Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика твердого тела. Часть 2. Динамика кристаллической решетки. Тепловые свойства решетки
.pdf
Контрольные вопросы
1. Почему при низких температурах можно в верх-
нем пределе интеграла энергии заменить ω
на ∞?
Д
а – при низких температурах наблюдается закон диспер-
сии без ограничения частоты;
б – при низких температурах высокие частоты все равно
не возбуждаются, а замена предела интегрирования делает
интеграл табличным;
в – при низких температурах в теплоемкость дают вклад
оптические моды.
2. Почему в теории теплоемкости кристаллической
решетки, построенной в гармоническом приближении,
не различают теплоемкость c
при постоянном давлении?
и c
p
при постоянном объеме
v
а – рассматриваются условия при постоянном атмосферном
давлении;
б – в гармоническом приближении отсутствует тепловое
расширение.
3. Почему температура Дебая T
для кристаллов из
Д
атомов, обладающих сходными химическими свойствами и структурой, убывает с увеличением атомного номера?
пропорциональна максимальной частоте акустичес-
а – T
Д
кой ветви, а частота , где m – масса атома, γ – упругость связи
(по условию задачи близкая для рассматриваемых кристаллов);
зависит от числа атомов в единице объема, а эта ве-
б – T
Д
личина уменьшается с увеличением их массы;
в – с увеличением атомного номера увеличивается число
электронов в атоме.
41
5. Ангармонические эффекты.
2
00
,
34
00
,, ,,
1
+
2
11
...
624
0n nm
nnm
nnm
nmknmkl
nmknmk
nmknmkl
ФФ
Ф = Ф uuu
uuu
ФФ
uuuuuuu
uuuuuuu
∂∂
++
∂∂∂
∂∂
+++
∂∂∂∂∂∂∂
∑∑
∑∑
Решеточная теплопроводность
Существует ряд физических явлений, связанных с тепло-
вым движением в кристаллах, которые не могут быть объяснены в рамках гармонического приближения. Их природа, по
сути, определяется ангармонизмом тепловых колебаний твердого тела. Это, прежде всего, тепловое расширение твердых
тел, теплопроводность диэлектриков, отклонение от закона
Дюлонга-Пти при высоких температурах.
В отличие от металлов, в которых теплопередача осуществляет-
ся в основном свободными электронами, в диэлектрике теплопроводность определяется тепловыми колебаниями ионов. В гармоническом приближении колебания решетки не взаимодействуют,
а просто складываются на каждом атоме. На языке фононов это
означает отсутствие фонон-фононного взаимодействия. В таком
случае выравнивание температуры в диэлектрике должно было
бы происходить со скоростью распространения упругих колебаний
(пластмассовая ручка сковородки, поставленной на огонь, накалялась бы практически мгновенно). Между тем эксперимент показывает, что выравнивание температуры – процесс достаточно долгий.
Следовательно, существует некий механизм рассеяния тепловых
колебаний (фононов). Разумеется, это может быть рассеяние на
дефектах кристаллической решетки и свободной поверхности, но
универсальным является фонон-фононное взаимодействие.
Ч. Киттель [3] дает качественное пояснение механизму вза-
имодействия фононов: наличие фонона вызывает периодическую упругую деформацию решетки. В случае ангармонизма
упругие константы твердого тела модулируются по объему и
во времени, что «ощущает» второй фонон.
Фононный газ перестает быть идеальным, если в формуле
разложения потенциальной энергии кристалла Ф по смещениям u
бавляются ангармонические члены третьего и четвертого порядков (добавление только члена третьего порядка по u
неустойчивый гамильтониан):
атомов из положений равновесия [формула (2.1)] до-
n
дает
n
42
(5.1)
Рис. 5.1. Схемы: а, б – трехфотонных процессов;
в, г, д – четырехфотонных процессов
Учет ангармонических эффектов означает учет взаимодействия тепловых колебаний решетки или учет фонон-фононного взаимодействия. Если ангармонические
члены малы по сравнению с гармонической частью гамильтониана (5.1), применима теория возмущений. Можно показать, что учет кубического ангармонического члена соответствует двум вариантам переходов между двумя
собственными состояниями гармонического гамильтониана
(рис. 5.1. а, б): a – фонон с волновым вектором k и номером
ветви s распадается на два фонона с волновыми векторами
и k2 и номерами ветвей s1 и s2; b – два фонона сливаются
k
1
в один. В остальном фононные числа заполнения не изменяются. Закон сохранения энергии исключает два других
возможных трехчастичных процесса – уничтожение трех
фононов или рождение их «из ничего».
Анализ особенностей трехфононного процесса типа а) на
рис. 5.1 для конкретных полупроводниковых материалов принципиально важен для разработки электронных и оптоэлектронных приборов на основе этих материалов [9].
Возможные четырехфононные процессы, возникающие
при учете ангармонического члена четвертого порядка, изображены на рис. 5.1 в, г, д.
Во всех случаях должен выполняться закон сохранения
энергии:
(k)nks = Σћωs(k)n
Σћω
s
и закон сохранения квазиимпульса
i
= Σkn
Σkn
ks
ks
+ T
i
ks
*
(5.2)
(5.3)
43
В простейшей стационарной задаче о теплопроводности в
тонком длинном стержне (одномерный случай, рис. 5.2) выполняется ЗАКОН ФУРЬЕ: для малых градиентов температуры поток тепла равен
= –ξ grad(T).
J
q
На концах стержня поддерживаются температуры T
> T1, градиент температуры постоянен вдоль всего стержня,
T
2
(5.4)
1
и
знак «–» определяет направление передачи тепловой энергии
от области с более высокой температурой к области с меньшей
температурой. Коэффициент ξ, выравнивающий размерности
физических величин в левой и правой части уравнения (4) и
зависящий от материала стержня, называется коэффициентом теплопроводности.
Зависимость от времени свидетельствует о диффузионном,
а не радиационном характере процесса.
Рассмотрим эту задачу в приближении времени релак-
сации, которое определяется вероятностью фонон-фононного
столкновения за время dt:
W = dt/τ,
(5.5)
причем τ имеет смысл среднего времени между столкновениями. Длина свободного пробега фонона при средней скорости
ν равна
λ = ντ.
(5.6)
Через единичное сечение S с произвольно выбранной ко-
ординатой x
последнее столкновения в точке с координатой (x
слева направо пройдут фононы, испытавшие
0
λ), спра-
0 –
ва налево – испытавшие столкновения в точке с координатой
+ λ). Предполагается, что энергия E фонона после столкно-
(x
0
вения определяется только температурой в точке столкновения, а не его предысторией:
E(x) = E[T(x)].
(5.7)
В силу изотропности материала после каждого столкнове-
ния половина фононов двигается влево, половина – вправо.
Таким образом, при концентрации фононов n через площад-
44
TE2
2
TE2
2
TE2
2
TE2
2
Рис. 5.2. Схема расчета решеточной теплопроводности
ку S за единицу времени слева направо передается разность
энергий (теплота), численно равная потоку
= nv{E[T(x – λ)] – E[T(x + λ)]}.
J
q
(5.8)
Учитывая, что изменение температуры на расстоянии λ
очень мало, и раскладывая энергию E(x) вблизи точки x
0
в
ряд, где роль dx играет λ, получим закон Фурье и конкретное
выражение для коэффициента теплопроводности:
= –nv2τ(
J
q
ξ = nv
) grad(T)
2
τ(
).
(5.9)
Для перехода к трехмерному случаю следует учесть, что в
рассмотренной одномерной задаче в качестве скорости v фактически выступала составляющая скорости фонона по одной
из координатных осей (v
2
ния скорости v
= 1/3v
) и что квадрат абсолютного значе-
x
2
. Если твердое тело изотропно, то коэф-
x
фициент теплопроводности равен
поскольку n(
2
τ (
ξ = 1/3nv
) = 1/3λvc,
) – удельная решеточная теплоемкость (заме-
(5.10)
тим, что мы рассматриваем только акустические фононы).
Для теплопроводности твердых диэлектриков выражение
(5.10) впервые использовал Дебай.
Рассмотренная модель носит достаточно общий характер и
может быть применена для описания в приближении времени
релаксации некоторых других явлений переноса: электронной
теплопроводности металлов, электропроводности металлов,
термоэдс. Фононы в этих случаях заменяются электронами.
Фактически это модель соответствует элементарной кинетической теории газов.
45
Температурная зависимость теплопроводности определя-
ется температурной зависимостью физических характеристик
в формуле (5.10).
В области высоких температур (значительно выше темпе-
ратуры Дебая) возрастает концентрация фононов (пропорционально температуре T) и соответственно уменьшается
время между столкновениями τ и длина свободного пробега
λ. Например, для NaCl при повышении температуры от минус 100
о
С до 0оС λ падает от 1000 нм до 230 нм [3]. Удельная
теплоемкость в соответствии с законом Дюлонга-Пти не изменяется с температурой, поэтому теплопроводность спадает с
ростом температуры (рис. 5.3).
При температурах существенно ниже температуры Дебая
возбуждаются только низкочастотные фононы, с частотами
(k) << ωД и волновыми векторами k << kД . После столкнове-
ω
s
ния фононов их суммарная энергия также мала по сравнению
, а суммарный квазиимпульс по-прежнему мал по срав-
с ћ ω
Д
нению с k
. Последнее возможно только в том случае, если
Д
эти вектора не выходят за пределы первой зоны Бриллюэна,
*
то есть вектор обратной решетки T
в уравнении (5.3) равен
нулю. Такие процессы называются нормальными в противо-
положность процессампереброса. При процессах переброса
*
вектор T
+ T
отличен от нуля, и результирующий вектор (k1 + k2
*
) направлен в сторону, противоположную векторам k1 и k2
(относительно направления потока фононов, рис. 5.4). Можно
показать, что без процессов переброса решеточная теплоемкость была бы бесконечно велика.
Поясним роль процессов переброса в решеточной теплопроводности. Для конечной теплопроводности недостаточно
иметь механизм, ограничивающий длину свободного пробега
фононов, необходим механизм установления теплового равновесия в разных точках образца. При нормальных процессах сохраняется полный импульс системы фононов, импульс
их потока от «горячего» конца стержня, и теплопроводность
бесконечно велика. Для возникновения теплосопротивления
необходимо, чтобы в процессах столкновения фононов сильно
менялся их импульс, и появлялись фононы с импульсом, направленным против движения потока.
Резкое уменьшение с понижением температуры числа фононов, способных участвовать в процессах переброса, приводит к резкому увеличению длины их свободного пробега. На
этом фоне становится существенным другой механизм рассе-
46
Рис. 5.3. Теплопроводность кристаллов LiF разного размера [2]
Рис. 5.4. Сложение волновых векторов k
и k
1
2
в плоской обратной решетке
яния фононов – на дефектах кристаллической решетки и на
свободной поверхности. Одновременно при низких темпера-
турах начинает проявляться эффект уменьшения решеточной
теплоемкости. В итоге температурная зависимость решеточ-
ной теплопроводности имеет сложный характер (рис. 5.3).
47
Контрольные вопросы
1. На рис. 5.3 приведены данные по температурной
зависимости теплопроводности кристаллов разных
размеров. Объясните природу масштабного фактора.
а – с уменьшением размеров кристалла уменьшается ско-
рость упругих колебаний;
б – теплоемкость кристаллов при низких температурах за-
висит от их размеров;
в – при низких температурах средняя длина свободного
пробега фононов существенно зависит от их рассеяния на поверхности.
2. На рис. 5.4 дана первая зона Бриллюэна в квадратной плоской решетке (узлы обратной решетки отмечены точками) и приведен вариант столкновения двух
фононов с рождением одного фонона. Какому процессу
соответствует это столкновение – процессу переброса
или нормальному процессу?
а – нормальному процессу;
б – процессу переброса.
3. Что можно сказать о частоте ω
фонона 3 из задачи
3
№ 2, если частоты фононов 1 и 2 равны соответственно
и ω
1
2
а – ω
б – ω
в – ω
?
3
3
3
= ω1 – ω2;
= ω1 + ω2;
= 1/2(ω1 + ω2).
ω
48
6. Тепловое расширение твердых тел
Тепловое расширение кристаллов – одно из проявлений
ангармонизма их тепловых колебаний, конкретнее – асимметрии кривой зависимости потенциальной энергии U взаимодействия атомов (молекул) от расстояния x между ними.
Для парного взаимодействия вид этой кривой изображен на
рис. 6.1. Левая (до точки x
твует превалированию сил отталкивания, правая, более пологая, – сил притяжения, которые меняются с расстоянием
между атомами медленнее, чем силы отталкивания. При небольших (по сравнению с x
несимметричную кривую всегда можно представить в виде
симметричной параболы:
) и более крутая ее часть соответс-
0
) амплитудах тепловых колебаний
0
U(x) = U
+ γ/2(x – x0)2,
0
(6.1)
где γ (упругость атомной связи) – положительная величина.
Сила F, действующая на атом, при этом равна
F = –γ(x – x
).
0
(6.2)
Это справедливо для любой кривой с минимумом. В потенциальной яме любой конфигурации малые колебания являются гармоническими, и среднее значение х равно x
.
0
С повышением температуры увеличивается кинетическая
энергия и амплитуда тепловых колебаний атомов, но среднее
расстояние между двумя атомами не меняется. Тепловое расширение при этом отсутствует, коэффициент теплового расширения α = 0. Однако при значительном увеличении температуры асимметрией кривой пренебрегать уже нельзя. Атом
дольше пребывает на правой пологой «стенке», чем на левой,
и среднее положение равновесия смещается вправо: среднее
межатомное расстояние увеличивается. Учет в формуле для
энергии U(x) следующих членов разложения – кубичного и
четвертой степени по (x – x
) – дает тепловое расширение с
0
постоянным коэффициентом α (см. ниже).
Рассчитаем коэффициент теплового расширения для
парного взаимодействия (рис. 6.1), причем для упрощения
формул будем отсчитывать величину x от x
жим x
= 0. По определению среднего
0
, то есть поло-
0
49
(6.3)
()
exp
()
exp
U
х
xdx
kT
x
Uх
dx
kT
+∞
−∞
+∞
−∞
−
〈〉=
−
∫
∫
3
3
0
16U
g
x
∂
=−
∂
4
4
0
124U
f
x
∂
=−
∂
34 34
ББ
exp1
gx fx gx fx
kT kT
−− +
−≅+
В гармоническом приближении получаем (учитывая, что
не зависит от x и соответствующая константа входит и в
U
0
числитель и в знаменатель), что в числителе подынтегральное выражение представляет собой нечетную функцию. Таким образом, числитель и соответственно <x> равны нулю.
Теплового расширения не наблюдается.
Найдем среднее значение x из общей формулы (6.3), подставив в качестве U выражение, учитывающее ангармоничес-
кие члены третьего и четвертого порядка:
U = U
+ γx2 – gx3 – fx4,
0
где
Величина U
, как и в предыдущем расчете, роли не игра-
0
ет.
Поскольку ангармонические члены существенно меньше,
чем k
50
T, экспоненту разложим в ряд:
Б
Рис. 6.1. Зависимость энергии U(1) и взаимодействия F(2)
двух атомов от расстояния. Пунктир – гармоническое приближение
;
(6.4)
.
(6.5)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]