Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория игр. Учебное пособие
.pdf
Решение
min(max( )) min( ; ; ; ) .
ij
j
i
aβ= = =7969 6
1. В каждом столбце найдем максимальное значение.
В1 В2 В3 В4 Расшифровка
А1 2 3
А2 -2 -4
А3 7 5
А4 -1 6
А5 6 9
a
max( )
i
ij
7 9
5
-2
0
1
6
6
9 β
7 β
-3 β
2 β
3
9
= max(2; -2; 7; -1; 6) = 7;
1
= max(3; -4; 5; 6; 9) = 9;
2
= max(5; -2; 0; 1; 6) = 6;
3
= max(9; 7; -3; 2; 3) = 9.
4
2. Вычислим минимакс
Найденное значение реализуется при выборе третьей стратегии
В3 Плательщика (она выделена в таблице).
Ответ: наиболее выгодной для Плательщика (при однократной
игре) является стратегия В3, так как при любом выборе Получателем
его стратегии величина выплаты составит β = 6 или меньше.
Пример 7. (игра, имеющая решение в чистых стратегиях). Требуется найти наиболее выгодные стратегии игроков, если дана платежная матрица.
А1 6 5 9
А2 -2 -2 7
А3 7 0 -3
Решение
1. Определим наименьшие значения в строках и наибольшие зна-
чения в столбцах матрицы.
А1 6
А2 -2 -2 7 -2
А3 7 0 -3 -3
max( )
a
ij
i
В1 В2 В3
В1 В2 В3
5
7
5
9
9
min( )
a
j
5
ij
31
2. Вычислим максимин и минимакс
max(min( )) max( ; ; )
ij
j
i
aα= = − − =5235
min(max( )) min( ; ; )
ij
j
i
aβ= = =759 5
(реализуется при выборе Получателем стратегии А1),
(реализуется при выборе Плательщиком стратегии В2).
3. Так как α = β, определим цену игры ν = α = β = 5.
Ответ: наиболее выгодная стратегия Получателя – А1; наиболее
выгодная стратегия Плательщика – B2.
Интерпретация результата: получатель, выбирая стратегию А1
(т. е. строку № 1), гарантирует результат игры ν ≥ 5. С другой стороны, Плательщик, выбирая стратегию В2 (т. е. столбец № 2), гарантирует результат игры ν ≤ 5. Таким образом, цена игры ν = 5 совпадает
с верхней и нижней ценами игры. Никакая смешанная стратегия не
принесет пользы ни Получателю, ни Плательщику: любое использование Получателем стратегий А2 и А3 (при сохранении Плательщиком стратегии В2) не выгодно Получателю, но и любое использование Плательщиком стратегий В1 и В3 (при сохранении Получателем
стратегии А1) не выгодно Плательщику.
Чистые и смешанные стратегии игроков. Установление ситуаций,
когда задача имеет решение «в чистых стратегиях»
Из рассмотрения предыдущих задач (см. примеры 6а, 6б и 7) видно, что Получатель может добиться гарантированного результата
игры не меньше, чем α, а Плательщик – не больше, чем β. С другой
стороны, из определения величин следует, что α ≤ β. Таким образом,
при точном равенстве между верхней и нижней ценами игры ожидается постоянный выбор игроками наиболее выгодных для них стратегий (т. е. игра решается в чистых стратегиях или имеет седловую
точку) независимо от количества актов, и цена игры ν определяется равенством α = ν = β. Активными стратегиями игроков как в однократном, так и в многократном взаимодействии, являются только
те, в которых реализуется цена игры. Сочетание стратегий, реализующих цену игры, является равновесием по Нэшу. Оно обладает важным свойством: одностороннее отклонение любого игрока от такого
сочетания способно лишь ухудшить его результат. Так как цена игры
отражает максимум по своему столбцу, то смена стратегии Получате-
32
лем только уменьшит величину платежа, что ему не выгодно. С другой стороны, так как цена игры отражает минимум по своей строке,
то смена стратегии Плательщиком только увеличит величину платежа, что ему тоже не выгодно. Количество равновесий по Нэшу в платежной матрице определяется количеством сочетаний чистых стратегий, реализующих цену игры.
В остальных случаях, когда верхняя и нижняя цены игры различаются (как в примерах 6а и 6б), часто появляется возможность достижения промежуточного, более выгодного результата ν ≥ α для
Получателя и (или) ν ≤ β для Плательщика в серии многократных
игр. Для этого применяются смешанные стратегии: несколько чи-
стых стратегий используются с разной вероятностью, причем то,
какая именно стратегия будет применяться в следующий раз, игроки держат в тайне.
Теория матричных игр (см. главу 3) помогает определить состав
множества чистых стратегий, образующих смешанную стратегию
т. е. активные стратегии, предсказать вероятности их использования
и ожидаемый средний результат по серии игр (т. е. цену игры ν), но
не отдельный результат в серии. Фактический результат приближается к теоретическому предсказанию при увеличении количества актов
игры и отсутствии утечек информации о выборе стратегий игроками.
33
3. ПРИЕМЫ ПОИСКА СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЙ ИГРОКОВ
В МАТРИЧНЫХ ИГРАХ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ ВЫИГРЫШЕЙ
В предыдущей главе рассмотрены вопросы поиска оптимальных
чистых стратегий игроков, с помощью которых можно добиваться наилучших гарантированных решений в случае однократного взаимодействия между сторонами взаимодействия. Однако если: а) взаимодействия носят многократный характер при б) неизменной платежной
матрице, и в) равновесного сочетания стратегий (его признак –
совпадение нижней и верхней цен игр, см. раздел 2.4.) в этих условиях нет, решение игры существует в смешанных стратегиях. Чистые
стратегии, не менее двух, каждый игрок применяет с некоторой вероятностью, причем то, какая именно стратегия будет применяться
в следующий раз, он держит в тайне. Это позволяет игроку приблизить среднюю величину платежа к значению цены игры ν, причем для
нижней цены игры α, цены игры ν и верхней цены игры β выполняется соотношение α ≤ ν ≤ β, т. е. такая цель – стимул для обоих игроков,
и для Получателя, и для Плательщика. Данная глава посвящена приемам, позволяющим определить как активные стратегии, входящие
в состав смешанных стратегий игроков и применяемые ими с ненулевой
вероятностью, так и числовые значения вероятностей применения активных стратегий, и цену игры ν, – то есть найти полное решение игры.
3.1. Исключение стратегий, заведомо невыгодных
для игроков (по сравнению с другими возможными
чистыми стратегиями)
Применение универсальных приемов (см. далее) поиска смешанных стратегий и цены игры предполагает проведение рутинных
и громоздких вычислительных процедур, существенно зависящих от
количества стратегий, имеющихся у игроков. Поэтому если есть возможность, следует освободить задачу от тех стратегий, которые заведомо не будут использоваться игроками, так как другие стратегии
являются для них более выгодными. Такие стратегии вычеркиваются из платежной матрицы (желательно сохранять обозначения стра-
34
тегий, так как предполагается проверка найденного решения на всей
исходной матрице, а не только на множестве активных стратегий).
Исключение стратегий, заведомо невыгодных для первого игрока
Одна из стратегий Получателя является заведомо невыгодной,
когда находится другая стратегия, дающая большие или равные платежи при любом выборе стратегии Плательщиком. Сравнение удобно организовывать «сверху вниз», сравнивая первую, затем – вторую,
третью (и т. д.) строки со строками, лежащими ниже неё.
Пример 8а (доминирование стратегий Получателя). Для данной
платежной матрицы требуется выявить стратегии, заведомо невыгодные для Получателя (игрока, выбирающего строку), упростить,
если это возможно, платежную матрицу.
В1 В2 В3 В4
А1 6 7 7 5
А2 8 1 6 7
А3 4 -3 4 3
Решение
1. Проведем сравнение стратегий А1 и А2.
В1 В2 В3 В4
6 < 8 7 > 1 7 > 6 5 < 7
Так как знаки неравенств – разные, в этой паре нет заведомо не-
выгодной стратегии (по сравнению друг с другом).
2. Проведем сравнение стратегий А1 и А3.
В1 В2 В3 В4
6 > 4 7 > -3 7 > 4 5 > 3
Так как знаки неравенств – одинаковые, выбор стратегии А1 предпочтителен для Получателя по сравнению со стратегией А3 при любом выборе стратегии Плательщиком. Стратегию А3 (она выделена
в таблице) можно вычеркнуть из платежной матрицы.
А1
6 7 7 5
А2
8 1 6 7
А3
4 -3 4 3
А1
~ А2
6 7 7 5
8 1 6 7
35
Ответ: стратегия А3 является заведомо невыгодной для Получателя и может быть вычеркнута из платежной матрицы как неактивная.
Таким образом, достигнуто упрощение условий задачи.
Исключение стратегий, заведомо невыгодных для второго игрока
Одна из стратегий Плательщика является заведомо невыгодной,
когда находится другая стратегия, дающая меньшие или равные платежи при любом выборе стратегии Получателем. Сравнение удобно
организовывать «слева направо», сравнивая первый, затем – второй,
третий (и т. д.) столбец со всеми столбцами, стоящими правее него.
Пример 8б (доминирование стратегий Плательщика). Для платежной матрицы, данной в примере 3а, требуется выявить стратегии, заведомо невыгодные для Плательщика (игрока, выбирающего столбец), упростить, если это возможно, платежную матрицу.
В1 В2 В3 В4
А1 6 7 7 5
А2
А3
Решение
1. Проведем последовательно сравнение стратегии Плательщика
В1 с другими его стратегиями
А1 6 < 7 6 < 7 6 > 5
А2
А3
8 1 6 7
4 -3 4 3
В1 и В2 В1 и В3 В1 и В4
8 > 1 8 > 6 8 > 7
4 >-3 4 = 4 4 > 3
Так как в первых случаях знаки неравенств – разные, в этих парах
нет заведомо невыгодных стратегий (по сравнению друг с другом).
Так как в последнем случае знаки неравенств – одинаковые, выбор стратегии В4 предпочтителен для Плательщика по сравнению со
стратегией B1 при любом выборе стратегии Получателем.
Упрощаем платежную матрицу, вычеркивая из нее столбец, соответствующий стратегии B1 (он выделен в таблице).
В1 В2 В3 В4 В2 В3 В4
6
8
4
36
7 7 5 7 7 5
1 6 7 ~ 1 6 7
-3 4 3 -3 4 3
Достигнуто упрощение задачи. Обозначения стратегий сохранены.
2. Проведем сравнение стратегий В2 и В3
А1 7 = 7
А2
1 < 6
А3
-3 < 4
Так как знаки неравенств – одинаковые, выбор стратегии В2 предпочтителен для Плательщика по сравнению со стратегией B3 при любом выборе стратегии Получателем. Упрощаем платежную матрицу,
вычеркивая из нее столбец, соответствующий стратегии B3 (он выделен в таблице).
В2 В3 В4 В2 В4
7
1
-3
7
6
4
5 7 5
7 ~ 1 7
3 -3 3
3. Проведем сравнение оставшихся стратегий В2 и В4
А1 7 > 5
А2
1 < 7
А3 -3 < 3
Так как знаки неравенств – разные, в этой паре нет заведомо невыгодных (по сравнению друг с другом) стратегий.
Ответ: стратегии В1 и В3 заведомо невыгодны для Плательщика
и могут быть вычеркнуты из платежной матрицы как неактивные.
Таким образом, достигнуто упрощение условий задачи.
Замечания
По сводным результатам примеров 8а и 8б исходная матрица может быть упрощена с учетом заведомо невыгодных (и поэтому неактивных) стратегий обоих игроков
В1 В2 В3 В4 В2 В4
А1 6 7 7 5 А1 7 5
А2 8 1 6 7 ~ А2 1 7
А3 4 -3 4 3
37
Повторным рассмотрением стратегий Получателя и Плательщика устанавливаем, что дальнейшие упрощения платежной матрицы
на основании парного сравнения рядов платежной матрицы невоз-
1
можны
.
В2 и В4 В2 В4
А1 7>5 А1 и А2 7>1 5<7
А2 1<7
3.2. Графическое сравнение зависимостей результата игры
от вероятности применения игроками чистых стратегий
Применение описанного ниже приема возможно, только если
один из игроков имеет две альтернативные стратегии (т. е. платежная матрица либо имеет только две строки, либо имеет только два
столбца). Данный прием позволяет не только приближенно оценить вероятности применения этой пары стратегий и цену игры,
но и указать ту пару чистых стратегий другого игрока (из бóльшего
их количества), которая составит его смешанную стратегию, т. е.
полностью определить множество активных стратегий в игре. Таким образом проводится упрощение платежной матрицы до размера
m × n = 2 × 2, если этого не произошло при применении предыдущих, более простых приемов выявления отношений доминирования
между стратегиями.
При реализации этого приема используются непрерывные кусочно-линейные платежные функции, однако такую игру можно считать конечной, потому что ее условия по-прежнему задаются платежной матрицей.
Многоактная игра, если известно, что один из игроков имеет лишь
две активные стратегии, допускает следующую интерпретацию на основе теоремы об активных стратегиях. Указанный игрок выбирает вероятности применения двух своих активных стратегий (сохраняя конкретные решения для каждого акта взаимодействия в тайне), а другой
игрок – лишь состав активных стратегий. Полное выявление множества активных стратегий позволяет получить решение игры для обоих игроков, т. е. не только состав, но и вероятности применения активных стратегий. Для неактивных стратегий эти вероятности равны
нулю. В играх с «седловой» точкой лишь пара чистых стратегий, ко-
1
Другая возможность выявления неактивных стратегий показана в п. 3.2.
38
торые являются активными, применяется с вероятностями, равны-
( ) ( ),
B
ax ax a x ax a a a xµ=+=−+=+−
1 11 1 21 2 11 2 21 2 11 21 11 2
1
ми одному; в остальных конечных играх эти вероятности принимают промежуточные значения, дополняющие друг друга до единицы.
Выявление активных стратегий Плательщика
(при наличии только двух альтернатив у Получателя)
Введем обозначения: x1 – вероятность применения Получателем
стратегии А1, т. е. доля случаев, когда Получатель намеревается использовать стратегию А1 в общем количестве проводимых игр. Аналогично, x2 – вероятность применения Получателем стратегии А2;
она непосредственно связана с x1 соотношением x1 + x2 = 1. Например, если в каждой сотне игр Получатель собирается использовать
стратегию А1 63 раза, то x1 = 0,63; стратегия А2 будет использована
37 раз и x2 = 0,37.
Допустим, что Плательщик наряду с другими своими стратегиями
достаточно много раз применяет стратегию В1. Тогда платежи определяются первым столбцом платежной матрицы, средняя величина
µB1 таких платежей может быть вычислена
где a11 и a21 – элементы первого столбца платежной матрицы.
Данная зависимость – линейная, на координатной плоскости (по
оси абсцисс отложена x2, а по оси ординат – средняя величина платежа)
ей соответствует отрезок прямой, соединяющий точки (0; a11) и (1; a21).
Таким образом, каждая стратегия второго игрока отображается одним отрезком на плоскости. Если одна из стратегий является заведомо
невыгодной для Плательщика по сравнению с другой, то весь соответствующий отрезок расположен выше другого отрезка. Отрезки, отвечающие предпочитаемым Плательщиком стратегиям, пересекаются между собой и образуют ломаную кривую, под которой нет других отрезков.
Как и в случае с однократным взаимодействием, Получатель заинтересован в максимизации среднего (по серии игр) наименьшего
из возможных платежей и может использовать для этого выбор вероятности применения своих двух стратегий. Точка (x
ствует одной из точек пересечения отрезков, характеризующих чистые стратегии Плательщика. Гарантией того, что своим выбором
стратегии Плательщик не может уменьшить величину среднего платежа, является наглядный факт: ниже данной точки не расположен
ни один отрезок.
; ν) соответ-
2опт
39
С учетом найденной смешанной стратегии Получателя можно выделить стратегии, которые будут использованы Плательщиком в его
смешанной стратегии – именно соответствующие им отрезки проходят через точку (x
2опт
; ν).
Пример 9а (графическиое сравнение стратегий Плательщика).
Требуется приближенно определить смешанную стратегию Получателя и цену игры, выявить состав смешанной стратегии Плательщика и провести упрощение данной платежной матрицы (без заведомо
невыгодных стратегий).
В1 В2 В3
А1 7 2 8
А2 5 7 4
Решение
1. Найдем точки для построения графика.
x
= 0
2
x2 = 1
В1
(µ = 7 – 2x2)
(0; 7)
(1; 5)
В2
(µ = 2 + 5x2)
(0; 2)
(1; 7)
2. Выполним графическое построение
9
µ(x2)
8
7
B1
6
5
4
3
2
1
0
0 1
40
B2
B3
М
ν
x
2опт
В3
(µ = 8 – 4x2)
(0; 8)
(1; 4)
B2
B1
B3
x
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]