Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика твердого тела. Часть 2. Динамика кристаллической решетки. Тепловые свойства решетки
.pdf
Контрольные вопросы:
1. В кристалле из атомов А энергия образования ва-
кансии в 1,5 раза больше, чем в кристалле из атомов
В, и его температура 300 К; температура кристалла В –
200 К. Что можно сказать про концентрацию вакансий
в А и в В?
а – они равны;
б – концентрация вакансий в А больше;
в – концентрация вакансий в В больше.
2. Почему вязкость жидкости с повышением темпе-
ратуры уменьшается?
а – увеличивается концентрация вакансий;
б – увеличивается вероятность перескока атома в соседнюю
вакансию;
в – увеличивается концентрация вакансий и увеличивается вероятность перескока атома в соседнюю вакансию.
3. Можно ли утверждать, что экспериментально ус-
тановленный ЗАКОН ПАСКАЛЯ для жидкости доказы-
вает полную релаксацию напряжений сдвига при равновесии?
а – да;
б – нет.
11
2. Динамика кристаллической решетки.
|| ||...
u
u
uu
uu
uuu
uuu
uuuu
2
1
6
1
24
1
,,, ,,,
n
n
nm
nm
nmk
nmk
nmknmn
nmkl
nmkl
00
2
0
3
0
4
2
2
22
2
222
2
2222
2
UU
UU UU
=+ ++ ++
////
uuu
uuu
uuuu
uuuu
6
1
24
1
,,, ,,,
nmk
nmk
nmknmn
nmkl
nmkl
nmkl
3
0
4
0
222
2
2222
2
////
Дисперсия упругих волн в одномерной решетке
Для конденсированных систем характерно сильное взаимо-
действие между атомами. В случае химических сил взаимодействия весь кристалл представляет собой как бы гигантскую молекулу, так что любое возмущение, возникшее в каком-нибудь его
участке, распространяется, вообще говоря, по всему кристаллу.
Соответственно, колебания любого атома передаются его соседям,
и тепловое движение в кристалле описывается не как независимые колебания атомов, а как распространение в нем упругих волн
различной частоты. Весь кристалл «дышит и трепещет», а тепловое движение отдельного атома складывается из случайного наложения множества проходящих волн и напоминает биения.
Из механики известно, что если система с большим числом
степеней свободы совершает малые колебания около положений равновесия, то можно ввести так называемые нормаль-
ные координаты: такие обобщенные координаты, каждая
из которых меняется во времени независимо от остальных
по гармоническому закону. Энергия колебаний системы при
этом равна сумме независимых энергий нормальныхколе-
баний. Гамильтониан складывается из суммы гамильтонианов (их число равно числу степеней свободы), причем каждый гамильтониан соответствует линейному гармоническому
осциллятору. Существенная особенность нормальных колебаний в кристалле – это трансляционная симметрия среды,
резко снижающая порядок уравнений.
Сильное взаимодействие между атомами твердого тела
(большая энергия взаимодействия по сравнению со средней
кинетической энергией тепловых колебаний) означает малость амплитуд их колебаний по сравнению с межатомными
расстояниями. В таком случае энергия Ф устойчивого кристалла всегда может быть разложена в ряд Тейлора по смещениям атомов из положения равновесия:
(2.1)
где Ф0 – минимальная потенциальная энергия одномерного
кристалла, когда все атомы находятся на своих местах, крис-
12
таллическая решетка «заморожена»; un и um – смещения ато-
|| ||...
u
u
uu
uu
uuu
uuu
uuuu
2
1
6
1
24
1
,,, ,,,
n
n
nm
nm
nmk
nmk
nmknmn
nmkl
nmkl
00
2
0
3
0
4
2
2
22
2
222
2
2222
2
UU
UU UU
=+ ++ ++
////
мов с номерами n и m. Безразмерным параметром малости
фактически является отношение u
/a, где a – среднее расстоя-
n
ние между соседними атомами. Непосредственно из соотношения (2.1) это не очевидно, конкретный вид зависимости Ф(u
n
содержит этот параметр в явном виде.
Ограничение ряда (2.1) тремя первыми членами называется гармоническимприближением:
)
...
(2.2)
Эта модель приводит к гармоническим, но связанным колебаниям атомов. Координаты отдельных атомов не являются
нормальными координатами, и их энергия меняется во времени как случайная величина. Напомним, что в классическом
приближении скорости отдельных атомов в твердом теле и
жидкости подчиняются распределению Максвелла.
Так как в гармоническом приближении смещения от волн
разной частоты в решетке просто складываются, то отдельный
атом «пляшет», как пляшет поплавок на поверхности морской
гавани под влиянием случайного сложения волн от пароходов, катеров, упавших предметов и прочего.
Гармоническое приближение в динамике решетки позволяет описать и рассчитать многие его свойства вплоть до
плавления. Однако в некоторых случаях ангармонизм колебаний атомов является основным в том или ином эффекте
(тепловое расширение, теплопроводность решетки, отклонение теплопроводности твердого тела от ЗАКОНА ДЮЛОНГАПТИ при высоких температурах), и в разложении в ряд энергии кристалла по смещениям атомов необходимо учитывать
члены следующих порядков.
Второе (и более принципиальное) приближение при рассмотрении динамики решетки – адиабатическоеприбли-
жение. При рассмотрении колебаний атомов, вообще говоря,
следовало бы учесть всю совокупность координат составляющих атомы частиц: ядер, внутренних и валентных электронов. Тем самым задача неизмеримо бы усложнилась. Однако
малая инерционность электронов по сравнению с тяжелым
ядром позволяет предполагать, что они быстро «приспосабливаются» к смещению ядра и что в каждый момент времени
их состояние можно описать функцией, зависящей только от
координат ядер в данный момент. Это известное адиабатичес-
13
кое приближение Борна-Оппенгеймера, позволяющее в даль-
|
uu
O
OO
nm
nm nm
2
0
22
2
==
-
t
tt
нейшем рассматривать энергию колебаний решетки только
как функцию смещения ядер.
Наконец, мы не будем рассматривать нулевые колебания,
о
не позволяющие даже при 0
К жестко зафиксировать одновре-
менно координаты и импульсы атомов.
Знание спектра упругих колебаний решетки существенно
для рассмотрения многих принципиальных свойств и эффектов в твердом теле: теплоемкости, тепло- и электросопротивления, теплового расширения, инфракрасного поглощения, плавления, сверхпроводимости, влияния теплового расширения на
характер рентгенограмм и т.д. Особое значение приобретает
взаимодействие упругих колебаний решетки с электронами в
современных полупроводниковых материалах, определяя эксплуатационные и функциональные особенности электронных
и оптоэлектронных устройств. Мы ограничимся рассмотрением
основных классических характеристик решетки.
Вначале мы рассмотрим самый простой объект – одномер-
ный кристалл (цепочку одинаковых атомов) и самый простой тип колебаний – одномерный.
Для определенности остановимся на продольных колеба-
ниях по оси X (рис. 2.1), впоследствии все рассуждения можно
применить к поперечным смещениям атомов.
Примитивная модель упростит понимание физической
сути рассматриваемых явлений, и переход к реальной трехмерной решетке создаст меньше затруднений.
Итак, рассмотрим число N одинаковых атомов массой m,
расположенных друг от друга на расстоянии a по оси X, вдоль
которой они могут колебаться (рис. 2.1). Перенумеруем атомы
и обозначим через u
смещение атома номер n из его положе-
n
ния равновесия. Координата атома номер n равняется na, а
направление оси Х определяет знак отклонений u
и знак со-
n
ответствующих сил, действующих на атом.
Заметим, что в силу периодичности кристаллической ре-
шетки
(2.3)
зависит только от разности (n – m), то есть только от взаимного
расположения n-го и m-го атома. Это означает, что энергия
кристалла меняется одинаково при соответствующих смещениях, например, 13-го и 63-го атомов или 52-го и 102-го, или
14
1209-го и 1259-го. Именно это соображение позволит получить
mu F
u
O
Ou Ou
nn
n
nm mnmm
2
2
==-=-=-
-
p
t
tt
mu Ou Ou
nnnn nmm
=- -
-
p
tt
mn!
решение в общем виде, не конкретизируя тип кристаллической решетки.
Уравнение движения для любого n-го атома имеет вид:
(2.4)
где: F
– сила, действующая на атом номер n со стороны всех
n
остальных атомов, или
для
(2.5)
Первый член в правой части (2.5) соответствует независимому гармоническому колебанию n-го атома. Наличие второго
члена демонстрирует принципиальную зависимость его колебаний от смещений всех остальных атомов.
Мы получили систему N «зацепляющихся» уравнений (2.4),
в каждом из которых неизвестная функция времени u
зана со всеми остальными u
(t). Чтобы обойти возникающие
m
(t) свя-
n
при этом серьезные трудности, проведем предварительный
анализ задачи.
В курсе математической физики рассматривается уравнение колебаний струны, то есть сплошной среды:
u = u
e
0
i(ωt + kx)
,
(2.6)
для которой закон дисперсии (зависимость частоты ω от модуля волнового вектора k, который в одномерном случае, как
и координата x, характеризуется алгебраической величиной,
положительной или отрицательной) имеет вид:
k,
ω = C
0
– скорость распространения упругих колебаний в струне.
где: C
0
(2.7)
В нашей задаче о колебаниях атомной дискретной цепочки, в отличие от задачи о струне, частота не должна оказаться
сколь угодно большой: это физически бессмысленно, так как
силы взаимодействия между атомами конечны. Следует ожидать «обрезания» частоты, скорее всего в виде плавного отклонения от закона (2.7) за счет какого-то иного закона дисперсии. Этого эффекта следует ожидать в области больших частот
и соответственно больших значений k >> 2π/a (то есть малых
длин волн, сопоставимых с a), где дискретность колеблющей-
15
ся системы принципиально отличает ее от сплошной струны.
().cosmOeOkajfka
()
ikaj
i
2
~
== =
~
tt
Вместе с тем в области длинных волн, с λ >> a , то есть в области малых k, решение для цепочки атомов должно совпадать с
решением для струны: длинноволновые колебания дискретности среды не чувствуют.
Опираясь на все эти предварительные рассуждения, поп-
робуем найти решение уравнений (2.5) в виде, аналогичном
формуле для смещений в колеблющейся струне:
= u0 e
u
n
i(ωt + kna)
,
(2.8)
где в роли координаты x естественно выступает na.
Фактически мы имеем нормальные колебания, то есть N
типов движения, в каждом из которых атомы колеблются с одной и той же частотой ω.
Подставив (2.8) в (2.5), получим:
mω
2
= Ф
n – m
ik(m – n)a
e
,
(2.9)
где суммирование идет уже по разности (m – n) = j, откуда
(2.10)
Правая часть (2.10), как итог суммирования по j, от j уже не
зависит, это некоторая функция k и a.
Таким образом, мы действительно правильно «угадали»
решение и «расцепили» уравнения (2.5), получив вместо N
уравнений единственное уравнение (2.10). Оно содержит ожидаемый закон дисперсии: каждому значению k соответствует
2
определенное значение частоты ω. При этом ω
(k) = ω2(–k), где
знак «–» означает, что волна бежит по атомной цепочке в противоположную сторону.
Рассмотрим частный случай уравнения (2.10), когда существенно только взаимодействие атома с его ближайшими соседями, то есть j = –1, 0, +1 (что соответствует смещению соседа
справа, смещению самого n-го атома и смещению его соседа
слева. Это так называемая модель близкодействия (атом-
ных сил).
Тогда
mω
16
2
= Ф(–1)cos(–ka) + Ф(0)cos(0) + Ф(1)cos(ka).
(2.11)
Очевидно, что в силу симметрии Ф(1) = Ф(–1). Кроме того,
()/|(/)|sinOm ka20 2$~
=
t
()
m
a
O
k
2
0
~
=
}
t
cm
()
.C
m
a
2
0
0
U
=
∑Ф(j) = 0, что можно показать следующими простыми рассуж-
дениями. Пусть смещения всех атомов равны постоянной ре-
шетки a. Тогда
Ф = Ф
+ 1/2a
0
2
∑Ф(j).
(2.12)
Но энергия кристалла не изменяется при переносе его в
пространстве на величину a, то есть Ф = Ф
∑Ф(j) = 0.
, откуда
0
(2.13)
Сравнение (2.12) и (2.13) дает:
Ф(1) = Ф(–1) = –1/2Ф(0)
и
2
= Ф(0)[1 – cos(ka)] = 2Ф(0)[sin(ka/2)]2,
mω
(2.14)
причем ω существенно положительная величина, поэтому из
двух решений квадратного уравнения (2.14) всегда выбираем
положительное:
(2.15)
Для малых значений ka (то есть для λ >> a)
(2.16)
и решение нашей задачи в области длинных волн, которые
«не чувствуют» дискретности атомной структуры, сшивается с
решением (2.7) задачи о колебаниях струны при
На рис. 2.2 узлы обратной одномерной решетки обозначены точками. Очевидна периодичность функции ω(k). В
этом состоит принципиальная особенность распространения коллективных возмущений в периодической структуре
по сравнению с колебаниями в сплошной среде (прямые 1
на рис. 2.2).
17
Рис. 2.2. Закон дисперсии для одномерного кристалла
(простая решетка)
Рис. 2.3. Схема физической эквивалентности колебаний
решетки с малыми и большими значениями k
На границах первой зоны Бриллюэна, то есть на первых
брэгговских плоскостях, которые для одномерного кристалла
представляют собой точки с координатами k = π/a и k = –π/a
(рис. 2.2), групповая скорость колебаний ∂ω/∂k равна нулю
что соответствует возникновению стоячих волн. При k = π/a и
k = –π/a длина волны λ = 2a. При таких длинах волн они испытывают дифракцию на собственной кристаллической решетке,
аналогично рентгеновскому излучению: вектора k проектируются на середину векторов трансляции обратной решетки
(формула Лауэ [1,4]), которые в данном случае совпадают с
векторами b и –b. Так как λ величина порядка 3 . 10
–8
см, то
значение ω лежит в инфракрасной области.
Закон дисперсии (2.15) можно получить, непосредственно
рассматривая приближение близкодействия.
В гармоническом приближении сила, действующая на
произвольно выбранный атом № n в цепочке со стороны соседа справа, пропорциональна изменению расстояния между ними, то есть разности смещений (u
– un). Со стороны
n+1
18
левого соседа действует сила, пропорциональная (u
– un).
n–1
В итоге:
..
mu
= γ (u
n
– un) + γ (u
n+1
– un) = γ (u
n–1
n+1
+ u
– 2un).
n–1
Заметим, что правильность знаков при смещениях можно
проверить, например, положив все смещения кроме одного
равными нулю и учитывая, что знак силы и смещений определяется направлением оси X.
После подстановки предполагаемого решения
i(ωt + kna)
= u
u
и сокращения правой и левой части уравнения на u
e
n
0
iωt
e
по-
0
лучаем
2
ika
= γ(e
–mω
= –2γ[1 – cos(ka)] = –4γ sin
–ika
+ e
– 2) = γ[2cos(ka) – 2] =
2
(ka/2),
ω = 2|sin(ka/2)|,
причем для ka << 1
ω = (a)k.
(2.15а)
В области малых ka полученный результат соответствует
закону дисперсии (2.7) для сплошной среды.
Определив закон дисперсии, следует из граничных условий найти допустимые значения k. Закон дисперсии ω(k)
представляет собой непрерывную функцию, допустимые значения k и ω(k) образуют набор N дискретных величин (число
степеней свободы равно N).
Число атомов в цепочке N >> 1. Для макроскопической сис-
темы граничные условия не играют принципиальной роли:
число атомов вблизи границы существенно меньше общего
числа атомов, и характер граничных условий сказывается на
пренебрежимо малой доле всех значений k. Обычно выбирают
граничные условия Борна-Кармана [3]. Конкретно для одномерного кристалла они заключаются в условии
u
= un
n
+ N
(2.17)
19
ikNa
Сопоставляя (2.17) и (2.8), получаем: e
= 1, то есть kNa = 2πp,
где p – любое целое число, в том числе нуль и отрицательное,
откуда допустимые значения волнового вектора k равны:
k = bp /N,
(2.18)
где: b = 2π/a – значение элементарного вектора трансляции b
в обратной (тоже одномерной) решетке.
Для трехмерного кристалла, размеры которого равны Na
x Na3 , содержащего таким образом N3 элементарных ячеек,
Na
2
1
x
граничные условия для вектора k можно записать по аналогии:
(2.18а)
– целые числа, j = 1, 2, 3.
где p
j
k = b
j pj
/N,
В силу периодичности решетки изменение k на вектор
*
трансляции обратной решетки T
дает физически неразличимые результаты. Эта периодичность прекрасно иллюстрируется рис. 2.2. Приведем схему Займана [4], иллюстрирующую физическую эквивалентность одномерных колебаний с малыми и
большими значениями k, отличающимися на вектор трансляции обратной решетки (рис. 2.3). Волна со значением k, выходящим за пределы первой зоны Бриллюэна, проходит сквозь
кристаллическую решетку, реализуясь лишь в тех местах, где
она «наталкивается» на атомы. В итоге атомы испытывают те
же смещения, что и от волны с меньшим значением k.
Итак, для одномерного кристалла все N значений k можно
задать в первой зоне Бриллюэна. Левой ее границе соответствует p = –N/2, правой p = +N/2.
Интервал Δk, приходящийся на каждое значение k, равен
Δk = 2π/aN = b/N = 2π/L,
(2.19)
где: b= 2π/a – значение вектора элементарной трансляции в
одномерной обратной решетке, L – длина одномерного кристалла. Чем больше N (или L = Na), тем меньше Δk и более
оправдан переход в конкретных расчетах от суммирования к
интегрированию. Для трехмерного кристалла
– объем кристалла.
где V
к
20
Δk = (2π)
3
/Vк,
(2.19а)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]