Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие
.pdf
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Естественнонаучные дисциплины»
П. С. Гончарь
Л. Э. Гончарь
Д. С. Завалищин
ТЕОРИЯ ИГР
Учебное пособие
для студентов направлений подготовки
23.03.01 – «Технология транспортных процессов»,
38.03.01 – «Экономика», 38.03.02 – «Менеджмент»,
38.03.03 – «Управление персоналом»,
10.04.01 –«Информационная безопасность»,
38.04.01 – «Экономика», 38.04.02 – «Менеджмент»
P. S. Gonchar
L. E. Gonchar
D. S. Zavalishchin
GAME THEORY
Study guide
for students of the areas of study
23.03.01 – «Technology of transport processes»,
38.03.01 – «Economics», 38.03.02 – «Management»,
38.03.03 – «Personnel management», 10.04.01 –«Information security»,
38.04.01 – «Economics», 38.04.02 – «Management»
Екатеринбург
УрГУПС
2018
УДК 517
Г33
Гончарь, П. С.
Г33 Теория игр : учеб. пособие / П. С. Гончарь, Л. Э. Гончарь, Д. С. За-
валищин. – Екатеринбург : УрГУПС, 2018. – 124, [2] с.
ISBN 978-5-94614-444-5
Пособие является комплексным изданием, теоретические материалы сопровождаются заданиями для организации работы на практических или лабораторных занятиях, а также для самостоятельной работы обучаемых по матричным
играм. Содержит основные понятия и определения, методы решения и анализа игровых задач, приложения в экономике.
Предназначено для студентов направлений подготовки 23.03.01 – «Технология транспортных процессов», 38.03.01 – «Экономика», 38.03.02 – «Менеджмент», 38.03.03 – «Управление персоналом», 10.04.01 –«Информационная
безопасность», 38.04.01 – «Экономика», 38.04.02 – «Менеджмент». Может использоваться при подготовке аспирантов.
The guide is a complex edition; here theoretic material is accompanied by tasks for
organization of work at practical or laboratory trainings, and also for self-dependant
work on matrix games. It contains the basic concepts and definitions, methods of
solution and analysis of game problems, applications in economics.
It is intended to the students of the areas of study 23.03.01 – «Technology of
transport processes», 38.03.01 – «Economics», 38.03.02 – «Management», 38.03.03 –
«Personnel management», 10.04.01 –«Information security», 38.04.01 – «Economics»,
38.04.02 – «Management». It can be used to prepare postgraduate students.
УДК 517
Издано по решению
редакционно-издательского совета университета
Авторы: П. С. Гончарь, доцент кафедры «Естественнонаучные дис-
циплины», канд. пед. наук, УрГУПС
Л. Э. Гончарь, доцент кафедры «Естественнонаучные дис-
циплины», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС
Д. С. Завалищин, доцент кафедры «Естественнонаучные
дисциплины», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС
Рецензенты: Г. А. Тимофеева, зав. кафедрой «Естественнонаучные дис-
циплины», д-р физ.-мат. наук, профессор, УрГУПС
В. Л. Розенберг, ст. научный сотрудник ИММ УрО РАН,
канд. физ.-мат. наук
ISBN 978-5-94614-444-5 © Уральский государственный университет
путей сообщения (УрГУПС), 2018
Оглавление
Введение .......................................................................................................... 4
1. Формальный аппарат теории игр ...............................................................6
2. Приемы выявления оптимальных чистых стратегий игроков .................11
2.1. Игры с природой ...............................................................................11
2.2. Иерархические биматричные и позиционные многошаговые игры .... 17
2.3. Равноправные биматричные игры ................................................... 23
2.4. Антагонистические матричные игры с нулевой суммой выигрышей .. 28
3. Приемы поиска смешанных стратегий игроков
в матричных играх с нулевой суммой выигрышей ...................................34
3.1. Исключение стратегий, заведомо невыгодных
для игроков (по сравнению с другими возможными
чистыми стратегиями) ...................................................................... 34
3.2. Графическое сравнение зависимостей результата игры
от вероятности применения игроками чистых стратегий ............... 38
3.3. Аналитический поиск смешанных стратегий игроков
и цены игры в простых случаях ........................................................ 45
3.4. Переход к задаче линейного программирования
с интерпретацией результатов в терминах теории игр .................... 49
3.5. Итеративный метод Брауна – Робинсон ......................................... 62
4. Комплексное применение приемов при решении
задач теории матричных игр с нулевой суммой ....................................... 65
5. Формализация игровых ситуаций (в примерах) ......................................91
6. Задания для самостоятельного решения ................................................ 108
Заключение ................................................................................................. 122
Библиографический список ....................................................................... 123
3
ВВЕДЕНИЕ
Теория игр применяется при рассмотрении ситуаций, когда интересы взаимодействующих сторон не совпадают и каждая сторона
решает задачу достижения наилучшего для себя результата путем выбора стратегии поведения во взаимодействии. Принятое решение каждая сторона часто оставляет втайне от противоположной стороны.
Таким образом, непосредственное прикладное значение теории игр
заключается в том, что она позволяет участнику игры или конфликта (в достаточно простых ситуациях и при разумных ограничениях) выбирать собственную стратегию, гарантированно приводящую
к наилучшему возможному результату, обосновывать компромиссные решения, а также прогнозировать поведение противника. В более сложных ситуациях, когда формализация и точное решение задачи невозможно, полезными оказываются идеи, развитые в этой
теории.
Дополнительно подразумевается, что факторы социального и психологического характера (традиции, субъективные ценностные установки, склонность к риску или агрессии, психическая истощенность
и т. п.), влияющие на игроков, при решении задачи игнорируются. Результат игры выражается числом, отражающим прибыль или
«пользу», полученную каждым игроком. Принятие и исполнение решений осуществляется однократно или многократно. Все игроки –
разумные1, склонные избегать риска.
Значительный объем пособия посвящен приемам поиска оптимальных (чистых и смешанных) стратегий в антагонистических матричных играх двух лиц, т. е. играм, в которых только два участника,
причем величина проигрыша одного игрока равна выигрышу другого. Для этого случая игр существует развитый арсенал идей и приемов, доступный для изучения после стандартного курса математики
в ВУЗах. Некоторые разделы предполагают знание основ линейного программирования. Материал, посвященный антагонистическим
играм двух лиц, дает идеологическую основу для остального, в частности, и «Игры с природой», и биматричные игры рассматривают-
1
Ситуации, когда принимаемые одним из игроков решения подчиняются не
рациональным, а статистическим закономерностям, рассмотрены в разделе «Игры
с природой».
4
ся сквозь призму антагонистических игр, даже если в тексте занимают предшествующее к ним место и, в методическом плане, являются
подготовкой к основному содержанию. Другой источник идеологии
рассмотренных приемов, реализуемых в решении иерархических биматричных и позиционных игр, – динамическое программирование.
В пособии приведены сведения о традиционно сложившейся терминологии и используемых математических объектах и об основных
приемах анализа, преобразования и решения простейших задач (как
для случая однократного взаимодействия игроков, так и для случая
их многократных взаимодействий при неизменной матрице игры).
Приводится описание итеративного метода фиктивного разыгрывания, известного как метод Брауна – Робинсон, который предлагается использовать совместно с аналитическими приемами. Критерии
принятия решений в «играх с природой» и ситуациях с взаимообусловленными (но не противоположными) результатами, а также
комплексное применение приемов решения задач с нулевой суммой
и формализация некоторых ситуаций игрового или конфликтного
характера преимущественно показаны в примерах. В конце пособия
даны задания для самостоятельного решения с краткими рекомендациями, в единичных случаях с ответами.
Предполагается использование пособия в учебных курсах:
– Прикладная математика для направления подготовки 23.03.01 –
«Технология транспортных процессов».
– Методы принятия управленческих решений для направления
подготовки 38.03.02 – «Менеджмент».
– Методы оптимальных решений для направлений подготовки
38.03.01 –«Экономика» и 38.03.03 – «Управление персоналом».
– Теория игр и исследование операций и Практикум по дисциплине «Теория игр и исследование операций» для направления подготовки 10.04.01 –«Информационная безопасность».
– Математические модели в профессиональной деятельности для
направлений подготовки 38.04.01 – «Экономика» и 38.04.02 – «Менеджмент».
5
1. ФОРМАЛЬНЫЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ИГР
Теория игр впервые была систематически изложена Дж. Фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1944 г., хотя отдельные результаты были
опубликованы еще в 20-х гг. прошлого века. Работа Неймана и Моргенштерна содержала главным образом экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную
форму. Во время Второй мировой войны и сразу после нее теория игр
применялась как аппарат для исследования военных решений. Затем
главное внимание снова стало уделяться экономическим проблемам.
Игра – это действительный или формальный конфликт, участники которого называются игроками, и каждый игрок стремится,
в первую очередь, к достижению собственных целей. Ни один из них
не знает, какие решения примут другие игроки, но ему известны все
возможные решения других игроков и количественные оценки результатов их реализации. В других способах постановки задач решения одного игрока (принципала) известны другому (агенту); или решения принимаются игроками поочередно.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия в зависимости от знаний о сложившейся
ситуации, либо решения, принятые игроком заранее (в ответ на любую возможную ситуацию).
Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на
том или ином принципе: по числу игроков, числу стратегий, свойствам функций выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.
В зависимости от числа игроков различают игры с двумя, тре-
мя и более участниками. Возможны также игры с бесконечным числом игроков.
По количеству стратегий различают конечные и бесконечные игры.
В конечных играх игроки располагают конечным числом возможных
стратегий (например, в игре в орлянку игроки имеют по два возможных хода – они могут выбрать «орел» или «решку»). В бесконечных
играх игроки имеют бесконечное число возможных стратегий. Так,
в ситуации «Продавец – Покупатель» каждый из игроков может назвать любую устраивающую его цену и количество продаваемого (покупаемого) товара.
6
По свойствам функций выигрыша (зависимостей выигрыша каждого игрока от выбранных им самим и партнерами стратегий) выделяется ситуация, когда выигрыш одного из игроков равен проигрышу
другого, – это модель прямого конфликта между игроками. Подобные игры называются играми с нулевой суммой, или антагонистиче-
скими играми. Игры в «орлянку» или в «очко» – типичные примеры
антагонистических игр. Противоположностью играм такого типа являются игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща. Между этими крайними случаями имеется множество
видов игр с ненулевой суммой, где моделируются и конфликты, и согласованные действия игроков.
В зависимости от возможности предварительных переговоров
между игроками различают кооперативные и некооперативные игры.
Игра называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают соглашения о своих стратегиях. Игра,
в которой игроки не координируют свои стратегии подобным образом, называется некооперативной. Примером некооперативных игр
могут служить антагонистические игры, где игроки не имеют экономических стимулов к выполнению соглашений. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования коалиций в парламенте для принятия путем голосования решения, так или иначе
затрагивающего интересы участников голосования.
Элементарные выборы в конечных играх называются чистыми
стратегиями. Смешанной стратегией игрока называется сочетание
его чистых стратегий, применяемых в серии игр «случайным образом» (игрок сохраняет в тайне конкретные решения для каждого акта
1
игры) с заранее определенной вероятностью
. Активными стратеги-
ями игрока называются его чистые стратегии, используемые им с ненулевой вероятностью.
Матричной (биматричной) называется конечная игра с двумя
участниками. Функции выигрыша в такой игре могут быть отражены
двумя матрицами одинаковой размерности или одной матрицей, где
на пересечении строки (соответствует возможной стратегии первого
1
Величина, равная отношению количества случаев использования конкретной
стратегии к общему количеству актов взаимодействия (т. е. частость применения
стратегий) в теории игр традиционно называется «вероятностью», хотя такие события не являются случайными для игрока, принимающего это решение. Вероятность
(в классическом смысле) использования каким-либо игроком его отдельной чистой стратегии численно совпадает с оптимальной частостью использования этой стратегии при допущении о разумности и экономической заинтересованности игрока.
7
игрока) и столбца (соответствует возможной стратегии второго игро-
max(min( )).
ij
j
i
aα=
ка) указываются выигрыши обоих игроков. Среди всех возможных
решений о выборе игроками их стратегий особого внимания заслуживают такие сочетания, которые не стимулируют никого из игроков
в одностороннем порядке применять другую стратегию, они называются равновесиями по Нэшу. Для их поиска в матрице выигрышей
используется следующее правило: ячейка таблицы соответствует равновесию по Нэшу, если выигрыш первого игрока в ней – максимальный по столбцу, а выигрыш второго игрока – максимальный
по строке.
Какая-либо стратегия игрока (и соответствующий ей ряд, строка
или столбец платежной матрицы) называется доминирующей (строго
доминирующей) другую стратегию (доминируемую), если независимо от выбора стратегии другим игроком, предоставляет рассматриваемому игроку не худшие (лучшие) в выделенной паре стратегий
величины платежа.
Множество стратегий, не доминирующих друг друга, называется
множеством Парето.
Матричная игра с нулевой суммой выигрышей, где элемент платежной матрицы (величина платежа) указывает только выигрыш
первого игрока, а выигрыш второго игрока равен по абсолютной величине, но противоположен по знаку указанному числу – антаго-
нистическая. Перед обоими игроками стоит задача получения максимального выигрыша, что в данном случае соответствует установке
первого игрока (Получателя) на выбор стратегии, увеличивающей
гарантированную среднюю величину платежа, и установке второго
игрока (Плательщика) на выбор стратегии, уменьшающей эту величину. «Гарантия» означает независимость результата игры от решений, принимаемых противником, т. е. обоснование результата игры
при любом решении противника (что логически эквивалентно всем
решениям из множества возможных).
Нижней ценой игры α (максимином) называется элемент платеж-
ной матрицы, получаемый в процедуре выбора наибольшего значения из наименьших значений в каждой строке
Верхней ценой игры β (минимаксом) называется элемент платеж-
ной матрицы, получаемый в процедуре выбора наименьшего значения из наибольших значений в каждом столбце
8
min(max( )).
ij
j
i
aβ=
Имеет место соотношение между верхней и нижней ценами для
любой матричной игры: α ≤ β (доказывается «от противного»).
Ценой игры ν называется средняя (в серии игровых актов) величина
платежа, привлекательная (т. е. α ≤ ν ≤ β) и гарантированная для обоих игроков. Решением игры называется совокупность стратегий (чистых или смешанных), позволяющая каждому игроку гарантировать
результат игры (величину среднего по серии игровых актов платежа)
не хуже, чем значение цены игры ν. Отсюда, в силу способности каждого игрока препятствовать отклонению средней величины платежа от
равновесного значения, легко сделать вывод о том, что средняя величина платежа приближается к значению ν при увеличении количества игровых актов. В случае если ν = 0, игра называется справедливой.
Основная теорема теории игр (теорема Неймана): всякая конечная игра с нулевой суммой имеет решение, возможно, в области смешанных стратегий.
При совпадении верхней и нижней цен решение игры находится
в чистых стратегиях, обладает устойчивостью, и цена игры совпадает с верхней и нижней ценами игры. В такой ситуации говорят, что
игра имеет «седловую точку».
Теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей смешанной стратегии, а другой игрок не выходит за
пределы своих активных стратегий, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры.
Аффинное преобразование платежной матрицы – это преобразование всех элементов платежной матрицы по правилу a'ij = kaij + ∆,
ν' = kν + ∆. Оно не меняет решения игры. Это означает, что для задания игры безразлично, в каких единицах измеряются выигрыши
(например, в рублях или долларах); прибавление (вычитание) некоторой фиксированной суммы к каждому платежу изменит на такую же сумму любой выигрыш (проигрыш) каждого игрока, не меняя решения игры.
Позиционной игрой называются ситуации, когда игроки, в отличие
от классической ситуации, делают ходы (объявляют о принятых решениях) не одновременно, а по очереди, зная о решениях, принятых
другими игроками. Для анализа таких ситуаций используются ориентированные графы и «деревья решений».
Играми с природой называются задачи, в которых один из игроков
(обычно он отождествляется со вторым игроком в антагонистической
9
матричной игре) выбирает стратегию не рациональным, а каким-либо иным способом. В этом случае рассматривается только функция
выигрыша первого игрока, а «поведение» второго игрока, если это
возможно, характеризуется вероятностью реализации его возможных состояний (они отождествляются с «выбором» стратегий). Для
анализа и принятия решений в таких квази-игровых ситуациях используется ряд альтернативных критериев.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]