Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Управленческие решения. Учебно-методическое пособие
.pdf
3.3. Принятие решений вусловиях неопределенности
ab
ii
))aa
()
db
Наилучшей альтернативой при рассматриваемом подходе считает-
ся та, которая дает максимальное значение показателю ci.
o
cc
Функция выбора:
== +-maxmax ((
ответствует альтернативе
i
i
oo o
Ac A
«
i
, где
1
O
A
. Значение
– оптимальная альтер-
c
o
со-
натива.
Принцип Гурвица удобен тем, что можно рассмотреть выбор оптимальных альтернатив при различных значениях уровня оптимизма. Это позволяет исследовать альтернативы на устойчивость к изменению уровня оптимизма. В этом случае часто в качестве наилучшей
выбирают альтернативу, наименее чувствительную к изменению α,
т. е. остающуюся оптимальной в наибольшем диапазоне изменения
уровня оптимизма.
Принцип Сэвиджа, как и принцип Вальда, является принципом
крайнего пессимизма, но в нем используется матрица условных потерь.
В этом случае также по матрице ожидаемого дохода, общий вид которой представлен в виде табл. 3.1, необходимо построить матрицу условных потерь (см. табл. 3.2), но без строки с вероятностями состояний природы.
Исходим из того, что каждому нашему выбору альтернативы будет
сопутствовать самый неблагоприятный вариант состояния природы,
т. е. тот вариант, который даст максимально возможные для выбранной альтернативы условные потери. В соответствии с таким подходом
будем оценивать каждую альтернативу максимальным уровнем условных потерь, возможных при реализации этой альтернативы (обозначим этот уровень символом di для альтернативы Аi) —
(максимальный элемент в строке альтернативы A
). Выбор альтер-
i
= max
i
ij
j
нативы осуществим с помощью матрицы условных потерь с добавленным столбцом оценок альтернатив по принципу Сэвиджа (di)
(табл. 3.10).
Таблица 3.10
Пример матрицы условных потерь — принцип Сэвиджа
A S
А
1
А
2
1
b
11
b
21
S
2
b
12
b
22
… S
… b
… b
… … … … … …
А
m
b
m1
b
m2
… b
mn
n
1n
2n
a
i
d
1
d
2
d
m
121
Тема 3. Статистические методы принятия решений
()
Наилучшей альтернативой при применении принципа Сэвиджа
считается та, которая дает минимальное значение показателю di (минимизирует упущенную выгоду, ориентируясь на самые неблагоприятные обстоятельства).
o
dd b
Функция выбора:
==minminmax
i
ет оптимальной альтернативе
i
i
oo o
Ad A
«
. Значение
ij
j
.
o
d
соответству-
Пример выбора альтернатив вусловиях неопределенности
(при неизвестных вероятностях состояний природы)
Осуществим выбор альтернативы при отсутствии сведений о вероятностях состояний рынка в условиях ранее рассмотренного примера.
Возьмем ранее составленную матрицу ожидаемого дохода
(см. табл. 3.3).
Выберем оптимальную альтернативу, используя принцип Лапласа и принцип максимизации среднего ожидаемого дохода. Поскольку в нашем случае рассматриваются только два возможных состояния рынка, вероятность каждого состояния принимается равной ½.
Найдем значение среднего ожидаемого дохода для каждой альтернативы:
EMV1 = 4000 · 0,5 + 1000 · 0,5 = 2000 + 500 = 2500 ден. ед.;
EMV2 = 4000 · 0,5 + 3000 · 0,5 = 2000 + 1500 = 3500 ден. ед.;
EMV3 = 2000 · 0,5 + 4000 · 0,5 = 1000 + 2000 = 3000 ден. ед.
Составим матрицу ожидаемого дохода, с помощью которой выберем альтернативу с максимальным средним ожидаемым доходом
(табл. 3.11).
Вывод: А2 — наиболее предпочтительная альтернатива.
122
Матрица ожидаемого дохода — принцип Лапласа
A S
А
1
А
2
А
3
1
4000 1000 2500
4000 3000
2000 4000 3000
р 0,5 0,5
S
2
EMV
3500
n
р
=
е
1
i
=
1
i
Таблица 3.11
3.3. Принятие решений вусловиях неопределенности
aa()
Теперь выберем оптимальную альтернативу, используя принцип
Лапласа в сочетании с принципом минимизации средних ожидаемых
условных потерь.
Возьмем ранее полученную матрицу условных потерь (см. табл. 3.4).
Найдем средние значения ожидаемых условных потерь для каждой
альтернативы:
EML1 = 0 · 0,5 + 3000 · 0,5 = 1500 ден. ед.;
EML2 = 0 · 0,5 + 1000 · 0,5 = 500 ден. ед.;
EML3 = 2000 · 0,5 + 0 · 0,5 = 1000 ден. ед.
Составим матрицу упущенной выгоды (условных потерь), с помощью которой выберем альтернативу с минимальным значением средних ожидаемых условных потерь (табл. 3.12).
Таблица 3.12
Матрица условных потерь — принцип Лапласа
A S
А
1
А
2
А
3
1
0 3000 1500
0 1000
2000 0 1000
р 0,5 0,5
S
2
EML
500
n
р
=
е
i
1
i
=
1
Вывод: А2 — наиболее предпочтительная альтернатива.
Осуществим выбор оптимальной альтернативы на основе принципов крайнего оптимизма, Вальда и Гурвица. Оценим альтернативы
в соответствии с этими принципами.
Оценки крайнего оптимизма:
a1 = max {4000, 1000} = 4000 ден. ед.;
a2 = max {4000, 3000} = 4000 ден. ед.;
a3 = max {2000, 4000} = 4000 ден. ед.
Оценки крайнего пессимизма:
b1 = min {4000, 1000} = 1000 ден. ед.;
b2 = min {4000, 3000} = 3000 ден. ед.;
b3 = min {2000, 4000} = 2000 ден. ед.
Для того чтобы применить принцип Гурвица, выберем значение
уровня оптимизма — возьмем его, для примера, равным 0,7.
Оценки принципа Гурвица (
=+-
ii i
1
, α = 0,7):
ca b
c1 = 0,7 · 4000 + 0,3 · 1000 = 2800 + 300 = 3100 ден. ед.;
123
Тема 3. Статистические методы принятия решений
c2 = 0,7 · 4000 + 0,3 · 3000 = 2800 + 900 = 3700 ден. ед.;
c3 = 0,7 · 4000 + 0,3 · 2000 = 2800 + 600 = 3400 ден. ед.
К матрице ожидаемого дохода добавим столбцы для оценки альтернатив по принципам крайнего оптимизма (ai), Вальда (bi) и Гурвица (ci)
и выберем оптимальную альтернативу, максимизируя показатели ai,
bi и ci (табл. 3.13).
Таблица 3.13
Матрица ожидаемого дохода — принципы крайнего оптимизма, Вальда, Гурвица
A S
А
1
А
2
А
3
4000 1000
4000 3000
2000 4000
1
S
2
a
i
4000
b
i
c
i
1000 3100
4000 3000 3700
4000
2000 3400
Таким образом, в соответствии с принципом крайнего оптимизма
три альтернативы равноценны: каждая из них в наиболее благоприятном для нее состоянии рынка обеспечивает максимально возможный в рассматриваемой ситуации доход, равный 4000 ден. ед. В соответствии с принципом крайнего пессимизма (принципом Вальда)
наилучшей альтернативой является альтернатива А2, которая обеспечивает получение в наихудших обстоятельствах (при наихудшем состоянии рынка) гарантированный результат, равный 3000 ден. ед.; в лучших обстоятельствах результат у этого варианта решения будет выше.
При уровне оптимизма, равном 0,7, наиболее предпочтительная альтернатива согласно принципу Гурвица — А2.
Исследуем альтернативы на устойчивость к изменению уровня оптимизма. Для этого найдем значения оценок ci при различных значениях параметра α. Будем рассматривать значения α от 0,1 до 0,9 с шагом 0,2. Заметим, что оценки альтернатив при α = 0 и при α = 1 уже
есть. Это оценки крайнего пессимизма и крайнего оптимизма. Имеются также оценки при α = 0,7.
Значения оценок ci при α = 0,1:
c1 = 0,1 · 4000 + 0,9 · 1000 = 400 + 900 = 1300 ден. ед.;
c2 = 0,1 · 4000 + 0,9 · 3000 = 400 + 2700 = 3100 ден. ед.;
c3 = 0,1 · 4000 + 0,9 · 2000 = 400 + 1800 = 2200 ден. ед.
Значения оценок ci при α = 0,3:
c1 = 0,3 · 4000 + 0,7 · 1000 = 1200 + 700 = 1900 ден. ед.;
c
= 0,3 · 4000 + 0,7 · 3000 = 1200 + 2100 = 3300 ден. ед.;
2
= 0,3 · 4000 + 0,7 · 2000 = 1200 + 1400 = 2600 ден. ед.
c
3
124
3.3. Принятие решений вусловиях неопределенности
Значения оценок ci при α = 0,5:
c1 = 0,5 · 4000 + 0,5 · 1000 = 2000 + 500 = 2500 ден. ед.;
c2 = 0,5 · 4000 + 0,5 · 3000 = 2000 + 1500 = 3500 ден. ед.;
c3 = 0,5 · 4000 + 0,5 · 2000 = 2000 + 1000 = 3000 ден. ед.
Значения оценок ci при α = 0,9:
c1 = 0,9 · 4000 + 0,1 · 1000 = 3600 + 100 = 3700 ден. ед.;
c2 = 0,9 · 4000 + 0,1 · 3000 = 3600 + 300 = 3900 ден. ед.;
c3 = 0,9 · 4000 + 0,1 · 2000 = 3600 + 200 = 3800 ден. ед.
Представим полученные значения для показателя ci в виде
табл. 3.14.
Таблица 3.14
Матрица среднего ожидаемого дохода в зависимости от уровня оптимизма
c
A
i
А
1
А
2
А
3
α = 0 α = 0,1 α = 0,3 α = 0,5 α = 0,7 α = 0,9 α = 1
1000 1300 1900 2500 3100 3700
3000
3100 3300 3500
2000 2200 2600 3000 3400 3800
i
4000
3700
3900 4000
4000
Из таблицы следует, что самая устойчивая к изменению уровня оптимизма альтернатива — это альтернатива А2. Она является оптимальной при всех значениях уровня оптимизма. Альтернативы А
и А3 оп-
1
тимальны только при уровне оптимизма α = 1.
Осуществим выбор альтернативы в соответствии с принципом
Сэвиджа.
Обратимся к матрице условных потерь. Добавим к ней столбец оценок альтернатив по Сэвиджу (di) (табл. 3.15).
Каждую альтернативу оценим максимальным уровнем условных
потерь:
= max {0, 3000} = 3000 ден. ед.;
d
1
d2 = max {0, 1000} = 1000 ден. ед.;
d
= max {2000, 0} = 2000 ден. ед.
3
Таблица 3.15
Матрица условных потерь — принцип Сэвиджа
A S
А
1
А
2
А
3
2000 0 2000
1
0 3000 3000
0 1000
S
2
d
i
1000
125
Тема 3. Статистические методы принятия решений
jj
()
|
jj
()=
Наилучшей альтернативой при применении принципа Сэвиджа
считается та, которая дает минимальное значение показателю di. Значит, в нашем случае это альтернатива А2.
Итак, в результате исследований можно прийти к выводу, что А2 —
наиболее предпочтительная альтернатива. Она является оптимальной
по большинству критериев.
Оценка целесообразности исследования состояний природы
Предположим, у нас есть методика исследования сложившейся ситуации (это, в частности, может быть метод экспертного опроса) и получения прогноза о возможном состоянии природы. Этот прогноз
носит вероятный характер. На основании статистики прошлых исследований мы можем составить матрицу относительных частот сбывшихся и несбывшихся прогнозов и эти частоты принять за вероятности осуществления получаемых прогнозов (табл. 3.16).
Таблица 3.16
Матрица относительных частот сбывшихся и несбывшихся прогнозов
pr. S S
pr. S
1
pr. S
2
1
p
11
p
21
S
2
p
12
p
22
… S
… p
… p
n
1n
2n
… … … … …
pr. S
е
1
in=
n
p
ij
p
n1
p
n2
… p
1 1 … 1
nn
В матрице использованы следующие обозначения: S1, S2, …, Sn —
возможные состояния природы; pr. S1, pr. S2, …, pr. Sn — прогнозы (полученные на основании исследования), что состояние природы будет
соответственно S1, S2, …, Sn. Через pij обозначена относительная частота (статистическая вероятность) того, что при действительном состоянии природы Sj прогноз утверждал, что наступит состояние Si : pij =
= Р (pr. S
| Sj).
i
Воспользуемся известными из курса теории вероятностей формулами переоценки гипотез (формулами Бейеса):
PH PA H
PH A
| =
()
j
()
()
PA
PA PH PA H
, где
() ()
n
|
,
j
=е1
126
3.3. Принятие решений вусловиях неопределенности
ji
ij
.)=
ji
ji
(.
Sp
ji
=
==
ее
11
(.
чтобы найти вероятности того, что состояние природы в действительности будет Sj, если прогноз утверждает, что это состояние будет Si:
PS pr S
(.)
n
PprS PS PprS S
(.)()(
где
ij
j
=е1
| =
ji
()(. )
PprS
(.)
|
.
|
j
,
i
PS PprS S
Этим способом мы уточним первоначально данные нам вероятно-
сти состояний природы P (S
) = pj. С учетом имеющихся обозначений
j
получим следующие формулы:
pp
j
n
=е1
jij
, j = 1, 2, …, n.
pp
j
PS pr S
(.)| =
ji
Итак, если мы проведем исследование по имеющейся методике
и получим в качестве прогнозируемого состояние S
, мы найдем бо-
i
лее точное значение вероятности состояния Sj.
Теперь для каждого варианта прогноза составим матрицу ожидаемого дохода (или матрицу ожидаемых условных потерь) и выберем
оптимальную альтернативу, заменяя в вычислениях первоначально
данные вероятности pj вновь найденными условными вероятностя-
PS pr S
ми
)|
. Обозначим величину среднего ожидаемого дохода
от оптимальной альтернативы для рассматриваемого варианта прогно-
o
), а величину средних ожидаемых условных по-
за как EMV (A
терь — EML (A
). Вероятность каждого варианта прогноза най-
| pr. S
o
| pr. S
i
i
дем по следующей формуле полной вероятности:
n
PprS PS PprS
(.)()( .)
ijij
j
| =
n
p
.
j
j
Найдем среднее значение ожидаемого дохода (или ожидаемых условных потерь) при оптимальном выборе решений по всем вариантам
возможных прогнозов. Его мы найдем по формуле математического
ожидания случайной величины как сумму произведений вероятностей
рассматриваемых прогнозов на значения среднего ожидаемого дохода (средних условных потерь) от оптимальной альтернативы при соответствующем варианте прогноза:
EMVPpr SEMV AprS
с ис.(.)
()
i
n
=е1
i
o
|=
)
,
i
127
Тема 3. Статистические методы принятия решений
(.
n
EMLPpr SEML AprS
с ис.(.)
()
i
=е1
i
o
|=
)
.
i
Проведение исследований требует определенных затрат. Назовем
их издержками проведения исследований (ИПИ). Предельной допустимой стоимостью исследований (ПДСИ) называют разность между
оптимальным средним ожидаемым доходом, полученным при расчете с учетом проведения исследований (EMV (с ис.)), и оптимальным
средним ожидаемым доходом, полученным без анализа целесообразности проведения исследований (EMV (без ис.)):
ПДСИ = EMV (с ис.) — EMV (без ис.).
Проведение исследования целесообразно только, когда его издержки не превосходят предельной допустимой стоимости исследования:
ИПИ ≤ ПДСИ. В этом случае EMV (с ис.) ≥ EMV (без ис.) + ИПИ,
т. е. в среднем выбор решения с привлечением результатов проведенных исследований будет давать больший (или не меньший) доход даже
с учетом затрат на исследования, чем такой же выбор без проведения
предварительного исследования. Таким образом, еще не приступая
к исследованиям, мы можем оценить их целесообразность: если результат с предполагаемым проведением исследований (за вычетом затрат на проведение исследований) больше, чем результат без такого
исследования, то исследование провести рекомендуется; если этот результат меньше, исследование проводить не имеет смысла.
Следует иметь в виду, что все рассмотренные методы выбора оптимальной альтернативы имеют статистический характер, т. е. дают лучший результат лишь в среднем (как средний результат многократного повторения ситуации подобного выбора).
Пример оценки целесообразности исследования состояний природы
Предположим, что имеющаяся методика исследования рынка по результатам аналогичных исследований в прошлом дала следующие результаты: в 60 % случаев, когда прогнозировался рынок S1, прогноз
сбывался; в 70 % случаев, когда прогнозировался рынок S2, прогноз
сбывался.
Это значит, вероятность того, что спрогнозируется рынок S1 при
условии, что именно он и будет иметь место в действительности, равна 0,6, а вероятность того, что прогноз укажет на рынок S2, в то вре-
128
3.3. Принятие решений вусловиях неопределенности
==
==
==
==
мя как в действительности реализуется рынок S1, равна 0,4. Точно
так же вероятность того, что прогноз пообещает рынок S1, а на деле
будет рынок S2, равна 0,3, а вероятность прогноза рынка S2 в случае,
когда в действительности будет рынок S2, равна 0,7. Сведем эти данные в табл. 3.17.
Таблица 3.17
Матрица относительных частот сбывшихся
и несбывшихся прогнозов состояний рынка
Прогнозируемое состояние рынка
Действительное состояние рынка
S
2
pr. S
pr. S
+ p
p
1j
S
1
1
2
2j
0,6 0,3
0,4 0,7
1 1
Исходные вероятности состояний рынка (они были даны в усло-
виях поставленной задачи): p1 = P (S1) = 0,6; p2 = P (S2) = 0,4. Имеем
p
= 0,6; p
11
= 0,3; p21 = 0,4; p22 = 0,7.
12
Переоценим, воспользовавшись формулами Бейеса, вероятности
состояний рынка при предположении о наличии прогноза, выполненного по этой методике:
pp
е
е
j
2
1
j
=
pp
2
1
=
111
pp
jj
121
pp
jj
1
2
| ==
PS pr S
(.)
11
| =
PS pr S
(.)
12
06 06
Ч
,,
06 06 04 03
Ч+Ч
,, ,,,,
06 04
Ч
,,
06 04 04 07
Ч+Ч
,, ,,,,
==
036
=
0
448364834
024
0
5522452613
;
;
pp
е
е
j
2
1
j
=
pp
222
2
1
=
212
pp
jj
pp
jj
1
2
| ==
PS pr S
(.)
21
| ==
PS pr S
(.)
22
04 03
Ч
,,
06 06 04 03
Ч+Ч
,, ,,,,
04 07
Ч
,,
06 04 04 07
Ч+Ч
,, ,,,,
=
=
012
0
448124814
028
0
5522852713
;
.
129
Тема 3. Статистические методы принятия решений
(.
11
(.
21
(.
(.
12
(.
22
(.
Найдем наилучшую альтернативу при наличии прогноза о том, что
состояние рынка будет S1. В матрице ожидаемого дохода (табл. 3.18)
заменим вероятности состояний рынка p1 и p2 пересмотренными при
наличии прогноза S1 вероятностями
PS pr S
|
)
PS pr S
и
|
)
и най-
дем средний ожидаемый доход для каждой альтернативы:
EMV1 = 4000 · 0,75 + 1000 · 0,25 = 3000 + 250 = 3250 ден. ед.;
EMV2 = 4000 · 0,75 + 3000 · 0,25 = 3000 + 750 = 3750 ден. ед.;
EMV3 = 2000 · 0,75 + 4000 · 0,25 = 1500 + 1000 = 2500 ден. ед.
Таблица 3.18
Матрица ожидаемого дохода при прогнозе состояния рынка S
1
A S
А
1
А
2
А
3
PS pr S
i
1
4000 1000 3250
4000 3000
2000 4000 2500
)|
1
3/4 1/4
S
2
EMV
3750
n
PS pr S
(.)| =
е
i
=
i
1
1
1
Выберем альтернативу с максимальным средним ожидаемым доходом.
Вывод: А2 — наиболее предпочтительная альтернатива;
EMV (Ao | pr. S1) = 3750 ден. ед.
Найдем наилучшую альтернативу при наличии прогноза о том, что
состояние рынка будет S2. В матрице ожидаемого дохода (табл. 3.19)
заменим вероятности состояний рынка p1 и p2 пересмотренными при
наличии прогноза S2 вероятностями
PS pr S
|
)
PS pr S
и
|
)
и най-
дем средний ожидаемый доход для каждой альтернативы:
EMV1 = 4000 · 6/13 + 1000 · 7/13 = (24000 + 7000)/13 = 31000/13 ден. ед.;
EMV2 = 4000 · 6/13 + 3000 · 7/13 = (24000 + 21000)/13 = 45000/13 ден. ед.;
EMV3 = 2000 · 6/13 + 4000 · 7/13 = (12000 + 28000)/13 = 40000/13 ден. ед.
Таблица 3.19
Матрица ожидаемого дохода при прогнозе состояния рынка S
A S
А
1
А
2
А
3
PS pr S
i
1
4000 1000 31000/13
4000 3000
2000 4000 40000/13
)|
2
6/13
S
2
7/13
EMV
45000/13
n
PS pr S
(.)| =
е
i
i
1
=
2
1
2
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]