области частот атомы в ячейке колеблются в од-
ной фазе.
2. Что означает для кристалла наличие частоты чис-
то мнимой (ω = iα, где α – действительное число)?
а – «раскачка» кристалла и его разрушение или перестрой-
ка решетки;
б – отсутствие акустических колебаний;
в – отсутствие оптических колебаний.
3. Является ли обязательным условием появления
оптической ветви наличие в элементарной ячейке одномерного кристалла атомов двух сортов?
а – является;
б – не является.
4. В элементарной ячейке двумерной решетки со-
держится 3 атома. Сколько акустических и оптических
ветвей (законов дисперсии) определяют динамику этой
решетки?
а – 3 акустические и 2 оптические;
б – 2 акустические и 6 оптических;
в – 2 акустические и 4 оптические.
28
3. Фононы
В предыдущей главе фактически еще не рассматривалось тепловое движение атомов в кристалле. Рассмотрена
была только механическая, динамическая составляющая
модели, в которой вместо атомов вполне могли быть макроскопические сосредоточенные массы, а силы взаимодействия заменены пружинками. Мы выяснили, каков спектр
собственных колебаний такой механической модели, но
еще не поставили вопрос, как он реализуется в кристалле,
как именно распределяется энергия кристалла между различными модами при разных температурах. Продолжая
рассматривать нормальные колебания кристаллической
решетки, следовало бы поставить задачу определения зависимости средней амплитуды колебаний различной частоты
от температуры.
Ситуация аналогична той, которая возникает при рассмотрении модели идеального молекулярного газа. Вначале мы
формулируем динамическую составляющую модели, включающую предположения: а) о парных столкновениях, б) об упругости соударений атомов между собой и со стенками сосуда,
в) о движение по инерции между соударениями в отсутствии
внешних полей. Вопрос о распределении внутренней энергии
всего газа по отдельным молекулам решается затем с использованием методов статистической физики.
Для макроскопического кристалла решение задачи о его
тепловых колебаниях также возможно только при статистическом, вероятностном описании. При этом во многих случаях
необходимо использование квантовой статистики.
Мы по-прежнему будем рассматривать энергию колебаний
кристалла из N атомов как энергию совокупности 3N нормальных колебаний (мод), для которых закон дисперсии и допустимые частоты определены в динамической модели главы 2.
В классическом случае средняя энергия каждой моды равна
средней энергии одномерного гармонического осциллятора,
то есть k
(k), где индекс s означает поляризацию, принимает значе-
ω
s
ние из дискретного набора значений
Т. В общем случае энергия каждой моды с частотой
Б
где числа n
ћω
равны 0, 1, 2…
ks
(k) (nks + 1/2),
s
(3.1)
29
Состояние всего кристалла описывается как указание сте-
пени возбуждения всех мод, и его энергия равна
(3.2)
где <n
E = Σћω
> – средние значения чисел заполнения, равные в со-
ks
(k) (<nks> + 1/2),
s
ответствии со статистикой Бозе-Эйнштейна при нулевом значении химического потенциала:
> = [exp(ћωs(k)/kБТ – 1)]
<n
ks
–1
(3.3)
Причина равенства нулю химического потенциала ана-
логична случаю равновесного электромагнитного излучения
(см. ниже).
Вместо нормальных колебаний удобнее пользоваться
адекватных корпускулярным представлением возбуждения с
частотой ω
теории электромагнитного поля. При таком описании n
(k), аналогичным описанию фотонов в квантовой
s
рас-
ks
сматривается как число частиц типа s с волновым вектором k
и энергией ћω
(k). Энергия нулевых колебаний не рассматри-
s
вается. По аналогии с фотоном квант энергии упругих колебаний кристалла называется фононом.
Описания различных явлений в кристаллах на языке нор-
мальных колебаний и на языке фононов эквивалентны, но
введение понятия «фонон» позволяет использовать разработанные модели классической молекулярно-кинетической теории, представления о столкновениях фононов друг с другом
или другими частицами, о длине свободного пробега, времени
релаксации и т.п.
В гармоническом приближении различные моды не вза-
имодействуют друг с другом, на языке фононов это означает
отсутствие их взаимодействия между собой, то есть кристалл
представляется как объем, заполненный идеальным фононным газом. Это не исключает взаимодействия в гармоническом приближении фононов с другими частицами, например,
электронами в металлах. Именно электрон-фононное взаимодействие определяет в основном электрическое сопротивление металла.
Фононы относятся к классу «квазичастиц». Понятия ква-
зичастица, методквазичастиц – ведущие понятия современной физики твердого тела. Мы неоднократно отмечали,
что для твердого тела характерно сильное взаимодействие
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]