Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебное пособие по курсу «Математические и алгоритмические основы построения интеллектуальных систем». В 3 частях. Ч.1
.pdf
1.1. Понятие графа. Типы графов
11
шиной графа G4. Такая вершина, не имеющая инцидентных ребер, называется изолированной.
gv
1
gv
4
gv
3
gv
2
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
4
gv
1
gv
4
gv
3
gv
2
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
4
gv
1
gv
4
gv
3
gv
2
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
4
а
в
б
Рис. 1.2. Возможные пути между парой вершин gv1 и gv4 в графе G3
Другой пример несвязанного графа G5, заданного в соответствии с
(1.1) множеством вершин Gv5 = {gvi | i = 1, 2, …, 7} и множеством связей
Ge5 = {gej | j = 1, 2, …, 8} приведен на рис.1.3, б. Здесь нет изолированной
вершины, но отсутствует связь между некоторыми парами вершин, например (gv2, gv5), (gv1, gv7) и т. д.
Для определения связности графа введена специальная величина,
называемая компонентой связности графа.
Определение 1.3. Компонента связности графа, p0 (G) – это число несвязанных подмножеств вершин графа G.
Например, для графов G4 и G5 компоненты связности совпадают
p0 (G4) = p0 (G5) = 2.
Необходимость представления данных для анализа ряда отношений
между парой элементов обосновывает использование графов с кратными
ребрами (мультиграфы), имеющих своими концами одну и ту же пару вершин [9].
1. Основные понятия теории графов
12
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
3
gv
6
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
6
ge
4
ge
7
ge
8
gv
7
gv
1
gv
5
gv
4
gv
2
gv
3
gv
6
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
6
ge
4
ge
7
gv
7
ge
8
а б
Рис. 1.3. Примеры несвязанных графов: а – граф G4, б – граф G5
Определение 1.4. Мультиграфом называется граф G, если в нем име-
ется хотя бы одна пара вершин, соединяемых k ребрами (k > 1).
При этом максимальное значение k (k
max
) называется мультичислом
графа G. Ребра, соединяющие одну и туже пару вершин, называются кратными ребрами. Поясним на примере графа G6 (рис. 1.4, а). Здесь между
различными парами вершин присутствуют ребра в количестве от одного до
трех, поэтому для графа G6 k
max
= 3.
gv
1
gv
2
gv
4
gv
3
ge
3
ge
1
ge
7
ge
5
ge
6
ge
4
ge
2
ge
8
ge
10
ge
9
gv
1
gv
2
gv
4
gv
3
ge
3
ge
1
ge
7
ge
5
ge
6
ge
4
ge
2
ge
8
ge
10
ge
9
ge
11
а б
Рис. 1.4. Примеры мультиграфа G6 (а) и псевдографа G7 (б)
1.1. Понятие графа. Типы графов
13
Определение 1.5. Псевдографом называется мультиграф, допускаю-
щий наличие петель. Примером псевдографа является граф G7 (рис. 1.4, б).
Ориентированные графы 1.1.2.
Кроме неориентированных графов имеют место ориентированные
графы или орграфы. Как упоминалось ранее, в орграфах в качестве связей
используются только дуги (однонаправленные связи).
С практической точки зрения организационная система, заданная орграфом, может представлять однонаправленные отношения между субъектами, например отношения «влиять», «обучать» и т. д. Рассмотрим в качестве примера орграф G8 (рис. 1.5), заданный множеством вершин Gv8 =
= {gvi | i = 1, 2, …, 4} и множеством дуг Ge8 = {gej | j = 1, 2, …, 5}.
gv
1
gv
4
gv
3
gv
2
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
4
а б
gv
1
gv
4
gv
3
gv
2
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
4
Рис. 1.5. Орграф G8 (а), путь между вершинами gv1 и gv4 в графе G8 (б)
Если полагать, что здесь дуги gej соответствуют отношению «влиять»,
то единственный путь из вершины gv1 и в вершинуgv4 – Sg1 = (ge1, ge4)
можно интерпретировать фразой «Субъект 1 может оказать влияние на
субъекта 2, а тот в свою очередь – на субъекта 4».
Для орграфов понятие локальной степени вершин заменяется на два
понятия: полустепень исхода вершины и полустепень захода вершины.
Значение полустепени исхода (захода) вершины gvi в орграфе определяется
по количеству дуг, исходящих из вершины (входящих в вершину).
Например, для орграфа G8 полустепени исхода (захода) вершин определены в табл. 1.2, анализ которой позволяет сделать вывод, что в рассматриваемой системе наиболее влиятельным является субъект, соответствующий вершине gv4. Это связано с тем, что для этой вершины определено
максимальное значение полустепени исхода s-(gv4) = 2.
1. Основные понятия теории графов
14
Таблица 1.2
Значения полустепеней исхода (захода) вершин графа G8
Вершина графа, gvi
gv1
gv2
gv3
gv4
Полустепень исхода вершины, s-(gvi)
1 1 1 2 Полустепень захода вершины, s+(gvi)
2 1 1
1
Определение связности орграфа аналогично неориентированному
графу. На рис. 1.6, а изображен несвязанный орграф G9, заданный множеством вершин Gv9 = {gvi | i = 1, 2, …, 8} и множеством дуг Ge9 = {gej | j = 1,
2, …, 8}.
В таком орграфе выделены две независимые группы вершин:
1) gv1, gv2, gv3, gv4, gv8;
2) gv5, gv6, gv7.
gv
1
gv
5
gv
4
gv
3
ge
3
ge
1
ge
5
ge
6
ge
4
ge
2
gv
1
gv
2
gv
4
gv
3
ge
3
ge
1
ge
7
ge
5
ge
6
ge
4
ge
2
ge
8
gv
7
gv
6
gv
8
gv
2
ge
7
ge
8
а б
Рис. 1.6. Изображения несвязанного орграфа G9 (а)
и орграфа с кратными дугами G10 (б)
Если предположить, что дуги в этом орграфе соответствуют отношению «влиять», как и в предыдущем примере, то анализ значений полустепеней исхода (захода) вершин позволяют сделать вывод: в рассматриваемой организационной системе имеется два наиболее влиятельных субъекта,
представленных в графе вершинами gv3 и gv5, причем субъект (вершина
1.1. Понятие графа. Типы графов
15
gv5) оказывает значительное влияние на других субъектов, а сам при этом
не подвержен влиянию. Возможно, он является самодостаточной личностью.
На рис. 1.6, б изображен мультиграф G10, заданный множеством вер-
шин Gv10 = {gvi | i = 1, 2, …, 4} и множеством дуг Ge10 = {gej | j = 1, 2, …, 8},
для которого мультичисло k = 2.
Смешанные графы 1.1.3.
Графы, позволяющие сочетать ребра и дуги, называются смешанными
графами. С практической точки зрения смешанные графы позволяют представить одновременно однонаправленные и двунаправленные отношения в
системе.
Рассмотрим пример смешанного графа (рис. 1.7, а), который представ-
ляет организационную систему. Вершины графа из множества Gv11 =
= {gvi | i = 1, 2, …, 7} соответствуют субъектам системы, ребра ge1 – ge8 могут представлять двунаправленные информационные потоки между субъектами (отношение «общаться»), петля ge9 – отношение «рефлексировать»,
дуги ge10 и ge
11
– отношение «влиять».
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
3
gv
6
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
6
ge
4
ge
7
ge
8
gv
7
ge
9
ge
10
ge
10
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
3
gv
6
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
6
ge
4
ge
7
ge
8
gv
7
ge
9
ge
10
ge
10
а б
Рис. 1.7. Смешанные графы G11 (а) и G12 (б)
Количество инцидентных связей для всех вершин графа G11 представ-
лено в табл. 1.3.
1. Основные понятия теории графов
16
Таблица 1.3
Количество инцидентных связей вершин в графе G11
Вершина графа, gvi
Локальная степень
вершины, s (gvi)
Полустепень
исхода вершины,
s-(gvi)
Полустепень
захода вершины,
s+(gvi)
gv1 4 2 0 gv2 2 0 0 gv3 2 0 1 gv4 3 0 0 gv5
3 +1 (петля ge9)
0
0
gv6 2 0
1
gv7 0 0
0
Max / min значение
4/0
2/0
1/0
Анализ данной таблицы позволяет определить, что наиболее общительным и влиятельным субъектом системы является субъект, соответствующий вершине графа gv1 (s (gv1) = 4, s-(gv1) = 2), т. е. через такого
субъекта проходит наибольшее число информационных потоков и он оказывает влияние на максимальное количество субъектов.
Рассмотрим другой пример. Выделенный пунктирной линией на
рис. 1.7, б путь в графе G12, проходящий через вершины gv1, gv3, gv4, Sg12 =
= (ge2, ge5, ge1, ge9, ge10) можно интерпретировать фразой «В результате
общения субъектов 1, 2 и 3 и склонности первого субъекта к рефлексии
(самоанализу) он (субъект 1) способен влиять на субъекта 2».
В подразделах 1.1.1–1.1.3 были рассмотрены возможные виды графов
с однотипными связями и вершинами. Однако для решения большинства
практических задач в реальных системах возникает необходимость использования графов с разнотипными связями и разнотипными вершинами.
Графы с разнотипными связями 1.1.4.
Для представления разнотипных отношений в графе требуется
присутствие группы связей различных типов gvi – tp – gvj и gvi – tp gvj,
где tp – type. В работах [11, 12, 13, 14] предложены модели на основе гра-
1.1. Понятие графа. Типы графов
17
фов с разнотипными вершинами и разнотипными связями и обусловлено
их использование для решения практических задач в интеллектуальных системах.
Такие графы, заданные в соответствии с (1.1), допускают сочетание
однотипных и разнотипных связей.
На рис. 1.8 представлен смешанный граф G13 с учетом разнотипных
связей, которые наполнены разным смыслом. Множество типов ребер такого графа может быть представлено как Tp = {tp1, tp2, tp3, tp4, tp5, tp6}.
gv1
gv2 gv3
ge1/tp1 ge2/tp2
ge3/tp3
ge4/tp4
ge5/tp5
ge6/tp6
Рис. 1.8. Граф G13 с разнотипными связями
Покажем возможности использования графа G13 для представления
различных систем на двух примерах – сложной технической системы
(СТС) и организационной системы.
Рассмотрим СТС, моделирующую взаимодействие в системе охраны
мобильных роботизированных платформ на примере квадрокоптеров.
Предположим, что система состоит из квадрокоптеров и лица, принимающего решение (ЛПР). В качестве ЛПР будем рассматривать компьютер с
программным обеспечением, которое позволяет управлять работой квадрокоптеров. Информация между квадрокоптерами и ЛПР передается при помощи беспроводных сетевых технологий.
Все составляющие устройства СТС будем называть модули охраны
(МО1 – МО3). Тогда в данной СТС имеют место разнотипные отношения:
«управлять», «обмениваться информацией», «видеть», «двигаться», «определять», «вычислять».
Соответствие отношений и разнотипных связей в графе G13 показано
в табл. 1.4. Вершины графа представляют элементы СТС: gv1 – МО1;
gv2 – МО2; gv3 – МО3.
1. Основные понятия теории графов
18
Таблица 1.4
Соответствие отношений СТС связям графа G13
№
п/п
Тип отношения
в СТС
Направленность
отношения
Тип свя-
зи гра-
фа, tp
Ребра
графа,
gej
Дуги
графа,
gej
Петли
графа,
gej
1
«управлять»
однонаправленное
tp1 – ge1
–
2
«обмениваться
информацией»
двунаправленное
tp2
ge2 – –
3
«видеть»
двунаправленное
tp3
ge3 – –
4
«двигаться»
однонаправленное
tp4 – ge4
–
5
«определять»
однонаправленное
tp5 – –
ge5
6
«вычислять»
двунаправленное
tp6 – –
ge6
С учетом вышеизложенного граф G13 может быть представлен фразой
«Модуль МО1 управляет движением (tp1 – управлять) модуля МО2 благодаря возможности обмена информацией (tp2 – обмениваться информацией) с
модулем МО3, который способен вычислять траекторию движения
(tp6 – вычислять) и определять работоспособность модулей (tp5 – определять), при этом модуль МО2 может находиться в зоне видимости модуля
МО3 (tp3 – видеть) и перемещаться к нему (tp4 – двигаться)».
Теперь рассмотрим пример возможного взаимодействия пользователей
социальной сети в организационной системе. Между пользователями
(П1, П2, П3) существуют разнотипные отношения: «влиять», «быть знакомыми», «сотрудничать», «быть полезным», «самообразовываться», «быть
уверенным».
В графе G13 вершины gv1-gv3 – пользователи социальной сети П1 – П3.
Соответствие отношений в организационной системе и разнотипных связей
в графе G13 показано в табл. 1.5.
Таблица 1.5
Соответствие отношений в организационной системе и связей в графе G13
№
п/п
Тип отношения
в СТС
Направленность
отношения
Тип
связи
графа,
tp
Ребра
графа,
gej
Дуги
графа,
gej
Петли
графа,
gej
1
«влиять»
однонаправленное
tp1 – ge1 – 2
«быть знакомыми»
двунаправленное
tp2
ge2 – –
1.2. Способы представления графов
19
Окончание табл. 1.5
№
п/п
Тип отношения
в СТС
Направленность
отношения
Тип
связи
графа,
tp
Ребра
графа,
gej
Дуги
графа,
gej
Петли
графа,
gej
3
«сотрудничать»
двунаправленное
tp3
ge3 – –
4
«быть полезным»
однонаправленное
tp4 – ge4 – 5
«самообразовываться»
однонаправленное
tp5 – –
ge5
6
«быть уверенным»
двунаправленное
tp6 – –
ge6
Тогда граф G13 может быть представлен фразой «Пользователь социальной сети П1 благодаря знакомству с пользователем П3, который склонен
к самообразованию и уверен, что является общепризнанным авторитетом в
предметной области, может оказать влияние на принятие решения пользователем П2 по вопросу, полезному в совместной работе пользователей П3
и П2».
Отсюда можно сделать вывод о необходимости использования графов
с разнотипными связями для решения практических задач в интеллектуальных системах. Однако количество типов связей в реальных системах
может быть достаточно велико, что неминуемо влечет рост временных затрат на вычисления в таких графах, а соответственно и анализ данных для
системы.
Все это вынуждает исследователей искать возможности модификации
графовых моделей, способов хранения и обработки данных и т. д. Одно из
возможных решений модификации графовых моделей предложено в работе
[7]. Модификация графа выполняется за счет использования связей в виде
вектора, позволяющих объединить ряд разнотипных связей. Однако эти вопросы лежат за пределами настоящего учебного пособия.
1.2. Способы представления графов
Существует достаточно много способов представления графов, наиболее распространенные среди них:
- аналитический способ;
- графический способ;
- в виде матриц;
- в виде списков.
1. Основные понятия теории графов
20
Аналитический и графические способы представления графов уже
знакомы читателю, это формальная модель, заданная в соответствии с (1.1)
и графические рисунки, содержащие элементы графа (вершины и связи в
виде кругов и линий).
Для автоматической обработки графов необходимо использовать
представления, удобные для вычислений при помощи компьютерных
средств. К таким способам относятся матрицы и списки.
Матрицы, задающие граф, бывают двух видов: матрицы смежности
(Adjacency matrix) и матрицы инцидентности (Incidence matrix). Рассмотрим подробнее эти два способа.
Размерность матрицы смежности определяется количеством вершин
графа. Столбцы и строки матрицы смежности A соответствуют вершинам
графа, а элементы матрицы заполняются по правилу:
Для мультиграфов в качестве элементов матрицы смежности высту-
пают числа кратности связей.
Для неориентированного графа матрица смежности всегда симметрич-
на относительно диагонали, для орграфа – нет. Расположенные по диагонали элементы матрицы a
i,i
= 0, если граф не содержит петель и a
i,i
≠ 0, если
граф содержит петли. По сути матрица смежности неориентированного
графа может быть задана треугольной матрицей (например, выше диагонали).
Для изолированных вершин графа (вершин, не имеющих инцидентных
связей) элементы матрицы смежности всегда a
i,j
= 0.
Рассмотрим ряд примеров построения матрицы смежности для раз-
личных видов графов. Для неориентированного графа G14 матрица смежности A14 приведена на рис. 1.9.
В графе G14 имеется одна петля (на вершине gv5), поэтому располо-
женные по диагонали элементы матрицы смежности A14 a
i,i
= 0, кроме
a
5,5
= 1.
Полученная матрица смежности A14 симметрична относительно диаго-
нали. Это связано с тем, что связи неориентированного графа – двунаправленные.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]