Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебное пособие по курсу «Математические и алгоритмические основы построения интеллектуальных систем». В 3 частях. Ч.1
.pdf
1.3. Типы графов. Части и подграфы
31
Вычислить количество ребер m
пол
полного неориентированного графа
в зависимости от числа вершин n
пол
можно по формуле:
(1.2)
Поясним назначение формулы (1.2). Если граф G содержит n
пол
вер-
шин, то каждая вершина соединена с (n
пол
– 1) другими вершинами, следо-
вательно общее количество ребер будет n
пол
· (n
пол
– 1). Но, если учесть, что
каждое ребро двунаправленное, то мы посчитали каждое ребро дважды,
поэтому необходимо деление полученного общего количества ребер на два.
На рис. 1.23 предложены примеры нуль-графа G19 и полного графа
G20.
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
3
gv
6
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
3
ge
10
ge
1
ge
2
ge
3
ge
4
ge
5
ge
6
ge
7
ge
8
ge
9
а б
Рис. 1.23. Примеры нуль-графа G19 (а) и полного графа G20 (б)
Нуль-граф G19 задан множествами вершин Gv19 = {gvi | i = 1, 2, …, 6}
и ребер Ge
19
= , а полный граф G20 – множествами вершин Gv
20
=
= {gvi | i = 1, 2, …, 5} и ребер Ge20 = {gej | j = 1, 2, …, 10}. Видно, что каждая
пара вершин графа G20 соединена ребром. Рассчитать количество ребер
G20 можно, воспользовавшись формулой (1.2), тогда m (G20) = 10.
Очевидно, что для всех вершин полного неориентированного графа значения локальных степеней s (gvi) совпадают и принимают значение: s (gvi) =
= n
пол
– 1.
Значение возможности выявления полного графа для решения практических задач в интеллектуальных системах велико. Однако к конкретным
аспектам этого вопроса вернемся после знакомства с понятиями подграф,
суграф и т. д.
Еще одним видом графов является двойственный или смежностный
граф (dual graph). Граф Gd = (Ged, Gvd) является двойственным для графа
1. Основные понятия теории графов
32
G = (Gv, Ge). Будем полагать, что граф G содержит n вершин и m ребер.
Вершинами Gd являются ребра G, а ребрами Gd – пары (gei, gej). Следовательно, граф Gd состоит из m вершин.
Рассмотрим алгоритм построения двойственного графа на примере
графа G21 (рис. 1.24, а):
1) на каждом ребре графа помечают среднюю точку и считают ее вер-
шиной geiGed двойственного графа Gd (рис. 1.24, б). Таким образом, двойственный граф Gd будет иметь m вершин (в нашем случает m = 12), таким
образом, множество вершин графа Gd примет вид: Ged = {gej | j = 1, 2, …,
12};
2) затем пары (gei, gej) соединяют ребром, если ребра gei, gej инцидент-
ны какой-либо вершине gvk из графа G. В нашем примере вершине gv1 инцидентны ребра ge1 и ge9. Поэтому в двойственном графе G21d соединяем
вершины ge1 и ge9 ребром gv1;
3) продолжаем последовательно выполнять п. 2 алгоритма до тех пор,
пока не будет выполнено соединение всех пар (gei, gej). В результате получим следующий двойственный граф (рис. 1.25).
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
3
gv
6
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
6
ge
4
ge
7
ge
8
gv
7
ge
10
gv
8
ge
9
ge
11
ge
12
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
3
gv
6
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
6
ge
4
ge
7
ge
8
gv
7
ge
10
gv
8
ge
9
ge
11
ge
12
а б
Рис. 1.24. Исходный граф G21 (а) и граф G21 с помеченными точками (б)
Здесь, в графе граф G21d количество ребер gvk значительно больше,
чем вершин в исходном графе G21. Это связано с тем, что некоторые связи
дублируются, если одной вершине gvk исходного графа инцидентно несколько ребер.
1.3. Типы графов. Части и подграфы
33
ge
1
ge
4
ge
2
ge
3
gv
1
gv
2
gv
3
gv
4
ge
5
ge
6
ge
7
ge
8
ge
9
ge
10
ge
11
ge
12
gv
6
gv
5
gv
8
gv
7
gv
1
gv
2
gv
4
gv
3
gv
4
gv
3
gv
2
gv
1
gv
7
gv
8
gv
5
gv
6
Рис. 1.25. Двойственный граф G21d для исходного графа G21
Практическое применение смежностных (двойственных) графов может
быть обусловлено в решении ряда задач, в том числе при смене цели исследования реальных систем. Например, для графовой модели некоторой организационной системы, в которой вершины – субъекты, а ребра – отношения между субъектами была исходная цель исследовать какие субъекты
связаны отношениями. Затем цель меняется, требуется исследовать какие
отношения объединяют субъекты в группы. В таком случае возникает
необходимость поменять местами элементы системы, т. е. в узлах модели –
отношения, а связи между узлами (вершины графа) – субъекты.
Граф Gs1 = (Gvs1, Ges1) является подграфом G = (Gv, Ge), если выполняются следующие условия: Gvs1 Gv и Ges1 Ge и, при этом связи Ges1
соединяют только вершины Gvs1.
Рассмотрим в качестве примера граф G20 (рис. 1.26, а). Его подграф
G20s1 можно получить удалив, например вершину gv1 и инцидентные ей
1. Основные понятия теории графов
34
ребра ge3, ge4, ge7, ge10. В результате получается подграф G20s1, изображенный на рис. 1.26, б.
gv
1
gv
2
gv
4
gv
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
6
ge
8
ge
9
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
3
ge
10
ge
1
ge
2
ge
3
ge
4
ge
5
ge
6
ge
7
ge
8
ge
9
а б
Рис. 1.26. Исходный граф G20 (а) и его подграф G20s1
Суграфом графа G называется граф Gs2 = (Gvs2, Ges2), для которого вы-
полняются условия: Gvs2 = Gv и Ges2 Ge.
Таким образом, основное отличие суграфа от подграфа можно сфор-
мулировать так:
- в суграфе сохраняются все вершины исходного графа, а в подграфе
как минимум одна вершина исходного графа удаляется вместе с инцидентными ей связями;
- в подграфе остаются все связи исходного графа, кроме удаленных
вместе с вершиной, а в суграфе удаляется как минимум одна связь.
Далее рассмотрим некоторые операции над графами.
1.4. Операции над графами
К наиболее распространенным операциям над графами относятся опе-
рации объединения, пересечения и дополнения.
1. Объединением графов G1 = (Gv1, Ge1) и G2 = (Gv2, Ge2) называется
граф G = (Gv, Ge), если выполняются условия: Gv = Gv1 Gv2, Ge =
= Ge1 Ge2.
2. Пересечением графов G1 = (Gv1, Ge1) и G2 = (Gv2, Ge2) называется
граф G = (Gv, Ge), если выполняются условия: Gv = Gv1 ∩ Gv2, Ge =
= Ge1 ∩ Ge2.
3. Дополнением графа G = (Gv, Ge) до полного графа G
пол
= (Gv
пол
,
Ge
пол
) называется граф G
доп
= (Gv
доп
, Ge
доп
), который состоит из всех вер-
1.4. Операции над графами
35
шин графа G и всех ребер графа G
пол
, не принадлежащих G, т. е. одновре-
менно выполняются условия: Gv
доп
= Gv, ge
jдоп
Ge
пол
и ge
jдоп
Ge.
Поясним сказанное на примерах. На рис. 1.27, а изображены два исходных графа G23 и G24, у которых общими элементами являются две
вершины gv1, gv2 и одно ребро ge3.
gv
1
gv
4
gv
2
gv
3
gv
6
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
6
ge
4
ge
7
gv
7
ge
8
gv
1
gv
1
gv
4
gv
2
gv
3
gv
6
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
6
ge
4
ge
7
gv
7
ge
8
gv
2
ge
3
ge
9
ge
9
G23:
G24:
G25:
а
б
gv
1
gv
2
ge
3
G26:
gv
1
gv
4
gv
2
gv
3
G27:
ge
6
в
г
Рис. 1.27. Исходные графы G23 и G24 (а). Операции над графами:
объединение (б); пересечение (в); дополнение G23 до полного графа (г)
Поэтому эти элементы в объединенном графе сохраняются, но не дублируются. Результатом объединения этих двух графов является граф
G25 = G23 G24, который задан множествами вершин Gv25 = {gvi | i = 1,
2, …, 7} и ребер Ge25 = {gej | j = 1, 2, …, 9} (рис. 1.27, б).
В результате выполнения операции пересечения графов G23 и G24,
появляется граф G26 (рис. 1.27, в), состоящий из общих элементов двух ис-
1. Основные понятия теории графов
36
ходных графов G23 и G24. Граф G26 = G23 ∩ G24 задан множествами вершин Gv26 = {gvi | i = 1, 2} и ребер Ge26 = {ge1}.
Граф G27 = (Gv27, Ge27), полученный в результате выполнения опера-
ции дополнения графа G23 до полного графа G
пол
изображен на рис. 1.27, г.
Исходный граф G23 задан множествами вершин Gv23 = {gvi | i = 1,
2, …, 4} и ребер Ge23 = {gej | j = 1, 2, …, 5}, а полный граф G
пол
задан мно-
жеством вершин Gv
пол
= Gv23 и множеством ребер Ge
пол
= {gej | j = 1, 2, …,
6}. Отличия между сравниваемыми графами только по ребру ge6. Поэтому
полученный граф G27 включает множества Gv27 = Gv23 и Ge27 = {ge6}.
Кроме рассмотренных операций над графами известны операции сло-
жения и произведения графов, которые подробно рассмотрены в работе [9].
Для решения ряда задач в интеллектуальных системах важное значе-
ние имеет представление системы в виде двудольного графа, так называемое кёниговое представление. Двудольные графы подробно описаны в
разд. 2.1.
Все графы, рассмотренные в пособии до сих пор, не позволяли исполь-
зовать веса (весовые коэффициенты) в качестве атрибутов вершин и связей.
Ниже рассмотрим возможности взвешенных графов и, как частный случай,
нечетких графов.
1.5. Нечеткие графы
Все рассмотренные в предыдущих подразделах графы могут стать
взвешенными, если их элементам (вершинам и/или связям) придать в качестве атрибутов весовые коэффициенты. Максимальные и минимальные
значения весов принимаются в зависимости от принятой шкалы. Например,
если в качестве вершин графа G23 (рис. 1.28, а) рассматриваются города, а
в качестве связей – дороги между ними, то такой невзвешенный граф не
позволяет рассчитать длину пути между городами.
Для того чтобы представить модель системы из городов с учетом длины дорог между ними, используют взвешенный граф. Веса ребер взвешенного графа записываются прямо на ребрах или в отдельных таблицах. Если
полагать, что длина дороги между городами может соответствовать значению 0–100 км, то взвешенный граф будет выглядеть, как показано на
рис. 1.28, б в соответствии с табл. 1.6.
1.5. Нечеткие графы
37
gv
1
gv
4
gv
2
gv
3
ge
3
ge
1
ge
2
ge
5
ge
4
G23:
а б
gv
1
gv
4
gv
2
gv
3
65
G28:
57
45
90 35
в
gv
1
gv
4
gv
2
gv
3
0,65
G29':
0,57
0,45
0,9 0,35
Рис. 1.28. Невзвешенный граф G23 (а),
взвешенный граф G28 (б), нечеткий граф G29' (в)
Таблица 1.6
Значение весов ребер графов G28 и G29'
Ребро графа, gej
Значение веса ребра gej
в графе G28
Значение веса ребра gej
в графе G29', μj
ge1
57
0,57
ge2
90
0,9
ge3
65
0,65
ge4
45
0,45
ge5
35
0,35
Таким образом, расстояния между городами легко вычислить при по-
мощи весов ребер. Например, расстояние между городами (вершины gv2 и
gv3) можно рассчитать, сложив веса ребер в маршрутах Sg1 = (ge3, ge2),
Sg2 = (ge4, ge5). Тогда Sg1 = 90 + 65 = 155, Sg2 = 45 + 35 = 80. Для взвешен-
ных графов веса связей содержатся в матрицах или списках, их задающих.
1. Основные понятия теории графов
38
Например, матрицы смежности и инцидентности взвешенного графа
G28 примут вид, как показано на рис. 1.29.
A28 =
gv1
gv2
gv3
gv4
gv1 0 65
90
57
gv2
65 0 0
45
gv3
90 0 0
35
gv4
57
35
45
0
I
28
=
ge1
ge2
ge3
ge4
ge5
gv1
57
90
65 0 0
gv2 0 0
65
45 0 gv3 0 90 0 0
35
gv4
57 0 0
45
35
а) б)
Рис. 1.29. Представление взвешенного графа G28:
матрицей смежности (а) и матрицей инцидентности (б)
Однако такой подход накладывает определенные ограничения. Для
различных систем во взвешенных графах шкалы весовых коэффициентов
будут различаться. Для решения этой проблемы в теории графов предложено использование нечетких графов, заданных нечеткими множествами
вершин и/или связей.
В ряде работ, в том числе в работах [21, 36] различают нечеткие графы
1-го рода и 2-го рода.
Определение 1.6. Нечеткий граф 1-го рода – это граф G' = (Gv', Ge'),
если Gv' – четкое конечное множество вершин и Ge' – нечеткое конечное
множество связей. Весу связи (μj[0, 1]) в графе может придаваться смысл
меры достоверности или степени принадлежности нечеткому множеству.
Степени присутствуют в списках или матрицах, задающих граф. Они могут
определяться экспертом или вычисляться посредством фаззификации [18].
Для решения поставленной задачи предложен нечеткий граф G29'
(рис. 1.28, в), для которого в табл. 1.6 приведено соответствие весов и ребер. Матрицы смежности и инцидентности нечеткого графа G29' примут
вид, как показано на рис. 1.30.
Для оценки весов ребер текущего и последующих нечетких графов и
других нечетких моделей введено вербальное описание (табл. 1.7), в соответствии с которой веса всех ребер графа G29' можно оценить так: слабому
показателю соответствуют вес μ5 = 0,35, к умеренному показателю относятся веса μ1 = 0,57, μ3 = 0,65 и μ4 = 0,45, к сильному показателю – вес
μ2 = 0,9. Тогда с точки зрения моделируемой системы эти показатели мож-
1.5. Нечеткие графы
39
но интерпретировать следующим образом: расстояние между некоторыми
городами небольшое, среднее или большое.
A29 =
gv1
gv2
gv3
gv4
gv1 0 0,65
0,90
0,57
gv2
0,65 0 0
0,45
gv3
0,90 0 0
0,35
gv4
0,57
0,35
0,45
0
I
29
=
ge1
ge2
ge3
ge4
ge5
gv1
0,57
0,90
0,65 0 0
gv2 0 0
0,65
0,45 0 gv3 0 0,90 0 0
0,35
gv4
0,57 0 0
0,45
0,35
а б
Рис. 1.30. Представление нечеткого графа G29':
матрицей смежности (а) и матрицей инцидентности (б)
Таблица 1.7
Оценка значения показателя весов вершин и ребер нечеткого графа
Возможное вербальное описание показателя
Диапазон численных значений весов
Отсутствует
0
Слабый показатель
[0,1; 0,4]
Умеренный показатель
[0,41; 0,7]
Сильный показатель
[0,71; 1,0]
Для оценки весов ребер текущего и последующих нечетких графов и
других нечетких моделей введено вербальное описание (табл. 1.7), в соответствии с которой веса всех ребер графа G29' можно оценить так: слабому
показателю соответствуют вес μ5 = 0,35, к умеренному показателю относятся веса μ1 = 0,57, μ3 = 0,65 и μ4 = 0,45, к сильному показателю – вес
μ2 = 0,9. Тогда с точки зрения моделируемой системы эти показатели можно интерпретировать следующим образом: расстояние между некоторыми
городами небольшое, среднее или большое.
Тогда могут быть получены значения путей Sg1 = (ge3, ge2), Sg2 = (ge4,
ge5), которые примут вид: Sg1 = 0,9 + 0,65 = 1,55, Sg2 = 0,45 + 0,35 = 0,8.
Для нечеткого графа G29' с однотипными ребрами список смежности
имеет вид:
gv1:
gv2/0,65,
gv3/0,9,
gv4/0,57,
gv2:
gv1/0,65,
gv4/0,45,
La29 =
gv3:
gv1/0,9,
gv4/0,35,
gv4:
gv1/0,57,
gv2/0,45,
gv3/0,35.
1. Основные понятия теории графов
40
А списки ребер нечеткого графа G29' могут быть представлены в форме: Le15 = (gv1 : gv2 /0,65), (gv1 : gv3 /0,9), (gv1 : gv4 /0,57), (gv2 : gv1 /0,65),
(gv2 : gv4 /0,45), (gv3 : gv1 /0,9), (gv3 : gv4 /0,35), (gv4 : gv1 /0,57), (gv4 : gv2 /0,45),
(gv4 : gv3 /0,35).
Здесь использованы записи типа «gvi: gvk /μj» или (gvi : gvk /μj), что
соответствует информации: голова списка – вершина gvi, хвост списка –
вершина gvk, а вес ребра, соединяющего эту пару вершин, принимает значение μj.
При помощи нечетких множеств могут быть заданы не только неориентированные графы, но и графы различных типов, в том числе орграфы,
смешанные графы с однотипными и разнотипными связями. Далее рассмотрим возможность применения нечетких графов в интеллектуальных
системах.
В подразд. 1.1 на рис. 1.8 приведен граф с разнотипными связями G13.
Показана возможность применения такой модели в организационных и
сложных технических системах. С учетом интерпретации весов вершин и
связей данного графа для организационной системы (табл. 1.8, табл. 1.9) и
данных табл. 1.7 нечеткий граф 1-го рода G13' может быть представлен
следующей фразой: «Пользователь социальной сети П1 благодаря непро-
должительному знакомству (μ2) с пользователем П3, который точно скло-
нен к самообразованию (μ5) и потому полностью уверен (μ6), что является
общепризнанным авторитетом в предметной области, может оказать зна-
чительное влияние (μ1) на принятие решения пользователем П2 по вопросу, очень полезному (μ4) в напряженной совместной работе (μ3) пользователей П3 и П2».
Таблица 1.8
Соответствие отношений системы связям нечетких графов G13' и G13''
№
п/п
Тип отношения
в СТС
Типы
связей
графа, tp
Связи
графа,
gej
Значения
весов связей
графа, µj
Интерпретация весов
связей графа
1
«влиять»
tp1
ge1
0,9
μ1 – сила влияния
2
«быть знакомыми»
tp2
ge2
0,5
μ2 – продолжительность
знакомства
3
«сотрудничать»
tp3
ge3
0,95
μ3 – интенсивность
сотрудничества
4
«быть полезным»
tp4
ge4
0,85
μ4 – мера пользы
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]