Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебное пособие по курсу «Математические и алгоритмические основы построения интеллектуальных систем». В 3 частях. Ч.1
.pdf
1.5. Нечеткие графы
41
Окончание табл. 1.8
№
п/п
Тип отношения
в СТС
Типы
связей
графа, tp
Связи
графа,
gej
Значения
весов связей
графа, µj
Интерпретация весов
связей графа
5
«самообразовываться»
tp5
ge5
0,75
μ5 – мера достоверности
события
6
«быть уверенным»
tp6
ge6
0,8
μ6 – степень уверенности
Таблица 1.9
Соответствие субъектов системы вершинам нечеткого графа G13'
№ п/п
Вершины графа, gvi
Назначения вершин в системе
1
gv1
Пользователь П1
2
gv2
Пользователь П2
3
gv3
Пользователь П3
Определение 1.7. Нечеткий граф 2-го рода – это такой граф G'' = (Gv'',
Ge''), для которого Gv'' и Ge'' – нечеткие конечные множества вершин и
связей, соответственно. Весам вершины (i[0, 1]) и связи (μj[0, 1]) в графе может придаваться смысл меры достоверности или степени принадлежности нечеткому множеству.
С учетом определения 1.7 граф с разнотипными связями G13, приведенный в подразд. 1.1 на рис. 1.8, может быть представлен как нечеткий
граф 2-го рода G13''. Тогда в соответствии с интерпретациями весов вершин и связей данного графа для организационной системы (табл. 1.8,
табл. 1.10) и данных табл. 1.7 нечеткий граф 2-го рода G13'' может быть
представлен следующей фразой: «Малоизвестный пользователь социальной сети П1 (1) благодаря непродолжительному знакомству (μ2) с наиболее значимым пользователем П3 (3), который точно склонен к самообразованию (μ5) и потому полностью уверен (μ6), что является общепризнанным
авторитетом в предметной области, может оказать значительное влияние
(μ1) на принятие решения незнакомым пользователем П2 (2) по вопросу,
очень полезному (μ4) в напряженной совместной работе (μ3) пользовате-
лей П3 и П2».
1. Основные понятия теории графов
42
Таблица 1.10
Соответствие субъектов системы вершинам нечеткого графа G13''
№ п/п
Вершины
графа, gvi
Назначения вершин
в системе
Значения
весов вершин
графа, i
Интерпретация весов
вершин графа
1
gv1
Пользователь П1
0,3
Мера известности (значимости) пользователя
социальной сети
2
gv2
Пользователь П2
0,1
3
gv3
Пользователь П3
0,9
Подводя итоги сказанного выше, можно сделать выводы о целесооб-
разнос-ти использования нечетких графов с разнотипными связями для моделирования различных процессов в реальных системах, в том числе в интеллектуальных системах.
Рекомендации для проведения практического занятия № 1
Для проведения практического занятия рекомендуется краткий повтор
теоретического материала лекции, а также выполнение ряда заданий по
принципу от простого к сложному. Если необходимо, преподаватель вместе со студентами разбирает выполнение несложных практических заданий, решение которых рассмотрено ниже, а затем студенты самостоятельно
каждый отдельно выполняют аналогичные более сложные задания с последующим разбором на доске в аудитории, если это необходимо. Студенты,
правильно выполнившие задание самостоятельно, поощряются дополнительными баллами за активную работу на практическом занятии. Всего за
одно практическое занятие студент может получить до 2-х баллов.
Примеры выполнения практических заданий.
Задание 1. Для заданного неориентированного графа составьте матри-
цы смежности и инцидентности:
gv
1
gv
5
gv
3
gv
4
gv
2
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
4
ge
6
Рекомендации для проведения практического занятия № 1
43
Решение.
Матрица смежности:
Матрица инцидентности:
A =
gv1
gv2
gv3
gv4
gv5
gv1 0 1 1 1 1 gv2
1 0 1 0 0
gv3 1 1 1 0 0 gv4 1 0
0 0 0
gv5 1 0 0 0
0
I =
ge1
ge2
ge3
ge4
ge5
ge6
gv1 1 1 1 1 0 0
gv2 1 0 0 0 1 0
gv3 0 1 0 0 1 1
gv4 0 0 1 0 0 0
gv5 0 0 0 1 0 0
Задание 2. Для заданного ориентированного графа составьте матрицы
смежности и инцидентности, а также списки смежности и ребер:
gv
1
gv
5
gv
3
gv
4
gv
2
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
4
ge
6
Решение.
Списки ребер:
Le = (gv1 : gv2), (gv1 : gv4), (gv1 : gv5), (gv2 : gv3), (gv3 : gv1), (gv3 : gv3).
Списки смежности:
gv1:
gv2,
gv4,
gv5, La =
gv2:
gv3,
gv3:
gv2,
gv3.
Матрица смежности:
Матрица инцидентности:
A =
gv1
gv2
gv3
gv4
gv5
gv1 0 1 0 1 1 gv2
0 0 1 0 0
gv3 1 0 1 0 0 gv4 0 0
0 0 0
gv5 0 0 0 0
0
I =
ge1
ge2
ge3
ge4
ge5
ge6
gv1
+1
–1
+1
+1 0 0
gv2
–1 0 0 0 +1 0 gv3 0 +1 0 0
–1 1 gv4 0 0
–1 0 0
0
gv5 0 0 0 –1 0 0
1. Основные понятия теории графов
44
Задание 3. Для заданного смешанного графа составьте матрицы смеж-
ности и инцидентности, а также списки смежности и ребер:
gv
1
gv
5
gv
3
gv
4
gv
2
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
4
ge
6
Решение.
Списки смежности:
gv1:
gv2,
gv4,
gv5, gv2:
gv3,
La =
gv3:
gv2,
gv3,
gv4:
gv1,
gv5:
gv1.
Списки ребер: Le = (gv1 : gv2), (gv1 : gv4), (gv1 : gv5), (gv2 : gv3), (gv3 : gv1),
(gv3 : gv3), (gv4 : gv1), (gv5 : gv1).
Матрица смежности:
Матрица инцидентности:
A =
gv1
gv2
gv3
gv4
gv5
gv1 0 1 0 1 1 gv2
0 0 1 0 0
gv3 1 0 1 0 0 gv4 1 0
0 0 0
gv5 1 0 0 0
0
I =
ge1
ge2
ge3
ge4
ge5
ge6
gv1
+1
–1 1 1 0 0
gv2
–1 0 0 0 +1 0 gv3 0 +1 0 0
–1 1 gv4 0 0 1 0 0 0
gv5 0 0 0 1 0 0
Задание 4. Для заданного нечеткого графа 1-го рода составьте матри-
цы смежности и инцидентности, а также списки смежности и ребер:
gv
1
gv
5
gv
3
gv
4
gv
2
ge3/0.7
ge1/0.5
ge2/0.3
ge5/0.3
ge4/0.6
ge6/0.4
Задания для самостоятельной работы
45
Решение. Списки смежности:
gv1:
gv2/0.5,
gv4/0.7,
gv5/0.6,
gv2:
gv3/0.3,
La =
gv3:
gv2/0.3,
gv3/0.4,
gv4:
gv1/0.7, gv5:
gv1/0.6.
Списки ребер:
Le = (gv1 : gv2 /0.5), (gv1 : gv4 /0.7), (gv1 : gv5 /0.6), (gv2 : gv3 /0.3),
(gv3 : gv1 /0.3), (gv3 : gv3 /0.4), (gv4 : gv1 /0.7) , (gv5 : gv1 /0.6).
Матрица смежности:
A =
gv1
gv2
gv3
gv4
gv5
gv1 0 0.5 0 0.7
0.6
gv2
0 0 0.3 0 0
gv3
0.3
0
0.4
0
0
gv4
0.7 0 0 0 0
gv5
0.6 0 0
0
0
Матрица инцидентности:
I =
ge1
ge2
ge3
ge4
ge5
ge6
gv1
+0.5
–0.3
0.7
0.6 0 0
gv2
–0.5 0 0 0 +0.3
0
gv3 0 +0.3 0 0
–0.3
0.4
gv4 0 0
0.7 0 0
0
gv5 0 0 0 0.6 0 0
Задания для самостоятельной работы
Задание 6. Разработать модель локальной вычислительной сети (ЛВС)
на основе нечеткого графа 1-го рода с множественными разнотипными связями G'.
Задание 7. Задать разработанный в задании 6 граф G' списками смежности и ребер.
1. Основные понятия теории графов
46
Задание 8. Определить характеристики графа G':
локальные степени вершин,
полустепени исхода-захода вершин,
число компонент связности,
мультичисло графа.
Задание 9. Выделите в графе G':
путь (цепь),
простую цепь,
цикл,
простой цикл,
подграф с количеством вершин n = 3,
суграф с количеством связей m = 4.
Задание 10. Разработать модель организационной системы на основе
нечеткого графа 2-го рода с множественными разнотипными связями G''.
Задание 11. Задать разработанный в задании 6 граф G'' списками
смежности и ребер.
Задание 12. Определить характеристики графа G'':
локальные степени вершин,
полустепени исхода-захода вершин,
число компонент связности,
мультичисло графа.
Задания для контрольной работы № 7
Для проведения контрольной работы предполагается использовать
10 минут практического занятия. Контрольная работа оценивается максимально в 4 балла, каждый балл дается за четверть правильных и полных ответов на вопросы.
Перечень вопросов, выносимых на контрольную работу:
определение графа;
способы представления;
части и подграфы;
связность графов;
типы графов;
операции над графами;
нечеткие графы.
Вопросы для самоконтроля
47
Вопросы для самоконтроля
1. Задайте граф в виде формальной модели.
2. Классификация графов.
3. Поясните различие между взвешенным и нечетким графом.
4. Перечислите способы задания графов.
5. Задайте заданный граф в виде матричных структур.
6. Поясните особенности графов с множественными разнотипными
связями.
7. Для заданного графа определите путь и простой путь в графе.
8. Для заданного графа определите цикл и простой цикл в графе.
9. Дайте определение подграфа.
10. Дайте определение суграфа.
11. Поясните различия между подгафом и суграфом.
12. Дайте определение и приведите пример нуль-графа.
13. Дайте определение и приведите пример полного графа.
14. Определите количество ребер m в полном графе с количеством
вершин n = 10.
15. Перечислите основные операции над графами.
16. Поясните особенности операции дополнения графа.
17. Дайте определение нечеткого графа 1-го рода.
18. Дайте определение нечеткого графа 2-го рода.
19. Поясните разницу между нечеткими графами 1-го рода и 2-го рода.
20. Задайте модель интеллектуальной системы на основе нечеткого
графа.
48
2. ВИДЫ ГРАФОВ
В данном разделе будут рассмотрены аспекты применения в интеллек-
туальных системах графов различных видов, в том числе:
двудольные графы;
регулярные графы;
деревья;
эйлеров и гамильтонов графы;
плоские и планарные графы.
2.1. Двудольные графы
Для решения ряда задач в интеллектуальных системах важное значе-
ние имеет представление системы в виде двудольного графа.
Двудольный граф обозначается как G (n1, n2) = (Gv1, Gv2, Ge). Здесь
множество вершин визуально делится на две доли.
Двудольный граф – это граф, все вершины которого можно разбить на
два непересекающихся подмножества вершин Gv1 и Gv2 так, что всякая
связь соединяет вершину gviGv1 с вершиной gvjGv2. При этом выполняются условия: Gv1 ∩ Gv
2
= , Gv = Gv
1
∩ Gv2, а связи соединяют между со-
бой вершины только разных из подмножеств (Gv1 и Gv2).
Полный двудольный граф G
полн
(n1, n2) содержит все возможные связи
между вершинами разных долей.
Рассмотрим пример. Задан исходный граф G30 (рис. 2.1, а), для кото-
рого определены множества вершин Gv30 = {gvi | i = 1, 2, …, 5} и ребер
Ge30 = {gej | j = 1, 2, …, 5}. Причем вершины из множества Gv29 можно разбить на две непересекающиеся группы: gv1, gv2, gv3 и gv4, gv5. Таким образом, формируется двудольное представление графа G30 в виде графа G31
(рис. 2.1, б). Здесь видно, что вершины разделены на две доли (левая доля
содержит группу вершин gv1, gv2, gv3, а правая доля – вершины gv4, gv5).
Локальные степени вершин левой и правой доли графа G31 представ-
лены в табл. 2.1.
Для того чтобы двудольный граф был полным, локальные степени
всех вершин должны иметь максимальное значение из возможных. В данном примере для левой доли графа максимальное значение s
лев
(gvi) = 2, а
для правой доли – sпр (gvi) = 3. Если в двудольный граф G31 добавить одно
ребро ge6 между вершинами gv2 и gv5, то полученный двудольный граф
2.1. Двудольные графы
49
становится полным (рис. 2.2, а). Теперь локальные степени всех вершин
графа G32 принимают максимально возможные значения.
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
3
ge
1
ge
2
ge
3
ge
4
ge
5
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
3
ge
1
ge
2
ge
3
ge
4
ge
5
а б
Рис. 2.1. Исходный граф G30 (а) и его двудольное представление – граф G31 (б)
Таблица 2.1
Значение локальных степеней вершин двудольного графа G31
Левая доля графа
Правая доля графа
Вершина графа, gvi
gv1
gv2
gv3
gv4
gv5
Локальная степень вершины, s (gvi)
2 1 2 3 2
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
3
ge
1
ge
2
ge
3
ge
4
ge
5
ge
6
ge
6
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
3
ge
1
ge
2
ge
3
ge
4
ge
5
а б
Рис. 2.2. Полный двудольный граф G32 (а) и его другое изображение (б)
Для определения количества ребер в полном двудольном графе m
дв.полн
можно воспользоваться формулой:
m
дв.полн
= n1 · s1 (gvi), (2.1)
где n1 – количество вершин в одной доле графа и s1 (gvi) – локальная степень вершин из этой доли графа. Причем для полного двудольного графа
2. Виды графов
50
не имеет значения по параметрам какой доли определяется количество ребер.
С помощью формулы (2.1) можно определить количество ребер в лю-
бом полном неориентированном двудольном графе. Например, для графа,
заданного подмножествами вершин первой доли Gv1 = {gvi | i = 1, 2, …, 5} и
второй доли Gv2 = {gvj | j = 1, 2, 3}, очевидно, что локальные степени вершин примут значения s1 (gvi) = 3 и s2 (gvj) = 5. Тогда m
дв.полн
= 5 · 3 = 15, ес-
ли считать по первой доле. Если считать по второй доле, то получим то же
значение m
дв.полн
= 3 · 5 = 15.
Двудольный граф может быть изображен и по-другому (рис. 2.2, б). В
данном случае в качестве двудольного графа рассмотрен неориентированный граф. Следует отметить, что двудольные графы бывают и ориентированными, и смешанными. Авторы полагают, что для графов с разнотипными связями тоже можно использовать двудольное представление, однако,
этот вопрос лежит за пределами данного пособия.
Двудольные графы часто называют Кёниговыми по имени ученого.
Теорема Кёнига. Граф является двудольным тогда и только тогда, ко-
гда в нем нет циклов нечетной длины.
Кроме двудольных графов различают k-дольные графы по числу долей
k, на которые можно разделить множество вершин графа. Практическая
применимость двудольных и k-дольных графов весьма велика. Например,
для решения практических задач в организационных системах, если требуется определить сколько групп незнакомых или независимых субъектов
можно сформировать среди рассматриваемого контингента субъектов.
Также вызывает интерес применение регулярных графов в интеллек-
туальных системах.
2.2. Регулярные графы
Регулярный граф – это граф G, который содержит вершины с одинако-
выми значениями локальных степеней. То есть для регулярных графов обя-
зательно выполнение условия (gv
i
Gv, gvjGv | i≠j) s (gvi) = s (gvj), где
s (gvi) и s (gvj) – численные значения локальных степеней вершин gvi и gvj.
При этом регулярный граф не обязательно является полным. Примеры регулярных графов изображены на рис. 2.3. Здесь практически все изображенные графы являются полными, кроме G34.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]