Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория и методология организации и проведения научных исследований. Учебное пособие
.pdf
4.2. Основы физического моделирования
Механическое движение происходит под действием сил, для
установления соотношения между которыми в модели и объекте
вводится понятие динамического подобия. Для обеспечения динамического подобия требуется, чтобы в протекающих процессах
объекта и модели силы находились в постоянном соотношении.
При проведении экспериментов необходимо обеспечить равенство комплексов подобия (критериев подобия) натуры и модели. Центральным вопросом моделирования в этом случае является вопрос о нахождении критерия подобия, который определяет
характер исследуемого процесса. Ответ на этот вопрос дают основные теоремы подобия.
В соответствии с первой теоремой (теоремой Ньютона и Бертрана) явления подобны, если у них одинаковы критерии (инварианты) подобия. Критерии подобия представляют собой безразмерные соотношения физических величин реального процесса
и модели.
По второй теореме подобия (теореме Букингэма) основное
уравнение физического процесса может быть представлено зависимостью между критериями подобия, которые получены из
уравнения этого процесса.
Третья теорема подобия (теорема М. В. Кирпичева и А. А. Гух ма на) определяет условия создания подобия. В соответствии
с этой теоремой для создания подобия необходимо соблюдать
пропорциональность сходных физических величин, входящих
в равенство критериев подобия сопоставляемых процессов,
и одинаковость (однозначность) условий, не зависящих от характера моделируемого процесса. К этим условиям относятся
(например, для механических систем) физические параметры
среды и тел, образующих объект, начальное состояние системы, граничные или краевые условия, взаимодействие объекта
и внешней среды и др.
61
4. Моделирование физических процессов
Часто исследуемые процессы описываются системой дифференциальных уравнений. Необходимым условием подобия
модели и оригинала в этом случае является одинаковый вид системы уравнений. При этом, кроме сходства систем уравнений,
нужно соблюсти требования однозначности.
Как отмечалось, критерии подобия представляют собой безразмерные комбинации физических величин, описывающих процессы в модели и реальном объекте. Критерии подобия принято
обозначать буквой π. Кроме рассмотренных, существует π-теорема.
В соответствии с π-теоремой процесс, характеризующийся физическими величинами m, для выражения размерностей которых
используется k основных метрологических единиц, может быть
описан (m – k)-критериями подобия, составленными из этих величин. Из теоремы следует, что уравнения, описывающие физические процессы, могут быть представлены уравнениями связи
между критериями подобия. Кроме этого, число независимых критериев равно (m – k). Это число меньше числа размерных физиче-
ских переменных на число основных единиц, что создает предпосылки к уменьшению объема экспериментальных исследований.
Конкретные примеры вывода критериев подобия при модели ровании строительных конструкций можно посмотреть на следующем
сайте: https://studizba.com/lectures/154-stroitelstvo/2486-obsledovaniei-ispytanie-zdanij-i-sooruzhenij/46315-8-osnovy-modelirovanijastroitelnyh-konstrukciji-i-sooruzhenij.html/
4.3. Методология
математического моделирования
Процесс создания математической модели начинается с изучения реального процесса. Результатом этого изучения является
62
4.3. Методология математического моделирования
описание объекта исследования с представлением выявленных закономерностей. Описание служит основой для постановки задачи
исследования, которая определяет цели моделирования. На этом
этапе устанавливается перечень учитываемых параметров, искомые величины, а также требуемая точность результатов вычислений. Постановка задачи может быть выражена в словесной
форме, без какой-либо математической формулировки [23, 24].
По результатам проведенного исследования, с учетом поставленной задачи, разрабатывается формализованная схема, которая
предшествует созданию математической модели. Формали зованная схема может представлять собой, например, блок-схему,
быть выраженной в графической или словесной форме. Обязатель ным требованием при этом является наличие характеристик процесса, системы параметров, зависимостей между параметрами реального объекта и математической формулировки
задачи исследования.
Следующим этапом создания математической модели является трансформация формализованной схемы в алгоритм решения
поставленной задачи в виде соотношений и логических условий,
записанных в аналитической форме. Разработанная математическая модель подлежит обязательной проверке на адекватность,
то есть на ее соответствие исследуемому процессу.
Использование созданной математической модели изучаемого процесса обычно связано с определением искомых параметров при заданных условиях. Важным преимуществом в этом
случае является возможность реализации различного сочетания
исходных условий, предусмотренных алгоритмом.
Важным вопросом использования математической модели является интерпретация получаемых результатов. Правомерная интерпретация результатов зависит от степени адекватности описа
ния объекта и полученной на его основе математической модели.
-
63
4. Моделирование физических процессов
Применение вычислительной техники для реализации разработанного алгоритма решения поставленной задачи позволяет произвести исследование процесса при различном варьировании внутренними параметрами объекта и внешними факторами
окружающей среды для получения различных условий, включая
те, которые не реализуемы в натурных экспериментах.
Существует следующая классификация математических мо
делей, критериями которой является природа моделируемых процессов и применяемые математические методы:
● линейные или нелинейные (по виду функции, аппрокси
мирующей исследуемый процесс);
● стационарные или нестационарные (в зависимости от вре-
менного фактора);
● непрерывные или дискретные (в зависимости от вида изу-
чаемой физической величины);
● детерминированные или стохастические.
Под детерминированной математической моделью понимается модель, содержащая однозначное математическое описание
в виде аналитических зависимостей или вычислительных алгоритмов, с помощью которой при одних и тех же исходных данных получается один и тот же результат.
Стохастические математические модели описывают поведение физической величины, изменяющейся случайным образом
в некотором диапазоне значений.
-
-
4.3.1. Детерминированные математические модели
Примером создания детерминированных математических моделей может служить исследование различных физических процессов на основе метода конечных элементов (МКЭ).
64
4.3. Методология математического моделирования
Сущность МКЭ заключается в следующем [25]:
1. Сплошная среда разбивается на конечные элементы (КЭ),
взаимодействующие друг с другом только в узлах.
2. Конечные элементы различной формы, включая пространственные, аппроксимируются матрицами жесткости, которые
представляют собой реакции в узлах при единичных узловых
перемещениях с учетом свойств среды.
3. В соответствии с принятой разбивкой сплошной среды
на конечные элементы производится формирование общей матрицы жесткости.
4. Далее учитываются связи, наложенные на рассматриваемую систему. Эта процедура осуществляется путем вычеркива
ния строк и столбцов общей матрицы жесткости, соответствующих запрещенным перемещениям.
5. Формируется грузовой вектор, аппроксимирующий внешние воздействия на рассматриваемую систему.
6. Производится решение системы алгебраических уравнений. В результате определяются узловые перемещения от внешних воздействий.
7. Далее с использованием матриц жесткости конечных элементов рассчитываются параметры сплошной среды внутри КЭ
(например, напряженно-деформированное состояние при решении задач механики деформируемого твердого тела).
Существует множество программных продуктов, позволяющих решать задачи МКЭ. К наиболее популярным относятся такие продукты, как: ANSYS, ELCUT, COMSOL и др.
Программные продукты ANSYS могут быть классифицированы на основе физических дисциплин и инженерных приложений, на которые они ориентированы:
● вычислительная гидродинамика;
● механика деформируемого твердого тела;
-
65
4. Моделирование физических процессов
● электромагнетизм;
● тепловой анализ.
Рассмотрим пример создания детерминированной математической модели – определение динамического модуля упругости бетонной композиции методом имитационного моделирования [28].
Целью разработки имитационных математических моделей
являлось установление качественной картины влияния количества демпфирующих добавок (пенополистирола, керамзитового
порошка, кирпичной крошки, пеностекла) в составе бетонной
композиции на ее способность к восприятию как статических,
так и динамических нагрузок.
В соответствии с общей методологией разработки матема
тических моделей, изложенной выше, необходимо на основании
исследования процесса динамического нагружения бетонных
композиций создать его описание, объясняющее закономерности рассматриваемого явления.
В качестве исходного материала в данном примере использованы результаты экспериментальных исследований, приведенные
в трудах отечественных ученых. В качестве основополагающей
закономерности принята гипотеза о том, что скорость нагружения непосредственно влияет на прочностные свойства бетона. Это обстоятельство установлено многими исследователями.
Общепринятым фактом является то, что прочность бетонных образцов повышается с увеличением скорости изменения нагрузки.
Ученые выдвигают разные гипотезы, объясняющие это явление. Академик Ю. М. Баженов объясняет динамическое упрочнение бетона при высокоскоростном ударе его инерционными
свойствами тем, что для образования сплошной поверхности разрушения требуется время. В связи с этим он полагает, что с умень
шением времени действия нагрузки требуются большие, по срав-
-
-
66
4.3. Методология математического моделирования
нению со статическим нагружением, напряжения, необходимые
для разрушения материала в результате развития микротрещин.
Увеличение прочности бетона при ударе, по мнению А. А. Гвоз де ва, связано с эффектом «обоймы», который заключается в том,
что происходит сдавливание материала исследуемого образца,
сопровождающееся развитием больших деформаций в направлении действия нагрузки и малым объемом микроскопических
разрушений. Эта гипотеза нашла свое подтверждение в работах
Г. Н. Ставрова и В. А. Катаева. Этими учеными экспериментально установлено, что при ударе по бетонному образцу происходит запаздывание поперечных деформаций по длине образца по
сравнению с продольными деформациями. Сравнение производилось с результатами статических испытаний.
В качестве основного критерия, определяющего эффект
упрочнения бетонных образцов при ударе, в настоящее время
принят коэффициент динамического упрочнения. Этот коэффициент определяется как отношение предела прочности образца
бетона при динамическом нагружении к пределу его статической прочности.
Коэффициент динамического упрочнения достаточно просто можно определить экспериментально. Рассмотрим теоретические предпосылки его определения. В качестве основополагающей гипотезы примем, что разрушение материала происходит
при одной и той же относительной деформации материала: как
при ударе, так и при статическом нагружении. В этом случае коэффициент динамического упрочнения будет представлять собой
соотношение модулей упругости материала при ударе и при статическом нагружении.
Применительно ко многим материалам и бетонным композициям в том числе установлено, что модуль упругости при
действии ударной нагрузки увеличивается. Это обстоятельство
67
4. Моделирование физических процессов
позволяет ввести такое понятие, как динамический модуль упругости материала.
Динамический модуль упругости, в соответствии с современным воззрениями, представляет собой физическую константу,
которая устанавливает связь между средней плотностью бетона,
коэффициентом Пуассона и скоростью распространения волновых процессов. Известна формула для расчета этого модуля [27].
Динамический модуль упругости в случае продольных колебаний определяется по формуле
(1)
где F – площадь сечения модели; ρ – плотность материала, н/м3;
l – длина ребра куба (модели); f – собственная частота, Гц; J –
момент инерции сечения модели, м4.
Волновые процессы, возникающие при ударе, могут сопровождаться резонансными явлениями. Наиболее опасным является резонанс, соответствующий наиболее низкой собственной
частоте колебаний образца материала. Таким образом, для того,
чтобы теоретически рассчитать динамический модуль упругости, нужно определить наиболее низкую собственную частоту колебаний образца. Именно это положение легло в основу
разрабатываемой математической модели. Общая идея модели заключалась в имитации свойств образца бетонной композиции с включениями и определении собственных частот такого образца.
В рамках поставленной задачи были выполнены экспериментальные исследования бетонных композиций с добавками
пенополистирола, керамзитового порошка, кирпичной крошки и пеностекла. Указанные добавки обладают демпфирующим
свойством, что, как предполагалось, будет способствовать повышению ударной прочности бетонных образцов.
68
4.3. Методология математического моделирования
Экспериментально определялась зависимость прочностных свойств образцов от количественного содержания добавок
в бетонных композициях. По данным экспериментов выявлено,
что все указанные выше добавки имели в качественном отношении одинаковые зависимости исследуемых параметров. В связи
с этим в качестве объекта теоретического исследования выбрана
наиболее характерная добавка – пенополистирол.
При разработке математической модели сделано следующее
допущение: считалось, что материал работает в пределах закона
Гука, хотя для бетона характерным является нелинейное деформирование. Принятое допущение существенно упростило создание математической модели материала без ущерба возможности
решения поставленной задачи.
В табл. 1 приведен гранулометрический состав пенополистирола.
Таблица 1
Гранулометрический состав пенополистирола
Фракция, мм
5–2,5 2,5–1,25 1,25–0,63 0,63–0,315 0,315–0,14 <0,14
Частные остатки, %
10 35 20 26 8 1
Анализ данных табл. 1 показывает, что размеры частиц пенополистирола внутри каждой фракции представляют собой непрерывные случайные величины, которые изменяются в широких пределах. Воспроизвести все возможные размеры частиц
добавки в пределах фракции при разработке математической модели бетонной композиции достаточно сложно. В связи с этим
принято допущение, в соответствии с которым каждая фракция
69
4. Моделирование физических процессов
представлялась средним размером частиц. Полученные средние
размеры частиц в отдельных фракциях оказались несоизмеримыми с точки зрения их воспроизведения по МКЭ. Критерием
размерной сопоставимости частиц добавки является ограничением программного комплекса ANSYS WORKBENCH по объему
оперативной памяти. Наличие крупных частиц и очень мелких
в одном образце требует более частой разбивки рассчитываемой системы на конечные элементы и, соответственно, большой
оперативной памяти. Для решения этого противоречия фракции
при моделировании были разбиты на три группы с соизмеримы
ми размерами.
При разработке математической модели с использованием МКЭ частицы пенополистирола в каждой фракции аппроксимировались шарами с диаметрами, равными средним разме
рам частиц.
Разработанный алгоритм решения поставленной задачи представляет собой многоэтапную процедуру, которая включает в себя:
1. Расчет размеров и количества частиц добавки для трех
расчетных групп с учетом фракционного состава материала
и его процентного содержания в образце. Расчетная процедура
по определению частиц пенополистирола со средними размерами каждой из фракций заключалась в следующем. Определялось
объемное содержание пенополистирола в опытном образце. Этот
объем распределялся по фракциям. Далее рассчитывались объемы шаров со средними размерами частиц во фракциях. Делением
объема пенополистирола, приходящегося на фракцию, на объем
шара с размером частиц этой фракции определялось количество
частиц в расчетной модели.
2. Создание с использованием программы SolidWorks вариантов геометрических моделей бетонных композиций для трех
расчетных групп с учетом различного содержания добавки в об-
-
-
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]