Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и методология организации и проведения научных исследований. Учебное пособие
.pdf
4.3. Методология математического моделирования
Неизвестными являются коэффициенты полинома b0, bi, bij, bii,
которые требуется определить, решив систему несовместных
уравнений. Каждое из этих уравнений представляет собой результаты опыта с определенным сочетанием факторов.
Коэффициенты регрессии вычисляются методом наименьших
квадратов, который в случае многофакторного регрессионного
анализа реализуется в матричной форме с использованием стандартной программы выполнения матричных операций на ЭВМ.
После определения уравнения регрессии устанавливается
его адекватность по критерию Фишера и статистическая значимость коэффициентов (проверка на несоответствие статистической гипотезе равенства этих коэффициентов нулю).
При анализе адекватности возможны следующие варианты:
1. Модель адекватна, и все коэффициенты регрессии статистически значимы – модель может быть использована для различных целей без каких-либо ограничений.
2. Модель адекватна, но часть коэффициентов статистически незначима – модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозов.
3. Если модель адекватна, но все коэффициенты статистически незначимы, то модель полностью считается неадекватной.
Такую модель нельзя использовать.
Задачи регрессионного, корреляционного анализа и целый
ряд других решаются с использованием методов теории планирования эксперимента. В связи с этим рассмотрим основные положения этой теории.
Следует отметить, что применение статистических методов
планирования эксперимента наиболее целесообразно для изучения многофакторных систем. В соответствии с общепринятым
определением под планированием эксперимента (ПЭ) понима
ют процесс установления числа и условий проведения опытов,
-
81
4. Моделирование физических процессов
необходимых и достаточных для решения поставленной задачи
с требуемой точностью.
Характерным для планирования эксперимента является следующее:
● стремление к минимизации общего числа опытов;
● одновременное варьирование всеми переменными, опре-
деляющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам;
● использование математического аппарата, формализую-
щего многие действия экспериментатора;
● выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обосно-
ванные решения после каждой серии экспериментов.
По уровню разработки и сфере использования планирование эксперимента можно рассматривать как науку о его проведении. Задачи, для решения которых может использоваться ПЭ,
чрезвычайно разнообразны: поиск оптимальных условий, построение интерполяционных формул, оценка и уточнение констант теоретических моделей, выбор из множества фактов гипотезы о механизме явлений.
Для иллюстрации ПЭ обычно используется кибернетиче
ская модель в виде «черного ящика», содержимое которого неизвестно. На вход этого ящика поступают факторы, влияющие
на исследуемую физическую величину, имеющую место на выходе из ящика. В дальнейшем исследуемую физическую величину будем называть «параметр». Структура и характер связей
между входными (факторами) и выходными (параметрами) величинами «черного ящика» неизвестны и подлежат определению при решении ряда задач.
В ПЭ используется такое понятие, как «объект исследования», соблюдение требований к которому определяет возможность использования теории планирования эксперимента в каждом конкретном случае. В частности, объект исследования должен
-
82
4.3. Методология математического моделирования
удовлетворять требованию воспроизводимости. Это требование
выполняется, если при многократном повторении опытов получаются результаты с разбросом значений, не превышающим заданной точности. Кроме этого, объект должен позволять производить активный эксперимент, в котором значения факторов
могут быть установлены независимо от значений друг друга.
Такие объекты называются управляемыми.
Имеются определенные требования к параметрам. Основное
требование заключается в том, чтобы параметры были количественными и оценивались числом. Качественные показатели приводятся
к количественным путем использования ранговых и условных показателей. Важным требованием является то, что определенному
сочетанию факторов должно соответствовать одно значение параметра с учетом допускаемой погрешности. Желательно, чтобы параметр был универсальным, допускал проведение эксперимента при
любом сочетании факторов, имел простой смысл, легко измерялся.
При планировании экспериментов факторы, влияющие на
исследуемый процесс, рассматриваются в определенном диапазоне значений, определяемом физической сущностью решаемой задачи. Этот диапазон значений факторов называется факторным пространством. Как правило, проведению эксперимента
предшествует изучение известной априорной информации по
изучаемому явлению и осуществление предварительных исследований, целью которых является установление факторов, влияющих на процесс, и их возможного факторного пространства.
При проведении экспериментальных исследований нельзя
провести опыты путем варьирования всех возможных численных значений факторов – для этого потребуется проведение бес
конечно большого количества опытов. В связи с этим производят эксперименты, в которых факторы варьируются в пределах
ограниченного количества значений. Значение фактора в опыте
-
83
4. Моделирование физических процессов
называется уровнем, а количество таких значений в эксперименте – количеством уровней фактора.
Потребное количество N экспериментов, исходя из условия
проведения опытов при всех возможных сочетаниях уровней
факторов, равно N = Ck, где С – количество уровней, а k – количество факторов.
Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания значений факторов при принятом количестве уровней, называется полнофакторным. При планировании полнофакторных
экспериментов в предположении наличия линейной зависимости исследуемого параметра от действующих на него факторов
количество уровней принимается минимальным – равным 2.
Количество экспериментов в этом случае N = 2k.
В теории планирования эксперимента обычно оперируют
тремя уровнями факторов:
● нижним (минимальное физическое значение фактора);
● верхним (максимальное значение);
● основным (среднее значение).
Кроме этого, используется такое понятие, как «интервал варьирования» – разность между основным уровнем и верхним
или нижним.
Характерным для ПЭ является переход от физических значений факторов к кодированным. Такой подход во многом упрощает процедуры планирования, обработки и анализа результатов
эксперимента. Переход от физических значений факторов к кодированным осуществляется по формуле
(6)
где Xi – кодированное значение фактора; xfi – его физическое значение; xf0 – физическое значение фактора, соответствующее основному уровню; Ji – интервал варьирования.
84
4.3. Методология математического моделирования
При использовании формулы (6) получается, что кодированное значение верхнего уровня равно +1, нижнего –1, а основного 0.
Ниже в табличной форме (для примера) приведены нату
ральные и кодированные значения факторов в случае наличия
четырех факторов.
Важным этапом реализации ПЭ является составление таблицы (матрицы) условий проведения эксперимента. В ней отражаются номера опытов, кодированные уровни факторов в каждом
из них и зафиксированные в ходе опытов результаты. Кроме этого, матрица используется для расчета коэффициентов полинома.
Для этого вводится фиктивный фактор Х0 для нахождения свободного коэффициента полинома и столбец, учитывающий эффект взаимодействия факторов в виде их произведения.
Матрицы планирования эксперимента составляются по определенным правилам и обладают определенными свойствами.
К этим свойствам относятся симметричность относительно центра
эксперимента, условие нормировки и ортогональность матрицы.
Центр эксперимента – это эксперимент со средними (нулевыми кодированными) значениями факторов. Для обеспечения
симметричности относительно центра эксперимента необходимо, чтобы в МПЭ алгебраическая сумма элементов столбца каждого фактора была равна нулю.
Условие нормировки соблюдается в случае, когда сумма ква
дратов элементов каждого столбца равна числу опытов.
МПЭ является ортогональной матрицей, если сумма почленных произведений любых двух столбцов матрицы равна нулю.
Ортогональность плана позволяет получить оценки для коэффициентов уравнения регрессии, независимые друг от друга.
Матрица планирования эксперимента (МПЭ) в предположении
линейной зависимости исследуемого параметра Y от факторов Хi
и наличия эффекта взаимодействия имеет вид, приведенный в табл. 4.
-
-
85
4. Моделирование физических процессов
Матрица планирования 2-факторного эксперимента
Таблица 4
№ п/п
1 +1 +1 +1 +1
2 +1 –1 +1 –1
3 +1 –1 –1 +1
4 +1 +1 –1 –1
Х
0
Х
1
Х
2
Х1Х
2
Y
Y
, S
ср1
21
Y
, S
ср2
22
Y
, S
ср3
23
Y
, S
ср4
24
Из табл. 4.4 следует, что опыты в эксперименте под № 1 следует производить при значениях факторов Х1 и Х2, соответствующих их верхним физическим уровням. Кодированные значения
+1 в этом случае играют только роль признака уровня. Аналогично
определяются условия проведения других экспериментов. В связи со случайным характером параметра Y в каждом эксперименте проводятся параллельные опыты при значениях факторов, соответствующих этому варианту. По результатам параллельных
опытов рассчитываются среднее значение параметра Y
рочная дисперсия S
2
.
j
и выбо-
срj
В случае 2-факторного эксперимента (k = 2) и наличия эффекта взаимодействия факторов полином, аппроксимирующий
линейную зависимость параметра от факторов, имеет вид
= b0 + b1 ∙ X1 + b2 ∙ X2 + b12 ∙ X1 ∙ X2. (7)
Полином по выражению (7) является неполным квадратичным, так как содержит произведение факторов X1 ∙ X2.
Коэффициенты полинома с учетом кодированных значений
факторов Xij рассчитываются по формуле
(8)
86
4.3. Методология математического моделирования
Значение коэффициентов при каждом факторе соответствует
степени влияния конкретного фактора в параметр Y при переходе
фактора с нулевого уровня на верхний или нижний. Удвоенное
значение коэффициента называется эффектом фактора. Эффект
фактора определяет степень влияния фактора при переходе от
нижнего уровня к верхнему. Таким образом, коэффициенты полинома при кодированных переменных служат инструментом
анализа исследуемого процесса.
Потребное количество экспериментов находится в степенной зависимости от числа факторов. При значительном количестве учитываемых факторов объем экспериментальных исследований может оказаться неприемлемо большим по условиям
материальных и временных затрат. В связи с этим, помимо полнофакторного эксперимента, в ПЭ используется дробный факторный эксперимент, позволяющий уменьшить потребное количество экспериментов.
В основе дробного факторного эксперимента лежит полнофакторный эксперимент, в котором эффекты взаимодействия заменены дополнительными факторами. При этом полагается, что
в исследуемом процессе эффекты взаимодействия факторов, которые подлежат замене, на физическом уровне отсутствуют – то
есть происходит формальная замена, которая допускается с точки
зрения математических требований по формированию матрицы
планирования экспериментов и качества получаемых результатов.
В дробном факторном эксперименте факторы разделяются
на основные и факторы, заменяющие эффекты взаимодействия.
Дробный эксперимент типа 2
k – p
означает, что факторы рассматриваются на двух уровнях (основание степенной зависимости
равно 2). Общее количество учитываемых факторов равно k.
При этом р факторов заменяют эффекты взаимодействия (k – p)
основных факторов.
87
4. Моделирование физических процессов
При k = 6 потребное количество полнофакторных экспериментов равно N = 26 = 64. При использовании дробного факторного эксперимента, в котором два фактора заменяют эффекты
взаимодействия основных факторов (р = 2), количество опытов N = 2
6 – 2
= 24 = 16. Таким образом, потребное количество
экспериментов сократилось в 4 раза. Эксперимент, составляющий по объему только часть полнофакторного эксперимента, называется дробной репликой. Существует полуреплика,
1/4 реплики, 1/8 реплики и т. д. В рассматриваемом примере
это 16/64 = 1/4 реплики.
Процедуры дробного факторного эксперимента полностью аналогичны процедурами полнофакторного эксперимента. Вместе с тем имеется существенная особенность, которая
заключается в том, что оценки коэффициентов полинома при
этом виде планирования оказываются смешанными – то есть
на величину коэффициента, определяющего влияние конкретного фактора на исследуемый параметр, оказывают влияние
другие факторы. Это влияние может оказаться существенным,
если фактор заменяет эффект взаимодействия основных факторов, который на самом деле имеет место в исследуемом про
цессе. Такой случай вполне возможен, так как факт наличия
такого взаимодействия на стадии планирования эксперимента
может оказаться неизвестным.
В теории планирования имеется целый раздел, посвященный минимизации ошибок при использовании дробного факторного эксперимента.
При наличии нелинейной зависимости параметра от действующих на него факторов использование двух уровней факторов для определения коэффициентов полинома недостаточно. Количество уровней должно быть как минимум на единицу
больше степени полинома.
-
88
4.3. Методология математического моделирования
Квадратичный полином, используемый в 2-факторном эксперименте в качестве математической модели исследуемого процесса, имеет вид
= b0 ∙ x0 + b1 ∙x1 + b2 ∙ x2 + b12 ∙ x1 ∙ x2 + b11 ∙ + b22 ∙ . (9)
Создание планов проведения экспериментов на трех и более
уровнях приводит к необходимости проведения большого количества опытов. Кроме этого, оказываются неиспользованными
результаты предыдущих экспериментов, в которых рассматривалась линейная модель процесса. Дело в том, что, как отмечалось ранее, неизвестная математическая модель процесса ищется методом подбора. Вначале рассматривается линейная модель.
Если она оказывается неадекватной, то используются нелинейные полиномы.
Для разрешения указанного противоречия при рассмотрении
нелинейных зависимостей используются центральные композиционные планы (ортогональные или ротатабельные). В некоторых случаях, когда сразу предполагается нелинейный характер
исследуемого процесса, рациональным может оказаться использование некомпозиционных планов при варьировании значениями факторов на трех уровнях.
Центральные композиционные планы базируются на использовании линейных планов, к которым добавляются дополнительные (звездные) точки, позволяющие учесть нелинейность
параметра.
Преимуществом центральных ортогональных планов является то, что все коэффициенты модели определяются независимо
друг от друга по достаточно простым формулам. Вместе с тем эти
планы имеют существенный недостаток, заключающийся в том,
что статистические оценки коэффициентов уравнения регрессии находятся с неодинаковой дисперсией. Это обстоятельство
89
4. Моделирование физических процессов
предопределяет то, что точность предсказания выходной величины в различных направлениях факторного пространства получается неодинаковой.
Композиционные центральные ротатабельные планы лишены недостатка ортогональных планов относительно того, что точность предсказания выходной величины в различных направлениях факторного пространства одинакова. Недостатком этих планов
является более сложное определение коэффициентов полинома.
В отечественной научной и учебной литературе имеется масса
источников по вопросам применения обоих методов планирования
эксперимента для решения различных практических задач [29–32].
Наиболее часто теория планирования эксперимента используется для решения оптимизационных и аппроксимационных задач. В связи с этим рассмотрим общие положения по вопросам
нахождения оптимума исследуемого параметра и нахождения
уравнения регрессии, аппроксимирующего поведение исследуемого параметра в рассматриваемом факторном пространстве.
Задачи оптимизации связаны с нахождением такого соотношения факторов, при котором исследуемый параметр приобретает максимальное (или минимальное, в зависимости от решаемой задачи) значение в пределах рассматриваемого факторного
пространства. Рекомендуется, чтобы параметр был единственным, хотя в аппарате планирования экспериментов имеются различные методы решения оптимизационных задач при наличии
нескольких выходных величин.
При использовании теории планирования эксперимента экстремальные значения параметра, подлежащего оптимизации, находятся путем пошагового выполнения опытов по определенным алгоритмам.
Наиболее простым является координатный способ. При реализации этого способа производятся опыты с изменением зна-
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]