Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебное пособие по курсу «Математические и алгоритмические основы построения интеллектуальных систем». В 3 частях. Ч.1
.pdf
5.1. Определения и типы гиперграфов
101
содержат множества вершин: he1 = {gv1, gv2, gv3}, he2 = {gv2, gv3, gv7, gv8},
he3 = {gv4, gv*5, gv6, gv7}. При этом только гиперребро he3 включает в себя
вершину с особым статусом gv*5, а значит, нарушается ориентированность
гиперграфа. Следовательно, такой гиперграф считается смешанным;
he
1
gv
2
gv
4
he
3
he
2
gv
3
gv
6
H4:
gv*
1
gv*
7
gv*
5
ge
2
ge
1
ge
3
he
1
gv
2
gv
4
gv
7
he
3
he
2
gv
3
gv
6
H3:
gv*
5
gv
1
gv
8
а б
Рис. 5.3. Смешанные гиперграфы H3 (а) и H4 (б)
2) гиперграф H принято называть смешанным, если внутри гиперребер
имеют место связи между вершинами. Таким образом, происходит интеграция графа в гиперграф.
В этом случае смешанный гиперграф формально может быть задан:
H = (Gv, Ge, He), (5.2)
где Gv – множество вершин гиперграфа; Ge – множество ребер между вершинами гиперграфа; He – множество гиперребер.
Рассмотрим в качестве примера гиперграф H4 (рис. 5.3, б), заданный
множеством вершин Gv4 = {gv*1, gv2, gv3, gv4, gv*5, gv6, gv*7}, множеством
связей Ge4 = {ge1, ge2, ge3} и множеством гиперребер He4 = {he1, he2, he3},
где каждое гиперребро содержит по одной вершине с особым статусом,
кроме обычных вершин: he1 = {gv*1, gv2, gv3}, he2 = {gv2, gv3, gv7, gv*8} и
he3 = {gv4, gv*5, gv6, gv7}.
Однако отношение к особой вершине gv*5 со стороны других вершин
подмножества вершин he3 выражается в виде дуг ge1 и ge2, при этом между
вершинами gv4 и gv6 тоже существует ребро ge3, представляющее какое-то
отношение между элементами системы, которая моделируется гиперграфом H4.
5. Гиперграфы
102
Если смешанный гиперграф H4 представляет организационную систе-
му, в которую входит ряд субъектов, то субъекты в такой системе будут
представлены вершинами gvi, группы субъектов – гиперребрами hee, а лидеры групп – вершинами с особым статусом gv*1, gv*5, gv*8. Однако для
субъектов, представленных вершинами gv4, gv*5, gv6, определены отношения «сотрудничать» (ребро ge3) и «зависеть» (дуги ge1 и ge2).
Развитие таких гиперграфов получило в ряде работ [3, 22, 26, 35, 38],
где обосновано применение на практике различных гиперграфовых моделей, допускающих интеграцию графов и гиперграфов. Ниже рассмотрим
формальное описание модели нечеткого гиперграфа с множественными и
разнотипными связями возможности ее практического использования для
решения задач в интеллектуальных системах.
Нечеткие гиперграфы 5.1.4.
Нечеткий гиперграф допускает использование весовых коэффициен-
тов для вершин ( [0,1]) и/или всех типов связи (μ [0,1]). Различают
нечеткие гиперграфы 1-го и 2-го рода.
Определение 5.1. Нечеткий гиперграф 1-го рода H' – такой гиперграф,
который задан конечным четким множеством вершин и конечными нечеткими множествами связей.
Определение 5.2. Нечеткий гиперграф 2-го рода H'' – такой гиперграф,
который задан конечными нечеткими множествами вершин и связей.
Например, если неориентированный гиперграф H1 (см. рис. 5.1) является нечетким гиперграфом 1-го рода H1', то для организационной системы
вес гиперребра μj может соответствовать уровню группы по размерности.
Тогда веса гиперребер могут быть распределены в зависимости от мощностей подмножеств вершин (μ1 = 0,3, μ2 = 0,4, μ3 = 0,4).
В случае, если неориентированный гиперграф H1 (см. рис. 5.1) является нечетким гиперграфом 2-го рода H1'', то для организационной системы
вес вершины i может соответствовать степени значимости субъекта в
группе, а вес гиперребра μj – уровню группы по размерности. Так, если в
каждой группе веса всех вершин соответствуют примерно одинаковому
значению, например i = 0,5, а веса гиперребер μ1 = 0,3, μ2 = 0,4, μ3 = 0,4
(по мощности подмножеств вершин), то очевидно, что такой гиперграф является неориентированным.
5.2. Представление гиперграфов
103
Ориентированным гиперграф H1 станет, если в нем появятся вершины
с особым статусом, а в нашем случае – лидеры групп в организационной
системе.
Например, гиперграф с весами гиперребер μ1 = 0,3, μ2 = 0,4, μ3 = 0,4 и
весами вершин 1 = 5 = 8 = 0,8, 2 = 3 = 4 = 6 = 7 = 0,3 может соответствовать нечеткому ориентированному гиперграфу 2-го рода H2''.
Рассмотрим формальное описание нечеткого гиперграфа:
H'' = (Gvʹʹ, Geʹʹ, Heʹʹ), (5.3)
заданного нечеткими множествами. Здесь Gvʹʹ = {gvi | i = 1, 2, …, n} – множество вершин гиперграфа; Geʹʹ = {gej | j = 1, 2, …, m} – множество разнотипных связей гиперграфа, соединяющих пары вершин; Heʹʹ = {hee | e = 1,
2, …, f} – множество гиперребер.
Нечеткий гиперграф, заданный в соответствии с (5.3), позволяет инте-
грировать граф с множественными и разнотипными связями между вершинами. Очевидно, что применение на практике таких гиперграфов наиболее
предпочтительно ввиду широких возможностей, которые предоставляет
модель. Однако возникают проблемы представления таких гиперграфов.
5.2. Представление гиперграфов
Для представления неориентированных гиперграфов традиционно ис-
пользуют матрицы инцидентности или списки. В строках матрицы инцидентности отмечаются вершины, а в столбцах – гиперребра. Так, например,
для неориентированного гиперграфа H1 матрица инцидентности примет
вид, как показано на рис. 5.4.
Матрица инцидентности I1 может быть интерпретирована следующим
образом – гиперребра содержат множества вершин: he1 = {gv1, gv2, gv3},
he2 = {gv2, gv3, gv7, gv8}, he3 = {gv4, gv5, gv6, gv7}.
Для гиперграфа H1 список смежности имеет следующий вид:
he1:
gv1,
gv2,
gv3, La1 =
he2:
gv2,
gv3,
gv7,
gv8, he3:
gv4,
gv5,
gv6,
gv7.
В форме представления списков запись «hej : gvi» означает, что гипер-
ребро hej содержит вершину gvi.
Если гиперграф H1 является нечетким гиперграфом 2-го рода H1'' и
его элементам назначены веса: веса вершин одинаковы i = 0.5, а веса ги-
5. Гиперграфы
104
перребер μ1 = 0.3, μ2 = 0.4, μ3 = 0.7, то матрица инцидентности может принять вид (рис. 5.5).
he
1
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
7
gv
8
he
3
he
2
gv
3
gv
6
H1:
I1 =
he1
he2
he3
gv1 1 0
0
gv2 1 1 0 gv3 1 1 0 gv4 0 0 1 gv5 0 0
1
gv6 0 0
1
gv7 0 1
1
gv8 0 1
0
Рис. 5.4. Представление неориентированного гиперграфа H1 матрицей инцидентности
I1 =
he1
he2
he3
gv1
0.3 0 0
gv2
0.3
0.4
0
gv3
0.3
0.4
0
gv4 0 0
0.7
gv5 0 0
0.7
gv6 0 0
0.7
gv7 0 0.4
0.7
gv8 0 0.4
0
Рис. 5.5. Представление нечеткого гиперграфа H1'' матрицей инцидентности
Для нечеткого неориентированного гиперграфа H1'' с учетом весов его
элементов список смежности может иметь следующий вид:
he1 (0.3):
gv1 (0.5),
gv2 (0.5),
gv3 (0.5),
La1 =
he2 (0.4):
gv2 (0.5),
gv3 (0.5),
gv7 (0.5),
gv8 (0.5),
he3 (0.7):
gv4 (0.5),
gv5 (0.5),
gv6 (0.5),
gv7 (0.5).
5.2. Представление гиперграфов
105
Ориентированный гиперграф H2 представлен матрицей инцидентно-
сти, как показано на рис. 5.7, или в виде списка смежности:
he1:
gv*1,
gv2,
gv3,
La2 =
he2:
gv2,
gv3,
gv7,
gv*8,
he3:
gv4,
gv*5,
gv6,
gv7.
Если данный гиперграф является нечетким гиперграфом 2-го рода с
весами вершин 1 = 5 = 8 = 0.8, 2 = 3 = 4 = 6 = 7 = 0.3 и весами гиперребер μ1 = 0.3, μ2 = 0.4, μ3 = 0.5, то его матрица инцидентности примет
вид (рис. 5.7).
he
1
gv
2
gv
4
gv
7
he
3
he
2
gv
3
gv
6
H2:
gv*
1
gv*
8
gv*
5
I2 =
he1
he2
he3
gv*1 1 0
0
gv2 1 1
0
gv3 1 1 0 gv4 0 0
1
gv*5 0 0
1
gv6 0 0 1 gv7 0 1 1 gv*8 0 1
0
Рис. 5.6. Представление оргиперграфа H2 матрицей инцидентности
В случае использования смешанного гиперграфа, который позволяет
учесть связи между вершинами, очевидны затруднения в формировании
матрицы инцидентности.
В литературных источниках не найдены готовые решения, однако
можно предложить следующий метод. Поскольку элементами смешанного
гиперграфа являются вершины, гиперребра и связи между вершинами, то в
строках матрицы помещаются вершины, а в столбцах – гиперребра и связи
между вершинами. Тогда матрица инцидентности для смешанного гиперграфа H4 примет вид, как показано на рис. 5.8.
Предположим, гиперграф H4 является нечетким гиперграфом 2-го рода H4'', и веса его элементов представлены следующим образом:
веса вершин gv1–gv7: 1 = 5 = 7 = 0.8, 2 = 3 = 4 = 6 = 0.3;
веса гиперребер he1–he3: μ1 = 0.3, μ2 = 0.4, μ3 = 0.3;
веса связей между вершинами ge1, ge2, ge3: μ4 = 0.6, μ5 = 0.8, μ6 = 0.5.
5. Гиперграфы
106
I2 =
he1
he2
he3
gv*1
0.3 0 0
gv2
0.3
0.4
0
gv3
0.3
0.4
0
gv4 0 0
0.5
gv*5 0 0
0.5
gv6 0 0
0.5
gv7 0 0.4
0.5
gv*8 0 0.4
0
Рис. 5.7. Матрица инцидентности нечеткого оргиперграфа H2''
he
1
gv
2
gv
4
he
3
he
2
gv
3
gv
6
gv*
1
gv*
7
gv*
5
ge
2
ge
1
ge
3
I4 =
he1
he2
he3
ge1
ge2
ge3
gv*1 1 0 0 0 0 0
gv2 1 1 0 0 0 0
gv3 1 1 0 0 0 0
gv4 0 0 1 +1 0 1
gv*5 0 0 1 –1
–1 0 gv6 0 0 1 0
+1 1 gv7 0 1 1 0 0 0
gv*8 0 1 0 0 0 0
Рис. 5.8. Смешанный гиперграф H4 и его матрица инцидентности
Тогда нечеткий смешанный гиперграф H4'' будет представлен матри-
цей инцидентности, как показано на рис. 5.9.
I4 =
he1
he2
he3
ge1
ge2
ge3
gv*1
0.3 0 0 0 0
0
gv2
0.3
0.4 0 0 0 0
gv3
0.3
0.4 0 0 0 0
gv4 0 0
0.3
+0.6 0 0.5
gv*5 0 0
0.3
–0.6
–0.8 0 gv6 0 0
0.3 0 +0.8
0.5
gv7 0 0.4
0.3 0 0
0
gv*8 0 0.4 0 0 0 0
Рис. 5.9. Матрица инцидентности нечеткого смешанного гиперграфа H4''
Рекомендации для проведения практического занятия № 5
107
В следующем разделе рассмотрены примеры использования нечетких
графов с множественными разнотипными связями для решения практических задач в интеллектуальных системах.
Рекомендации для проведения практического занятия № 5
Для проведения практического занятия рекомендуется краткий повтор
теоретического материала лекции, а также выполнение ряда заданий по
принципу от простого к сложному. Если необходимо, преподаватель вместе со студентами разбирает выполнение несложных практических заданий, решение которых рассмотрено ниже, а затем студенты самостоятельно
каждый отдельно выполняют аналогичные более сложные задания с последующим разбором на доске в аудитории, если это необходимо. Студенты,
правильно выполнившие задание самостоятельно, поощряются дополнительными баллами за активную работу на практическом занятии. Всего за
одно практическое занятие студент может получить до 2-х баллов.
Примеры выполнения практических заданий.
Задание 1. Задайте неориентированный гиперграф H5 в виде матричной и списковой структур:
he
1
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
7
gv
8
he
2
gv
3
gv
6
H5:
Матрица инцидентности:
I5 =
he1
he2
gv1 1 0
gv2 1 1
gv3 1 1
gv4 0 1
gv5 0 1
gv6 0 1
gv7 0 1
gv8 0 0
Матрица инцидентности I5 может быть интерпретирована следующим
образом – гиперребра содержат множества вершин: he1 = {gv1, gv2, gv3},
he2 = {gv2, gv3, gv4, gv5, gv6, gv7}.
При этом вершина gv8 не входит ни в одно гиперребро (gv
8
).
Для гиперграфа H5 список смежности имеет следующий вид:
5. Гиперграфы
108
he1:
gv1,
gv2,
gv3,
La5 =
he2:
gv2,
gv3,
gv4,
gv5,
gv6,
gv7.
:
gv8.
Задание 2. Задайте смешанный гиперграф H6 в виде матрицы инци-
дентности.
he
1
gv
1
gv
2
gv
4
gv
5
gv
7
gv
8
he
2
gv
3
gv
6
H6:
ge
1
ge
2
ge
3
Матрица инцидентности:
I6 =
he1
he2
ge1
ge2
ge3
gv*1 1 0 0 0
0
gv2 1 1
+1
–1
0
gv3 1 1 0 0 0 gv4 0 1
–1 0 1
gv5 0 1 0 0
0
gv6 0 1 0 0
0
gv7 0 1 0 +1
1
gv8 0 0 0 0
0
Задания для самостоятельной работы
Задание 3. Задайте нечеткий неориентированный гиперграф 1-го рода.
Задание 4. Задайте нечеткий неориентированный гиперграф 2-го рода.
Задание 5. Задайте нечеткий смешанный гиперграф 1-го рода.
Задание 6. Задайте нечеткий смешанный гиперграф 2-го рода.
Задание 7. Разработайте модель системы на основе нечеткого гипер-
графа.
Задания для контрольной работы № 11
Для проведения контрольной работы предполагается использовать
10 минут практического занятия. Контрольная работа оценивается максимально в 4 балла, каждый балл дается за четверть правильных и полных ответов на вопросы.
Перечень вопросов, выносимых на контрольную работу:
гиперграфы: определения, типы;
представление гиперграфов;
Вопросы для самоконтроля
109
модели предметных областей, использование в интеллектуальных
системах.
Вопросы для самоконтроля
1. Назовите основное отличие гиперграфа от графа.
2. Назовите способы представления гиперграфа для компьютерной об-
работки.
3. Дайте определение неориентированного гиперграфа.
4. Задайте неориентированный гиперграф в виде списковой структуры.
5. Задайте неориентированный гиперграф в формальном виде.
6. Задайте неориентированный гиперграф в матричном виде.
7. Задайте неориентированный гиперграф в виде списковой структуры.
8. Приведите пример применения неориентированного гиперграфа для
представления интеллектуальной системы.
9. Дайте определение оргиперграфа.
10. Приведите пример применения оргиперграфа для представления
интеллектуальной системы.
11. Задайте оргиперграф в виде списковой структуры.
12. Задайте оргиперграф в матричном виде.
13. Приведите пример применения оргиперграфа для представления
интеллектуальной системы.
14. Поясните особенности смешанного гиперграфа.
15. Опишите в формальном виде смешанный гиперграф.
16. Задайте смешанный гиперграф в виде списковой структуры.
17. Продемонстрируйте пример модели интеллектуальной системы на
основе нечеткого смешанного гиперграфа.
18. Назовите способы представления смешанного гиперграфа для ком-
пьютерной обработки.
19. Поясните понятие нечеткого гиперграфа.
20. Приведите формальное описание нечеткого смешанного гипергра-
фа.
110
6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГРАФЫ В ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ
СИСТЕМАХ
В этом разделе рассмотрим возможности применения моделей на ос-
нове нечетких графов с множественными разнотипными связями в интеллектуальных системах на примере ряда практических задач.
Для всех нечетких моделей, рассмотренных в данном разделе, исполь-
зуется оценка значений показателей весов вершин и связей нечетких графов и гиперграфов (табл. 6.1).
Таблица 6.1
Оценка значений показателей весов вершин и связей нечетких моделей
Возможное вербальное описание
показателя
Диапазон численных
значений весов
Отсутствует
0
Слабый показатель
[0,1; 0,4]
Умеренный показатель
[0,41; 0,7]
Сильный показатель
[0,71; 1,0]
6.1. Разработка модели взаимодействия элементов СТС на основе
нечетких графов с множественными разнотипными связями
В работах [7, 34, 38] рассмотрен ряд моделей на основе нечетких гра-
фов 2-го рода с множественными разнотипными связями. Такие модели
предназначены для представления объектов СТС на примере системы
охраны.
Будем полагать, что система охраны протяженного периметра включа-
ет следующие элементы:
стационарные и подвижные объекты охраны (ОО);
необитаемые интеллектуальные взаимодействующие мобильные
роботизированные платформы (НИВМРП), предназначенные для сбора
данных об объектах охраны – модули охраны (МО);
компьютер (лицо, принимающее решение – ЛПР), обрабатывающий
информацию о состоянии объектов охраны и возможных проникновениях
на территорию;
потенциальные нарушители охраняемого периметра (ПН).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]