Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие по курсу «Математические и алгоритмические основы построения интеллектуальных систем». В 3 частях. Ч.1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

2.2. Регулярные графы

G33: G34:

G35:

G36:

G37:

Рис. 2.3. Примеры регулярных графов

На данном рисунке в графах G36 и G37 не отмечены ребра gej. Это сделано с целью улучшения качества визуального восприятия изображения графов. В табл. 2.2 представлены соответствия значений n и m для каждого из рассматриваемых графов. Для полных графов G33, G35, G36 и G37 величины m могут быть рассчитаны при помощи формулы (1.2).

Таблица 2.2

Количество вершин и ребер графов G33–G37

Регулярные графы, G33–G37

G33

G34

G35

G36

G37

Количество вершин графа G, n

3 4 4 5 6

Количество ребер графа G, m

3 4 6

Для проверки графов G33–G37 на регулярность проанализируем численные значения локальных степеней их вершин s (gvi) (табл. 2.3). Поскольку локальные степени вершин для каждого графа в отдельности совпадают, то можно сделать выводы о регулярности графов G33–G37.

Таблица 2.3

Значение локальных степеней вершин регулярных графов G33–G37

Регулярные графы, G33–G37

G33

G34

G35

G36

G37

Локальная степень вершины, s (gvi)

2 2 3 4 5

2. Виды графов

Регулярные графы иногда называют однородные графы или циркуляр-

ные графы. Рассмотрим применимость регулярных графов в задачах ин-

теллектуальных систем на примере. Предположим, требуется представить вычислительную систему (ВС) для определения структурных задержек при передаче информации между процессорными узлами системы. Для современных ВС характерна определенная унификация как в части вычислительных ресурсов, так и в отношении каналов связи. Для реализации вычислений в ВС, как правило, используются одинаковые процессорные узлы. Каналы связи между узлами обычно являются двунаправленными. Следовательно, графы, представляющие ВС тоже должны обладать определенной долей унификации. Так, в работах [14, 17] для решения поставленной задачи предложено использование регулярных графов.

Свойство планарности графа может иметь очень важное значение для

практических задач, например в задачах САПР при размещении элементов на плате и т. д.

2.3. Планарные и плоские графы

Планарный граф – это такой граф, который может быть размещен на

плоскости без пересечения ребер. Кроме планарных графов различают плоские графы. При этом плоский граф – это граф, который уже размещен на плоскости без пересечения ребер.

Говорят, что плоский граф определяет области, которые называются

гранями. Различают внутренние и внешние грани плоского графа. Внутренние грани графа образуются внутри замкнутого пространства из ребер, представляющих простой цикл. Внешней гранью называется оставшаяся неограниченная область.

На рис. 2.4 изображен неориентированный плоский граф G38, который

содержит множество граней F = {f1, f2, f3, f4}, где f1, f2, f3 – внутренние грани, а f4 – внешняя грань графа.

Для доказательства планарности графа можно воспользоваться теоре-

мой Эйлера.

Теорема 2.1. Для планарного графа выполняется равенство

n – m + f = 2, (2.2) где n – количество вершин; m – количество ребер; f – количество граней графа.

2.3. Планарные и плоские графы

G38:

Рис. 2.4. Неориентированный плоский граф G38

Существует понятие максимального планарного графа (МПГ). Граф

является максимально планарным, если при добавлении любого ребра он перестает быть планарным.

Воспользуемся уравнением (2.2) для доказательства планарности графа G38, для которого определены параметры: количество вершин n = 6, количество ребер m = 8, количество граней f = 4. Тогда, подставив параметры в (2.1), получаем верное равенство 6 – 8 + 4 =2.

Однако граф G38 не является МПГ, так как при добавлении еще одного ребра, он остается планарным, что проверяется уравнением (2.2). Например, на рис. 2.5 изображен граф G39, полученный путем добавления ребра к графу G38. Тогда параметры такого графа G39 принимают значения: n = 6, m = 9, f = 5. Проверяя уравнение Эйлера, получаем верное равенство 6 – 9 + 5 =2.

G39:

Рис. 2.5. Максимальный планарный граф G39

Однако при добавлении еще одного ребра в граф G39 мы получим граф G40 (рис. 2.6) с n = 6, m = 10, f = 6.

2. Виды графов

G40:

Рис. 2.6. Непланарный граф G40

Проверяя уравнение Эйлера, получаем верное равенство 6 – 10 + 6 ≠ 2.

Равенство (2.1) не выполняется, следовательно, граф G40 не является планарным.

Рассмотрим практическую задачу применения свойства планарности

графа в СТС. Будем полагать, что объектами СТС являются ряд агентов и центр управления агентами при помощи ультразвукового луча. В реальной модели такой системы на основе нечеткого графа G41 (рис. 2.7) вершинами будут представлены агенты и центр управления в соответствии с табл. 2.4.

G41:

Рис. 2.7. Нечеткий планарный граф G41, моделирующий работу СТС

Таблица 2.4

Соответствие объектов СТС вершинам графа G41

№

п/п

Вершины графа, gvi

Назначения вершин

в системе

Значения

весов вершин

графа, i

Интерпретация ве-

сов вершин графа

gv1–gv5

Агенты А1–А5



1-5

= 0,5

Степень значимости объекта

gv6

Центр управления ЦУ1



= 1

2.4. Деревья, эйлеров граф, гамильтонов граф

Тогда вершины gv1–gv5 представляют агентов А1–А5, а вершина gv6 – центр управления агентами ЦУ1. В качестве агентов СТС могут рассматриваться беспилотные летательные аппараты (БЛА). Вес каждой вершины i соответствует степени значимости объекта в СТС. Ребра графа G41 между вершинами gv1–gv5 соответствуют связям между агентами, а веса таких ребер – степени близости агентов. А ребра между вершиной gv6 и вершинами gv1–gv5 соответствуют лазерному или ультразвуковому лучу от ЦУ1 к агентам А1–А5. Для такой системы важное значение имеет задача обеспечения непересекаемости лучей. Тогда, если удается доказать, что моделируемый граф является планарным, можно считать, что задача решена.

Важное практическое значение в интеллектуальных системах имеет задача определения циклов или ацикличных участков в графе. Понятия цикла и простого цикла подробно рассмотрены в разд. 1. Ниже рассмотрим понятия дерева графа, эйлерова и гамильтонова циклов.

2.4. Деревья, эйлеров граф, гамильтонов граф

Деревом называется связный граф, не имеющий циклов. Дерево будем обозначать как G

дер

= (Gv

дер

, Ge

дер

). Если |Gv

дер

| = n

дер

, то G

дер

содержит

дер

– 1) ребер. В дереве различают начальную и конечную вершины.

Начальную вершину называют корнем дерева.

Очевидно, что в любом связном графе можно выделить хотя бы одно произвольное дерево G

дер

. При этом, если n

дер

≥ 2, то такое дерево G

дер

со-

держит две или более концевых вершин. Ребра, выходящие из корня дерева, называются ветвями. В любом дереве каждая пара вершин связана единственной цепью.

Теорема 2.2. Для связанного графа G

дер

, заданного множествами вер-

шин |Gv

дер

| = n

дер

и ребер Ge

дер

, верны утверждения:

• G

дер

– связный граф, не содержит циклов и имеет (n

дер

– 1) ребер;

• каждое ребро графа G

дер

является мостом;

• любые две вершины графа G

дер

соединены ровно одной простой це-

пью;

• при добавлении к графу G

дер

любого нового ребра получается ровно

один цикл.

Для решения практических задач наибольший интерес представляют

покрывающие деревья (ПД). Дерево называется покрывающим, если коли-

2. Виды графов

чество его вершин соответствует количеству вершин графа, из которого выделено это дерево. Иногда покрывающие деревья называют остовными деревьями.

Для неориентированного графа G34 на рис. 2.8 показаны все его по-

крывающие деревья.

G34:

Рис. 2.8. Связный граф G34 и выделенные в нем ПД

Определение эйлерова графа хорошо демонстрирует теорема Эйлера. Теорема 2.3. Связный неориентированный граф содержит эйлеров

цикл (эйлерову цепь) тогда и только тогда, когда число вершин нечетной степени равно 0 (или 2).

Эйлеров граф – это конечный связный граф G, в котором все вершины имеют четные локальные степени. Если в графе G имеется эйлеров цикл, то можно пройти подряд по всем его ребрам.

Полуйлеров граф – это такой граф G, в котором имеется незамкнутая цепь, проходящая через каждое ребро графа только один раз.

На рис. 2.9 рассмотрим несколько графов G42–G44. Для проверки на принадлежность графов к эйлеровым нас в первую очередь будут интересовать значения локальных степеней их вершин, которые представлены в табл. 2.5. Здесь видно, что в графе G44 все локальные степени вершин четны, в графе G43 локальные степени нечетны у двух вершин (gv3 и gv4), а в графе G42 локальные степени нечетны уже у четырех вершин (gv1–gv4).

Следовательно, согласно теореме 2.3, граф G42 не является эйлеровым. При этом граф G44 – эйлеров граф и содержит эйлеров цикл, прохо-

2.4. Деревья, эйлеров граф, гамильтонов граф

дящий через вершины в такой последовательности (gv1, gv6, gv2, gv5, gv1, gv2, gv3, gv4).

G42:

G43:

G44:

а б в

Рис. 2.9. Примеры графов G42–G44:

а – неэйлеров граф, б – полуэйлеров граф, в – эйлеров граф

Таблица 2.5

Значение локальных степеней вершин графов G42 – G44

Вершина графа, gvi

gv1

gv2

gv3

gv4

gv5

gv6

Локальная степень вершин в графе G42, s (gvi)

3 3 3 3 4 – Локальная степень вершин в графе G43, s (gvi)

4 4 3 3 4

Локальная степень вершин в графе G44, s (gvi)

4 4 2 2 2

В графе G43 эйлеров цикл формирует последовательность обхода

вершин (gv4, gv1, gv6, gv2, gv3, gv5, gv2, gv1, gv5, gv4, gv3). Учитывая, что в этом графе содержится две вершины с нечетными степенями, то такой граф является полуэйлеровым.

Гамильтонов граф – это граф, содержащий цикл, проходящий по всем вершинам графа G один раз. Граф G имеет гамильтонов цикл, если для любой его вершины выполняется условие

s (gvi) 







. (2.3)

Если воспользоваться формулой (2.3), то легко определить, что графы

G43 и G44 не содержат гамильтоновых циклов. В то же время граф G42 со-

2. Виды графов

держит гамильтонов цикл, который проходит через вершины в такой последовательности (gv1, gv2, gv3, gv5, gv4, gv1).

В данном разделе рассмотрены различные виды графов, показаны возможности их применения для решения реальных задач в интеллектуальных системах.

Рекомендации для проведения практического занятия № 2

Для проведения практического занятия рекомендуется краткий повтор теоретического материала лекции, а также выполнение ряда заданий. Если необходимо, преподаватель вместе со студентами разбирает выполнение несложных практических заданий, решение которых рассмотрено ниже, а затем студенты самостоятельно каждый отдельно выполняют аналогичные более сложные задания с последующим разбором на доске в аудитории, если это необходимо. Студенты, правильно выполнившие задание самостоятельно, поощряются дополнительными баллами за активную работу на практическом занятии. Всего за одно практическое занятие студент может получить до 2-х баллов.

Примеры выполнения практических заданий.

Задание 1. Докажите, что граф G является планарным:

Решение. Для доказательства планарности графа G можно воспользоваться теоремой Эйлера (см. уравнение 2.2): n – m + f = 2, где n – количество вершин, m – количество ребер, f – количество граней графа.

Для графа G определены параметры: количество вершин n = 6, количество ребер m = 8. Количество граней определяем вручную. Каждую внутреннюю грань образует простой цикл графа.

Определим простые циклы графа:

 Sg1 = (gv1, gv2, gv6);

Рекомендации для проведения практического занятия № 2

 Sg2 = (gv2, gv3, gv6);  Sg2 = (gv2, gv4, gv5, gv6).

Таким образом, в графе три внутренних грани (f2, f3, f4) и одна внешняя

грань f1. Получаем, что количество граней в графе G f = 4. Тогда, подставив параметры в (2.1), получаем верное равенство 6 – 8 + 4 = 2.

Следовательно, граф с заданными характеристиками является планар-

ным. Граф G станет плоским, если его изобразить следующим образом:

Задание 2. Задайте графически двудольный граф G (n1, n2) = (Gv1, Gv2,

Ge), для которого заданы параметры n1 = 2, n2 = 4, |Ge| = 6.

Решение. В соответствии с заданием первая доля графа G (n1, n2) содержит две вершины, а вторая доля – 4 вершины. Тогда дву- дольный граф примет вид

Задание 3. Для разработанного в задании 2 двудольного граф G (n1, n2) представьте в графическом виде полный двудольный граф и определите количество его ребер.

2. Виды графов

Решение. Для определения количества ребер в полном двудольном

графе m

дв.полн

используем формулу (2.1): m

дв.полн

= n1 · s1 (gvi), где n1 – коли-

чество вершин в одной доле графа и s1 (gvi) – локальная степень вершин из этой доли графа. Причем для полного двудольного графа не имеет значение по параметрам какой доли определяется количество ребер. Рассмотрим первую долю, здесь определено значение максимальной локальной степени вершины s1 (gvi) = 4. Подставив полученные значения в формулу (2.1), получим численное значение количества ребер в полном двудольном графе

G (n1, n2) m

дв.полн

(G) = 2 · 4 = 8.

Тогда полный двудольный граф примет вид

Задание 4. Задайте графически возможные регулярные графы с коли-

чеством вершин n = 5.

Решение. Регулярным графом называется граф с одинаковым значени-

ем локальных степеней вершин.

Поскольку количество вершин для графа принимает значение n = 5, то

локальные степени вершин могут принимать значения либо s (gvi) = 4, либо

s (gvi) = 2. Оба графа с такими характеристиками представлены ниже.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]