Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие
.pdf
Плательщика и является неактивной, не входит в смешанную стратегию Плательщика.
Шаг 2. Разделим все полученные неравенства на цену игры
ν, вводя новые искомые величины через соотношение Y
= xi / ν,
i
i = 1…m
a
+ a2jY2 +... + amjYm ≥ 1, где j=1...n.
1jY1
Эти неравенства образуют систему ограничений в ЛП-задаче.
Замечание: матрица ЛП-задачи является транспонированной по отношению к исходной платежной матрице, все свободные члены равны
единице, знак неравенств ограничивает искомые величины «снизу».
Шаг 3. Используем соотношение x
+ x2 + …+xm = 1, деля его на
1
цену игры ν и вводя новые искомые
Y
+ Y2 +...+ Ym = 1/ν.
1
Так как цена игры ν соответствует максимальному гарантированному среднему платежу, то обратная ей величина 1/ν, может быть получена в результате минимизации соответствующего функционального выражения. Отсюда получаем целевую функцию ЛП-задачи
G = Y
+ Y2 +...+ Ym → min.
1
Замечание: все коэффициенты целевой функции равны единице.
Для Получателя ЛП-задача требует минимизации значения целевой
функции при ограничениях «снизу» на значения искомых величин Y
Шаг 4. Решение ЛП-задачи. В результате решения становятся известными величины Y1, Y2, ..., Ym, G
min
.
Шаг 5. Возврат к «игровой» задаче осуществляется с помощью
соотношений ν = 1/G
(цена игры); xi = νYi (все вероятности, с ко-
min
торыми Плательщик применяет свои чистые стратегии).
Шаг 6. Проверка результата.
Значения вероятностей – неотрицательные, их сумма
.
i
x
+ x2 + …+xm = 1.
1
При рассмотрении каждой отдельно взятой стратегии Плательщика Bj должны выполняться неравенства, сформулированные при
выполнении шага 1, причем строгие неравенства указывают на невыгодные для Плательщика стратегии (неактивные), равенства –
на активные стратегии, составляющие его смешанную стратегию
51
a1jx1 + a2jx2 +...+ amjxm ≥ ν.
;
:
:;
:
.
xx
B
B xx
B
xx
+ ≥ν
+ ≥ν
+ ≥ν
12
12
12
75
1
22 7
3
84
;
:
:;
:
.
YY
B
B YY
B
YY
+≥
+≥
+≥
12
12
12
751
1
22 7 1
3
841
Значения цены игры ν, полученные для Получателя и Плательщика, должны совпадать.
Пример 11а (ЛП-задача для Получателя). Требуется найти смешанную стратегию Получателя, цену игры ν, определить состав смешанной стратегии Плательщика и упростить данную платежную матрицу (она взята из примера 9а).
В1 В2 В3
А1
А2
7 2 8
5 7 4
Решение
1. Для каждой стратегии Плательщика запишем требование: сред-
няя величина платежа должна оказаться не меньше, чем цена игры ν.
2. Разделим все полученные неравенства на цену игры ν, вводя но-
вые искомые величины через соотношение Yi = xi / ν.
Эти неравенства образуют систему ограничений в ЛП-задаче.
3. Запишем целевую функцию ЛП-задачи
4. Пользуясь малым количеством искомых величин, решение ЛПзадачи проводим графическим методом. Граничным линиям соответствуют строгие равенства (линейные зависимости), по которым найдем точки пересечения с координатными осями графика
52
G = Y
+ Y2 → min.
1
: ; , ;;
: ;, ;;
: ; , ;.
BY Y
BYY
BY Y
+=⇒
+=⇒
+=⇒
12
12
12
11
17 5 1 0 0
57
11
22 7 1 0 0
72
11
38 4 1 0 0
48
Выполним построение отрезков
min
;
:
:;
;
YY
B
B YY
G YY
+=
+=
= +
12
12
12
271
2
38 4 1
min
/;
/;
/.
Y
Y
G
=
=
=
1
2
1 16
2 16
3 16
0,3
Y
2
0,25
0,2
B3
0,15
0,1
0,05
0
0
–0,05
По результатам построения делаем вывод: наименьшее значение
целевая функция принимает в точке М, которая является точкой пересечения отрезков, соответствующих стратегиям В2 и В3.
Проведем аналитический расчет координат точки М и значения
целевой функции
5. Возврат к «игровой» задаче осуществляется с помощью следу-
ющих соотношений:
B1
0,1 0,2
0,3
B2
0,4
0,5
Y
1
53
ν = 1/G
/;
:
: /;
:
/.
xx
B
B xx
B
xx
+ = >ν
+= =ν
+= =ν
12
12
12
7 5 17 3
1
2 2 7 16 3
3
8 4 16 3
= 16/3 ≈ 5,33 (цена игры);
min
x1 = νY1 = 1/3 ≈ 0,33 (вероятность применения стратегии А1);
= νY2 = 2/3 ≈ 0,67 (вероятность применения стратегии А2).
x
2
6. Проверка результата.
Значения вероятностей – неотрицательные, их сумма
x
+ x2 = 1/3 + 2/3 = 1.
1
При использовании Плательщиком его чистых стратегий получаем среднюю величину платежа
Неравенство, полученное для стратегии В1, указывает на выгодную для Получателя, но невыгодную для Плательщика стратегию. Эту
стратегию можно исключить из платежной матрицы как неактивную.
Ответ (совпадает с ответом в примере 9а):
– вероятности применения стратегий Получателя x1 = 0,33
и x2 = 0,67;
– цена игры ν = 5,33;
– смешанная стратегия Плательщика состоит в применении его
чистых стратегий В2 и В3, а столбец, соответствующий стратегии В1,
можно исключить из платежной матрицы.
Поиск смешанной стратегии второго игрока и цены игры,
выявление активных стратегий первого игрока
Шаг 1. Для каждой стратегии Получателя Ai (в платежной матри-
це ей соответствует строка с номером i) запишем требование: при применении Плательщиком его смешанной стратегии средняя величина
платежа должна оказаться не больше, чем цена игры ν (количество таких неравенств совпадает с количеством строк в платежной матрице)
Если фактически, по результатам решения будет осуществляться неравенство, то такая стратегия оказывается невыгодной для Получателя и неактивной.
54
a
+ ai2y2 + ...+ ainyn ≤ ν.
i1y1
Шаг 2. Разделим все полученные неравенства на цену игры ν, вводя новые искомые величины через соотношение Xj = yj / ν, j = 1…n.
a
+ ai2X2 +... + ainX ≤ 1, где i = 1...m.
i1X1
Эти неравенства образуют систему ограничений в ЛП-задаче.
Замечание: матрица ЛП-задачи равна исходной платежной матрице, все свободные члены равны единице, знак неравенств ограничивает искомые величины «сверху».
Шаг 3. Используем соотношение y
+ y2 +... + yn = 1, деля его на
1
цену игры ν и вводя новые искомые
X
+ X2 +... +Xn = 1 / ν.
1
Так как цена игры ν соответствует минимальному гарантированному среднему платежу, то обратная ей величина 1/ν может быть получена в результате максимизации соответствующего функционального выражения. Отсюда получаем целевую функцию ЛП-задачи
F = X
+ X2 +... + Xn → max.
1
Замечание: все коэффициенты целевой функции равны единице.
Для Плательщика ЛП-задача требует максимизации значения целевой
функции при ограничениях «сверху» на значения искомых величин X
.
j
Шаг 4. Решение ЛП-задачи. В результате решения становятся известными величины X1, X2, ..., Xn, F
max
.
Шаг 5. Возврат к «игровой» задаче осуществляется с помощью
соотношений
ν = 1 / F
(цена игры);
max
yj = νХj , (все вероятности, с которыми Получатель применяет свои
чистые стратегии).
Шаг 6. Проверка результата.
Значения вероятностей – неотрицательные, их сумма
y
+ y2 +…+ yn = 1.
1
При рассмотрении каждой отдельно взятой стратегии Плательщика Ai должны выполняться неравенства, сформулированные при
выполнении шага 1, причем строгие неравенства указывают на невыгодные (неактивные) для Получателя стратегии, равенства – на активные стратегии, составляющие его смешанную стратегию
a
i1y1 + ai2y2
+...+ ainyn ≤ ν.
55
Значения цены игры ν, полученные для Получателя и Платель-
:.
23
1;
:
:.
XX
A
AXX
+≤
+≤
23
23
28
1
27 4 1
: ;, ;;
: ; , ;.
AX X
AX X
+=⇒
+=⇒
23
23
11
12 8 1 0 0
82
11
27 4 1 0 0
47
щика, должны совпадать.
Пример 11б (ЛП-задача для Плательщика). Требуется найти смешанную стратегию Плательщика и цену игры, если дана платежная
матрица (она получена в примерах 9а и 11а).
В2 В3
А1 2 8
А2 7 4
Решение
1. Для каждой стратегии Получателя запишем требование: сред-
няя величина платежа должна оказаться не больше, чем цена игры n
yy
+ ≤ν
28
:
A
1
23
+ ≤ν
A yy
27 4
;
2. Разделим все полученные неравенства на цену игры ν, вводя но-
вые искомые величины через соотношение X
= yj / ν
j
Эти неравенства образуют систему ограничений в ЛП-задаче. Ма-
трица ЛП-задачи равна исходной платежной матрице.
3. Запишем целевую функцию ЛП-задачи
F = X
+ X3 → max.
2
4. Пользуясь малым количеством искомых величин, решение ЛП-
задачи проводим графическим методом. Линиям, ограничивающим
область допустимых значений (по отдельность и для каждого неравенства системы), соответствуют строгие равенства, по которым найдем точки пересечения этих линий с координатными осями графика
56
Выполним построение отрезков
max
;
:
:;
;
XX
A
AXX
F XX
+=
+=
= +
23
23
23
281
1
27 4 1
max
/;
/;
/.
X
X
F
=
=
=
2
3
1 12
5 48
3 16
0,3
X
3
0,25
A1
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 0,1
–0,05
М
0,2
A2
0,3
X
2
0,4
0,5
По результатам построения делаем вывод: наибольшее значение
целевая функция принимает в точке М, которая является точкой пересечения отрезков, соответствующих стратегиям А1 и А2.
Проведем аналитический расчет координат точки М и значения
целевой функции
5. Возврат к «игровой» задаче осуществляется с помощью соот-
ношений
ν = 1 /F
= 16/3 = 5,33 (цена игры);
max
y2 = νX2 = 4/9 = 0,44 (вероятность использования стратегии В2);
y3 = νX3 = 5/9 = 0,56 (вероятность использования стратегии В3).
6. Проверка результата.
Значения вероятностей – неотрицательные, их сумма
При использовании Получателем его чистых стратегий рассчитаем среднюю величину платежа
y
+ y2 = 4/9 + 5/9 = 1.
1
57
/;
:
: /.
yy
A
A yy
+= =ν
+= =ν
23
23
2 8 16 3
1
2 7 4 16 3
Значение цены игры ν, полученное для Плательщика, совпадает с
nm
ji
11
результатом, полученным в примере 11а для Получателя.
Ответ:
– вероятности применения Плательщиком стратегий y2 = 0,44 и
y2 = 0,56;
– цена игры ν = 5,33;
− обе стратегии Получателя являются активными.
Использование теорем двойственности
Решение ЛП-задач Получателя и Плательщика связаны между собой теоремами двойственности. Этот факт позволяет проводить трудоемкое решение только для задачи одного из игроков, а ЛП-искомые для другого игрока получить с помощью данных соотношений.
Проведем сравнение используемых ЛП-обозначений и соотношений
Плательщик Получатель
Искомые величины
= yj /ν, где j = 1...n;
X
j
F
= 1 /ν.
max
Система ограничений
ai1X1 + ai2X2 +…+ ainXn ≤ 1,
где i =1...m.
Целевая функция
F = X1 + X2 +… +Xn → max.
Искомые величины
Yi = xi / ν, где i =1...m;
G
= 1 /ν.
min
Система ограничений
a1jY1 + a2jY2 +…+ amjYm ≥ 1,
где j = 1...n.
Целевая функция
G = Y1 + Y2 +… +Ym → min.
С учетом известных коэффициентов целевых функций теоремы
двойственности линейного программирования запишем в виде
58
n
Y aX i m
∑
i ij j
=
1
j
m
X aY j n
∑
j ij i
=
1
i
= = = =
F X YG
∑∑
max min
= =
ji
, ... ;
10 1
−= =
, ... ;
10 1
−= =
1
ν
.
Умножая первые уравнения на ν2, а последнее равенство – на ν,
mm
ii
nn
jj
=+++<ν⇒ −ν≠⇒=
∑∑
∑∑
11
11
00
00
учитывая, что xi = νYi, а yi = νXj, получаем следствия из теорем двойственности
n
x ay i m
∑
i ij j
j
y ax j n
∑
j ij i
i
mn
xy
∑∑
ij
= =
11
ij
=
1
m
=
1
= =
1
−ν = =
−ν = =
, ... ;
01
, ... ;
01
.
Решение системы уравнений значительно упрощается при учете следующего факта: произведение равно нулю, когда хотя бы один
из сомножителей равен нулю. Это позволяет сформулировать полезные следствия в терминах «игровой» задачи, известные как «теорема
об активных стратегиях»: если при условии применения любым игроком какой-либо отдельной чистой стратегии, средний платеж не
равен цене игры ν, то эта чистая стратегия игроком не применяется,
а соответствующая вероятность равна нулю
ax a x a x a x ax y
= + + + >ν⇒ −ν≠ ⇒ =
ij i j j mj m ij i j
= =
ay ay ay a y ay x
= =
11 2 2
ij j i i in n ij j i
11 2 2
... ;
... .
Средний платеж по каждой активной стратегии строго равен цене
игры ν
m
y ax a x a x a x
>⇒ = + + + =ν
0
j ij i j j mj m
x ay ay a y ay
i ij j i i in n
∑
=
1
i
n
>⇒ = + + + =ν
0
∑
=
1
j
11 2 2
11 2 2
... ;
... .
Сумма всех вероятностей (для каждого игрока) равна единице,
при неотрицательных значениях слагаемых
x
+ x2 +…+ xm = 1 и y1 + y2 +…+ yn = 1.
1
59
Замечания
Для составления системы уравнений и нахождения всех искомых
вероятностей достаточно знать смешанную стратегию одного из игроков. Тогда ряды, соответствующие неактивным стратегиям этого
игрока, исключаются из платежной матрицы, а величина среднего
платежа по каждой чистой стратегии другого игрока позволяет выявить и его активные стратегии, и цену игры, и (через решение системы оставшихся уравнений) вероятности применения активных стратегий. С другой стороны, если известен состав множества активных
стратегий игроков, то исходная система требований преобразуется
в систему точных равенств, соответствующим активным стратегиям, что также позволяет находить все искомые величины, решая систему уравнений.
Иногда состав активных стратегий может быть взят гипотетически. Выдвижение правдоподобных гипотез существенно облегчается предварительным фиктивным разыгрыванием (оно описано далее в разделе 3.5), которое позволяет сделать качественный вывод
о составе множеств активных стратегий обоих игроков и приближенный – о вероятности использования этих стратегий. Совместность
полученной системы уравнений и полная проверка полученного результата на соответствие всем требованиям, предъявляемым к решению, позволяет либо принять (уже с получением не приближенного, а точного решения игры), либо отвергнуть выдвинутую гипотезу.
Пример 11в (использование следствий из соотношений двойственности). Требуется найти смешанные стратегии игроков и цену игры,
если дана платежная матрица (она взята из примера 9б).
В1 В2
А1 7 5
А2 2 7
А3 8 4
Решение
1. Графически установим (пример 9б), что при условии применения Получателем его стратегии А3, величина среднего платежа меньше цены игры ν. На основании следствия из теорем двойственности
делаем вывод, что вероятность применения этой стратегии x3 = 0.
С другой стороны, отрезки, соответствующие стратегиям Получателя А1 и А2, проходят через точку М(y
; ν) и составляют его сме-
2опт
шанную стратегию.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]