Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и методология организации и проведения научных исследований. Учебное пособие
.pdf
4.3. Методология математического моделирования
разце. Количество частиц добавки разных фракций в объеме стандартного образца велико, что требует большого объема оперативной памяти при решении поставленной задачи на ЭВМ. В связи
с этим рассматривались расчетные образцы материала с объемом, позволяющим разместить минимальное количество частиц
каждой группы фракций. При таком подходе сохранялись упругие свойства бетонной композиции. На рис. 1 приведены результаты реализации этого этапа.
3. Передачу разработанных геометрических моделей третьей группы с наиболее мелкими фракциями добавки в програм
му ANSYS WORKBENCH. В программе, имеющей соответствующий инструментарий, производится автоматическая разбивка
расчетной модели на пространственные конечные элементы.
На рис. 2 приведена полученная конечно-элементная имитационная модель исследуемого материала.
-
а) б) в)
Рис. 1. Геометрические модели бетонного образца с добавкой
пенополистирола в количестве 16,73 %:
а – для группы с мелкими фракциями добавки;
б – со средними; в – с крупными
Физические свойства компонентов бетонной композиции
учитывались путем задания их модулей упругости и коэффициентов Пуассона. При этом песчано-цементная композиция с ее
71
4. Моделирование физических процессов
упругими характеристиками рассматривалась как сплошная сре
да, окружающая частицы пенополистирола.
Рис. 2. Конечно-элементная модель бетонной композиции.
Картина общих перемещений в сечении образца (куба)
исследуемого материала
-
Далее производится статический расчет, целью которого
является определение модуля упругости бетонной композиции,
содержащей демпфирующую добавку в виде частиц пенополистирола. Модуль упругости рассматриваемого композита определяется по формуле
(2)
72
4.3. Методология математического моделирования
где Е3 – модуль упругости композита с пенополистиролом фракций третьей группы; Еb – модуль бетона; Ub – среднее значение
вертикальных перемещений четырех вершин куба, лежащих на
грани, по которой передается распределенная нагрузка куба из
бетона без пенополистирола.
Полученное значение Е3 используется в качестве модуля упругости сплошной среды расчетного образца с частицами фракций
пенополистирола второй расчетной группы.
4. Определение модулей упругости расчетных образцов второй и первой групп, содержащих, соответственно, добавки пенополистирола с частицами средних и крупных фракций. Расчет
этих модулей производится путем выполнения процедур, аналогичных описанным выше, в пункте 3. Результатом всех приведенных вычислений является модуль упругости исследуемой бетонной композиции, который учитывает влияние на упругие свойства
образца частиц пенополистирола всех имеющихся фракций.
5. Создание средствами программы Modal WORKBENCH
имитационных математических моделей исследуемого материала
с различным содержанием добавки для расчета собственных частот и форм упругих колебаний. На рис. 3 приведены некоторые
результаты расчета для бетонной композиции с добавкой пенополистирола в размере 5,7 %. Конечным результатом этих расчетов являются низшие собственные частоты расчетных образцов
с различным содержанием добавки в виде пенополистирола.
6. Расчет по формуле (1) динамических модулей упругости
материала при различном содержании добавки.
В табл. 2 приведены расчетные данные, полученные в ходе
моделирования бетонных композиций с содержанием полистирола 5,7 и 16,73 %.
73
4. Моделирование физических процессов
Рис. 3. Результаты расчета собственных частот и форм колебаний
расчетного образца в программе Modal WORKBENCH
Таблица 2
Основные результаты расчетов
Содержание добавки
Параметры
5,7 % 16,73 %
Модуль упругости бетона, Па 2,3 ∙ 10
10
2,3 ∙ 10
Модуль упругости с добавкой мелких фракций, Па 2,27 ∙ 10102,21 ∙ 10
Модуль упругости с добавкой средних фракций,
Па
2,24 ∙ 10
10
1,9 ∙ 10
74
10
10
10
4.3. Методология математического моделирования
Окончание табл. 2
Параметры
Коэффициент Пуассона 0,2 0,2
Размер стороны куба, м 0,1 0,1
Плотность, Н/м
Низшая частота собственных колебаний, Гц 3437,5 3334,4
Динамический модуль упругости, Па 3,05 ∙ 10102,42 ∙ 10
3
Содержание добавки
5,7 % 16,73 %
21 500 18 150
10
Анализ результатов выполненных расчетов показывает, что
динамические модули упругости отличаются от исходных статических в пределах 21,5–26,5 %, что хорошо согласуется с известными данными в отношении исследуемых параметров. С увеличением добавки в бетонную композицию пенополистирола
динамический модуль упругости уменьшается за счет уменьшения плотности и частоты собственных продольных колебаний,
что также соответствует физике процесса. Эти обстоятельства
позволяют сделать вывод о достоверности изложенного алгоритма и возможности его использования при проектировании бетонных композиций методом имитационного моделирования [28].
4.3.2. Статистические
и теоретико-вероятностные модели
Под статистической, или теоретико-вероятностной, мо-
делью понимается модель, в которой рассматриваются влияния
75
4. Моделирование физических процессов
случайных факторов на исследуемые параметры рассматриваемой системы. Эта модель используется при оценке стабильно повторяющихся явлений и позволяет учитывать характер распределения случайных величин, оказывающих влияние на поведение
системы. В сложных процессах, связанных с действием факторов различной природы, теоретико-вероятностные и статистические модели являются единственно возможными [26].
Возможно и другое построение модели, при котором действующие факторы носят неслучайный характер, а случайным
является исследуемый параметр системы.
Инструментами рассматриваемых моделей являются методы
математической статистики и теории вероятности. Для обработки результатов статистических наблюдений используются методы корреляционного, регрессионного и иных видов анализа, ко
торые оперируют определенными статистическими гипотезами.
Особое место среди них занимает метод статистических испытаний – метод Монте-Карло. Под этим методом понимается численный метод решения математических задач посредством моделирования случайных величин. Большой интерес в инженерных
и научных исследованиях представляет собой решение задач методом Монте-Карло, в которых известны физические закономерности исследуемых процессов с наличием факторов, имеющих
случайный характер. Обычно целью решения таких задач является определение вида и параметров физической величины, подлежащей исследованию [26].
Моделирование по методу Монте-Карло содержит три этапа:
1) разработку и ввод в ЭВМ моделирующего алгоритма;
2) генерирование входных случайных величин с заданными
функциями и параметрами распределения и многократное повторение численных опытов;
3) статистическую обработку результатов моделирования.
-
76
4.3. Методология математического моделирования
Рассмотрим конкретный пример. Требуется установить закон распределения несущей способности балки на двух опорах
с учетом вероятностного характера свойств материала и параметров конструкции.
Решение этой задачи достигается путем проведения многократных расчетов по детерминированной зависимости критического значения нагрузки от указанных факторов с подстановкой
в каждом варианте расчета случайных значений этих факторов,
полученных с учетом закона их распределения. Результаты расчета подлежат статистической обработке с установлением математического ожидания и дисперсии.
Аналитически несущая способность балки аппроксимиру
ется выражением
(3)
где Ркр – критическое значение сосредоточенной силы, превышение которой приводит к разрушению конструкции, H; W – момент сопротивления сечения балки, м3; σТ – предел текучести стали, МПа; l – расстояние от точки приложения силы до опоры, м.
Нагрузка приложена посередине балки. В приведенном выражении предел текучести стали и момент сопротивления сечения являются случайными величинами. Известны их эмпирические распределения в виде интервальных рядов и гистограмм.
На рис. 4, приведенном ниже, для примера показана гистограмма предела текучести стали.
Для моделирования эмпирического распределения предела текучести стали составляется табл. 3, приведенная ниже. Интервалы
накопленных частостей в этой таблице имеют разную ширину,
пропорциональную частостям. Аналогичная таблица составляется и для момента сопротивления сечения.
-
77
4. Моделирование физических процессов
Рис. 4. Гистограмма предела текучести стали
Алгоритм статистических испытаний, реализуемый на ЭВМ,
сводится к следующему. При помощи датчика случайных чисел
он вырабатывает равномерно распределенное случайное число,
значение которого находится в пределах от нуля до единицы.
Это число попадает в один из интервалов накопленных частостей (см. табл. 3). Для расчета по детерминированной зависимости (3) выбирается значение предела текучести, соответствующее интервалу, в который попало случайной число. Аналогично
выбирается значение момента сопротивления.
Таблица 3
Расчет интервалов накопленных частостей
Середины интервалов Частости Интервалы накопленных частостей
382 0,01 0 ≥ 0,01
388 0,075 0,01 ≥ 0,085
394 0,2 0,085 ≥ 0,285
400 0,4 0,285 ≥ 0,685
406 0,2 0,685 ≥ 0,885
412 0,1 0,885 ≥ 0,985
418 0,015 0,985 ≥ 1,0
78
4.3. Методология математического моделирования
За счет разной ширины интервалов накопленных частостей
реализуется вид эмпирического распределения: чем шире интервал, тем больше вероятность попадания в него случайного числа, вырабатываемого датчиком.
После каждого варианта расчета с учетом предыдущих результатов производится определение среднего значения и дисперсии несущей способности балки. Их значения сопоставляются со значениями, полученными в предыдущем варианте. Расчет
производится до тех пор, пока разность между текущими и предыдущими значениями указанных параметров не станет меньше наперед заданной точности вычислений.
Далее строится интервальный ряд несущей способности
балки и графическое его отображение в виде гистограммы – искомого распределения.
Рассмотрим математические модели, получаемые по результатам обработки результатов эксперимента методом регрессионного анализа.
Ключевыми вопросами регрессионного анализа являются:
1) установление уравнения регрессионной связи между ис-
следуемым параметром объекта или процесса Y и факторами хi;
2) анализ адекватности полученного уравнения регрессии
и статистической значимости его коэффициентов.
Математическая формулировка задачи регрессионного анализа следующая. Необходимо найти зависимость
(4)
где – исследуемый параметр (выходная характеристика); x1,
x2, … xk – значения факторов.
Значения и хi измеряют в процессе эксперимента, и при
анализе они уже известны. Однако вид их функции связи (математическая модель) до опыта неизвестен и должен быть найден
79
4. Моделирование физических процессов
по опытным данным. При этом имеется в виду, что на то, какое значение примет , влияют не только значения x1, x2, … xk,
но и ряд различных неуправляемых факторов, включая погрешности измерений. Знак « » означает, что между факторами x1,
x2, … xk и параметром Y нет строгой функциональной зависимо-
сти. Параметр Y является случайной величиной и для выборки
представляет собой зависимость среднего значения, а для генеральной совокупности – зависимость математического ожидания параметра М(Y) от действующих факторов.
Рассматривается активный эксперимент, в котором факторы
x1, x2, … xk являются неслучайными величинами. Их значение
устанавливается и реализуется при проведении эксперимента
неза висимо друг от друга в пределах принятых значений рассматриваемого факторного пространства. Для получения математической модели исследуемого процесса необходимо произвести
опыты в определенных точках факторного пространства с координатами x1i, x2i, … x
. При наличии предполагаемой нелинейной
ki
зависимости каждый фактор варьируется на трех уровнях – минимальном, среднем и максимальном. В эксперименте проводятся опыты при всех возможных сочетаниях значений факторов.
Вид функции неизвестен, и ее ищут методом подбора.
В качестве такой функции выбирают отрезок полинома, существующий в пределах рассматриваемого факторного пространства. Подбор функции, отвечающей исследуемому процессу,
осуществляется путем учета или исключения членов полинома.
Полином в общем виде:
(5)
Как отмечалось ранее, значения факторов хi известны,
так как они устанавливаются при проведении эксперимента.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]