Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория игр. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

5. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ИГРОВЫХ СИТУАЦИЙ (В ПРИМЕРАХ)

Дуополия и эластичный спрос

Два предприятия производят продукцию, реализуют ее в регионе и полностью контролируют данный рынок. При этом они могут использовать две различные технологии и соответственно устанавливать цену на продукцию 2 или 6 у. е. Затраты (полная себестоимость) продукции приводятся в следующей таблице.

Технология Цена продукции, у. е.

I 2 1 1

II 6 3 4

Себестоимость продукции, у. е.

Предприятие А Предприятие В

Известны данные о спросе на продукцию в зависимости от цен предложения, и доля продукции предприятия А в объеме этого спроса

Цены предложения, у. е.

Предприятие А Предприятие В

2 2 2 5 0,72 6 2 4 4 0,20 2 6 4 4 0,85 6 6 6 3 0,30

Средняя цена,

у. е.

Спрос,

тыс. ед.

Доля продукции

предприятия А

Требуется определить, каких технологий будут придерживаться предприятия.

Чистые стратегии предприятий – придерживаться одной из двух технологий. Для нахождения величин выигрыша предприятия А при- мем одну из четырех гипотез о таком выборе, рассчитаем величину выигрыша с учетом общего объема спроса, доли предприятия в этом спросе, суммарных затрат на производство и цены, предложенной предприятием:

ВI ВII

АI (5000 ⋅ 0,72)(2 – 1) = 3600 (4000 ⋅ 0,85)(2 – 1) = 3400

АII (4000 ⋅ 0,2)(6 – 3) = 2400 (3000⋅0,30)(6 – 3) = 2700

Аналогичный расчет проводим для выигрышей фирмы В:

ВI ВII

АI (5000 ⋅ 0,28)(2 – 1) = 1400 (4000 ⋅ 0,15)(6 – 4) = 1200

АII (4000 ⋅ 0,8)(2 – 1) = 3200 (3000 ⋅ 0,70)(6 – 4) = 4200

Считая упущенную прибыль эквивалентной убытку, находим разности выигрышей и получаем платежную матрицу игры:

ВI ВII

АI 2200 2200

АII -800 -1500

Стратегии АI и ВII оказались доминирующими, поэтому решение игры – использование первой технологии предприятием А и второй технологии – предприятием В. Это в основном объясняется резким падением спроса на продукцию предприятия А и его перераспределением в пользу продукции предприятия В, как только предприятие А отступает от дешевой технологии. Цена игры – 2200 у. е. в пользу предприятия А.

Дуополия и PR

В городе имеются две конкурирующие фирмы, услуги которых пользуются устойчивым (в сумме) спросом. Цена на услуги регулируется муниципалитетом, поэтому прибыль, получаемая каждой фирмой, пропорциональна количеству обратившихся в нее клиентов, а упущенная прибыль – количеству клиентов, обратившихся к конкуренту. Целевая реклама, планируемая владельцем фирмы А, может быть ориентирована на социальные группы O или P. Одновременно может быть проведена антиреклама конкурирующей фирмы, ориентированная на те же группы. Эти действия способны привлечь клиентов одной из групп и увеличить прибыль фирмы, но, с учетом встречной кампании, планируемой руководством фирмы В, негативно сказаться на статистике обращений других клиентов, в том числе – не входящих в обе целевые группы. Если произойдет односторонний отказ от проведения компании, то O-клиенты могут принести другой фирме 5 у. е дополнительной прибыли, а P-клиенты – 7 у. е дополнительной прибыли. Антиреклама в группе менее эффективна, чем позитивная реклама, и дает результат на 3 у. е. меньше. Эффекты от рекламы и антирекламы аддитивны, кроме тех случаев, когда про-

водится реклама и антиреклама одной фирмы в совпадающей группе, тогда антиреклама полностью компенсирует эффект от рекламы. Требуется предсказать решения игроков.

Стратегии фирмы А (Стратегии фирмы В полностью аналогичны):

А1 – отказаться от кампании;

А2 – провести рекламу, ориентированную на группу О, от анти-

рекламы конкурента отказаться;

А3 – провести рекламу, ориентированную на группу P, от антирекламы конкурента отказаться;

А4 – провести рекламу, ориентированную на группу О, и антирекламу конкурента в той же группе;

А5 – провести рекламу, ориентированную на группу О, и антирекламу конкурента в группе P;

А6 – провести рекламу, ориентированную на группу P, и антирекламу конкурента в группе O;

А7 – провести рекламу, ориентированную на группу P, и антирекламу конкурента в той же группе.

Составим платежную матрицу

В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 А1 0 -5 -7 -7 -9 -9 -12 А2 5 0 -2 -5 -4 -7 -6 А3 7 2 0 0 -5 -2 -7 А4 7 5 0 0 -2 -4 -4 А5 9 4 5 2 0 0 1 А6 9 7 2 4 0 0 -2 А7 12 6 7 4 -1 2 0

Из симметрии задачи ясно, что игра справедлива, цена игры равна нулю. Стратегия А6 доминирует стратегии А1, А2, А3 и А4. Соответственно, стратегия В6 доминирует стратегии В1, В2, В3 и В4. Нижняя цена игры α = 0 (реализуется в стратегии А5), верхняя цена игры β = 0 (реализуется в стратегии В5). Игра имеет решение «в чистых стратегиях»: обе фирмы будут проводить рекламу в группе О и антирекламу конкурента в группе Р, отклонение от этой стратегии чревато убытками для фирмы.

Тактика боевых действий

Некоторая территория разделена противниками. Два полководца враждующих сторон считают полезным захват всего плацдарма

(полученное при этом преимущество оценивается как эквивалент четырех рот живой силы) и принимают решение о тактике ведения боевых действий, выбирая между «наступлением», «обороной» и «отступлением». Взаимное отступление, взаимная оборона или наступление при отступлении противника сохраняют силы сторон. Уничтожение обороняющегося противника требует двукратного преимущества в живой силе (использованные сторонами подразделения существенно пострадают и не будут способны вести дальнейшие боевые действия). Во встречном наступлении потери наступающих сторон будут равными. Сторона А способна сконцентрировать на данном участке фронта до четырех рот, сторона В – до трех рот. Требуется предсказать тактические решения сторон.

Игровые стратегии стороны А (оборона силами двух рот гарантирует сохранение позиций даже при наступлении противника всеми его силами, наступление силами одной роты бессмысленно во всех случаях, кроме отступления противника):

А1 – отступить, сохраняя силы при любом решении противника (но теряя плацдарм при обороне или наступлении противника);

А2 – оборонять позицию силами одной роты, перебросив остальные силы на другой участок;

А3 – оборонять позицию силами двух рот;

А4 – наступать силами трех рот, оставляя одну роту в обороне по-

зиций;

A5 – наступать всеми силами (4 роты).

Игровые стратегии стороны В (наступление силами одной роты бессмысленно во всех случаях, кроме отступления противника):

В1 – отступить, сохраняя силы при любом решении противника (но теряя плацдарм при обороне или наступлении противника);

В2 – оборонять позицию силами одной роты, перебросив остальные силы на другой участок;

В3 – оборонять позицию силами двух рот, перебросив остальные силы на другой участок;

В4 – оборонять позицию силами трех рот;

В5 – наступать силами двух рот, оставляя одну роту в обороне по-

зиций;

В6 – наступать всеми силами (3 роты).

Матрица выигрышей имеет вид (учитываются потери в живой силе, а возможность беспрепятственно занять весь плацдарм учитывается как выигрыш 4 ед.)

В1 В2 В3 В4 В5 В6

А1 (0; 0) (0; 4) (0; 4) (0; 4) (0; 4) (0; 4) А2 (4; 0) (0; 0) (0; 0) (0; 0) (-1; 2) (-1; 2) А3 (4; 0) (0; 0) (0; 0) (0; 0) (-1; -2) (2,5; -3) А4 (4; 0) (2; -1) (-3; -1,5) (-3; -1,5) (-3; -2,5) (1; -3) А5 (4; 0) (2; -1) (-4; -2) (-4; 2) (-4; -3) (1; -3)

Считая урон, нанесенный противнику, эквивалентным получению собственного выигрыша, находим разности между выигрышами сторон (т. е. платежную матрицу антагонистической игры)

В1 В2 В3 В4 В5 В6 А1 0 -4 -4 -4 -4 -4 А2 4 0 0 0 -3 -3 А3 4 0 0 0 1 5,5 А4 4 3 -1,5 -1,5 -0,5 4 А5 4 3 -2 -6 -1 4

Формализация завершена. Сразу можно заметить, что стратегии А1 и В1 «отступить» доминируются ближайшими альтернативными стратегиями – оставить одну роту в обороне (так как потери, которые противник понесет в случае его наступления, превосходят собственные потери каждой стороны). Также стратегии А5 и В6 «наступать всеми силами» доминируются стратегиями «наступать, выделив силы для обороны». Упрощенная платежная матрица имеет вид

В2 В3 В4 В5 А2 0 0 0 -3 А3 0 0 0 1 А4 3 -1,5 -1,5 -0,5

Так как верхняя и нижняя цены игры совпадают, игра имеет решение «в чистых стратегиях»: обе стороны, вероятно, будут уверенно обороняться на данном участке фронта, «связывая» силы друг друга.

Камень, ножницы, бумага

Два игрока одновременно предъявляют соответствующую комбинацию. «Камень» тупит «ножницы», «ножницы» режут «бумагу», «бумага» оборачивает «камень», т. е. «камень» выигрывает у «ножниц», но проигрывает «бумаге», «ножницы» выигрывают у «бумаги», но проигрыва-

ют «камню», «бумага» выигрывает у «камня», но проигрывает «ножницам». При одинаковых комбинациях розыгрыш происходит повторно.

Каждый игрок имеет три стратегии: А

, АН, АБ и ВК, ВН, ВБ Сумму

выигрыша возьмем равной одной условной единице. Тогда платежная матрица имеет следующий вид.

0 1 -1

-1 0 1 1 -1 0

Решение игры (смешанная стратегия) очевидно из симметрии задачи: каждую стратегию обоим игрокам рекомендуется применять в 1/3 всех случаев, при этом средний выигрыш будет приближаться к нулю. Верхняя и нижняя цены игры реализуются при применении любой стратегии.

Возможна альтернативная формулировка условия этой игры. У двух игроков – по три карты: «Камень», «Ножницы», «Бумага». Они кладут по одной карте перед банкиром, который открывает карты и выдает выигрыш. Игра является справедливой.

Орлянка

Два игрока договариваются о том, кто из них получит выигрыш в случае выпадения «орла» (герба) монеты, а кто – при выпадении «решки» (аверса). После броска монеты соответствующий игрок получает выигрыш.

Так как результат игры для каждого игрока зависит не от воли другого игрока, но от результата, получаемого при броске монеты, данную игру следует считать двумя связанными «играми с природой». Проигрыш второго игрока равен выигрышу первого, полностью определяется им и отдельно не рассматривается.

Первый игрок имеет две стратегии: назваемые (по договоренности со вторым игроком) «Орел» (стратегия АО) или «Решка» (стратегия АР). Стратегии «Природы» обозначим, соответственно, ПО и ПР. Тогда платежная матрица имеет следующий вид

1 -1

-1 1

Если считать монету симметричной и вероятности стратегий

(,)

xI xI

DxI

−>





≤



() (,)() ( )() .

MD I D x I f x dx x I f x dx

+∞

−∞ −∞

= = −

∫∫

(,)

P xI

Ix xI





−≤



() (,)() ( )() .

MP I P x I f x dx I x f x dx

+∞ +∞

−∞

= = −

∫∫

«Природы» одинаковыми, то решение игры (смешанная стратегия) – каждую стратегию игроку рекомендуется применять в половине всех случаев, при этом средний выигрыш будет приближаться к нулю.

Разумные запасы

На складе находится резерв товара I единиц. Спрос на товар – случайная величина, которая характеризуется непрерывной функцией распределения f(x), где х – количество товара, которое может быть запрошено со склада. При отсутствии товара фирма терпит убыток, хранение излишних запасов также невыгодно. Требуется определить приемлемое количество товарного резерва из следующего условия: средний дефицит не должен превосходить величины А1, а профицит – величины А2, которые можно связать со средними убытками от дефицита и профицита.

Данная игра является «игрой с природой», поведение которой характеризуется непрерывной функцией. Построим функцию величины дефицита, как зависимости от значения I

Математическое ожидание величины платежа определяется с помощью известной функции распределения

Аналогично определяем функцию величины профицита и математическое ожидание этой величины, как зависимости от значения I

В итоге, подбираем значение товарного запаса I, удовлетворяющее следующим неравенствам (или показываем, что выдвинутые требования слишком жесткие и противоречат друг другу)

() ; () .

MD I A MP I A

≤

 

≤



Данная задача естественным образом обобщается на случай дискретных случайных величин, где нужно построить две вспомогательные функции распределения – для величин дефицита и профицита, а для вычисления математических ожиданий используется суммирование. Так как однотипные суммирования (вычисления линейных комбинаций вектора, содержащего вероятности всех возможных запросов х со значениями величины P(I, x) = (I – x)) приходится проводить многократно, для этой работы полезно использовать средства автоматизации вычислений.

Срочная продажа

Фирма, торгующая кондитерскими изделиями, имеет возможность закупить некоторое количество товара (коробками) и продавать его в течение дня, имея прибыль от разницы в закупочной (оптовой) и розничной цен, но весь нераспроданный за день товар должен быть утилизирован. Спрос на товар подчиняется дискретному закону распределения

X 1 2 3 4 5 6

P(X) 0,1 0,2 0,25 0,2 0,2 0,05

Закупочная цена – 2 у. е. за коробку, выручка при розничной продаже – 3 у. е. за тот же объем товара. Требуется определить оптимальное количество закупаемого товара.

Данная игра является игрой «с природой», так как действия одной из сторон определены лишь вероятностью проявления. Возможные стратегии активного игрока – закупать от ноля (это соответствует отказу от деятельности) до шести коробок товара в день. Величина выигрыша определяется как разность между выручкой и затратами на закупку товара

X 1 2 3 4 5 6

P(X) 0,1 0,2 0,25 0,2 0,2 0,05

1 3 – 2 3 – 2 3 – 2 3 – 2 3 – 2 3 – 2

2 3 – 4 6 – 4 6 – 4 6 – 4 6 – 4 6 – 4

X 1 2 3 4 5 6

P(X) 0,1 0,2 0,25 0,2 0,2 0,05

3 3 – 6 6 – 6 9 – 6 9 – 6 9 – 6 9 – 6

4 3 – 8 6 – 8 9 – 8 12 – 8 12 – 8 12 – 8 5 3 – 10 6 – 10 9 – 10 12 – 10 15 – 10 15 – 10 6 3 – 12 6 – 12 9 – 12 12 – 12 15 – 12 18 – 12

Таким образом, получаем матрицу выигрышей

X 1 2 3 4 5 6

P(X) 0,1 0,2 0,25 0,2 0,2 0,05

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 -1 2 2 2 2 2 3 -3 0 3 3 3 3 4 -5 -2 1 4 4 4 5 -7 -4 -1 2 5 5 6 -9 -6 -3 0 3 6

Решение задачи осуществляется с помощью приемов, описанных в разделе «Игры с природой», и предоставляется читателю в качестве упражнения.

Доверяй, но проверяй

Проверка файловой системы на наличие повреждений и вирусов, восстановление информации требуют некоторых затрат, однако потери информации как результат вредоносной активности вирусов может влечь большие затраты (хотя в данной фирме этого пока этого не произошло). Рассматриваются возможные варианты состояния ЭВМ: вирусы и поврежденные файлы отсутствуют с вероятностью 80 %; вирусы есть, но еще не успели произвести разрушения – с вероятностью 20 %. Требуется принять решение о целесообразности полной проверки, либо частичной проверки, либо отказа от проверки файловой системы ЭВМ.

Данная игра является «игрой с природой», так как отсутствует определенность в оценке состояния ЭВМ до проведения каких-либо действий по проверке. Для формализации игры и учета всех рисков дополняем рассматриваемую группу возможных событий: третье состояние – в результате вирусной активности уже потеряна информация, и связанные с такой ситуацией затраты можно сравнивать

с затратами на проведение проверки. Таким образом, получаем ма-

( ), ;

()

(, ) , ;

p dp p p

p dp

П pp p p

⋅<

 

⋅



= =

 

 

1 11 2

112 1 2

()

(, ) , ;

( ), .

p dp

П pp p p

pdppp

 

⋅



= =

 

⋅>

 

212 1 2

2 21 2

трицу с тремя стратегиями «природы» и тремя стратегиями активного игрока, которую можно анализировать способами, описанными в разделе «Игры с природой» (r

– положительные величины плате-

жей во всех сочетаниях поведения игрока и природы)

П1 П2 П3

80 % 20 % 0

А1 r А2 r А3 r31 = 0 r

Дуополия и ценовая конкуренция

Каждый из двух продавцов некоего товара может назвать свою цену (р1 и р2) на этот товар, причем подразумевается, что покупатели приобретут товар у продавца, назвавшего меньшую цену, либо спрос распределится поровну между продавцами при равенстве названных цен. Функция спроса (зависимость количества проданного товара от его цены) обозначается d(p). Тогда функция выигрыша первого игрока (первого продавца) равна величине его прибыли

Функция выигрыша второго игрока (второго продавца) аналогична

Игра имеет бесконечно много решений, она не является антагонистической: в зависимости от конкретного вида функции спроса на товар возможны согласованные действия продавцов на рынке (чему обычно препятствует государственная антимонопольная политика).

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]