Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы дискретных автоматов
.pdf
в) каждую конъюнкцию привести в соответствие с одним из выбранных
4
i
KY
, при i = 2, 8, 9, 12, 13, 14.
наборов, и над аргументами, равными нулю, поставить знаки инверсии.
Рис.1.11. Таблица истинности
Полученная форма является развернутой СДНФ логической функции
Сокращенная запись СДНФ логической функции имеет вид:
Сокращенная запись СДНФ читается следующим образом: «дизъюнкция
конъюнкций четвертого ранга, принимающая единичные значения на наборах
2, 8, 9, 12, 13, 14».
21
1.6.2. Минимизация логической функции методом Карно
В методе используются карты (диаграммы) Карно, свойства которых основаны на теореме полного склеивания.
Карта Карно изображается в виде четырехугольника, разделенного на
квадраты (клетки). Количество клеток карты равно числу наборов таблицы истинности логической функции. Изображение логической функции картами
Карно является более компактным.
Каждая клетка карты Карно соответствует определенному набору таблицы истинности. В каждую клетку записывается значение функции соответствующего набора.
Аргументы функции располагаются по внешним сторонам карты, напротив ее столбцов и строк. Значение каждого аргумента относится ко всему
столбцу или строке.
Каждый аргумент делит карту Карно на две равные части:
- в одной половине, отмеченной скобкой, значение аргумента равно еди-
нице (прямое значение аргумента);
- в другой половине, значение аргумента равно нулю (инверсное значение
аргумента).
Правило составления карты Карно. Карта Карно строится по следующему
правилу:
- строится карта с числом клеток 2n, где n – ранг функции;
- по внешним сторонам карты определенным образом располагаются ар-
гументы. При n > 2 (n = 3, 4, 5) аргументы располагаются с перекрытием;
- для каждого набора таблицы истинности отыскивается клетка карты;
- в найденную клетку записывается значение функции для данного набора.
Клетки карты, отличающиеся значением только одной переменной, называются соседними. К соседним клеткам применима теорема полного склеивания: «два логических выражения одного ранга, отличающиеся вхождением
только одной переменной, склеиваются по этой переменной».
Каждая клетка карты Карно имеет четыре соседние клетки: верхнюю,
нижнюю, левую и правую.
Для минимизации функции F методом Карно даны три задания:
- таблица истинности или сокращенная запись СДНФ;
- расположение номеров аргументов карты Карно;
- расположение аргументов карты Карно.
Значения номеров аргументов 1, 2, 3, 4 и аргументов Х3, Х2, Х1, Х0 для карты Карно приведены на рис. 1.12. Схема расположения номеров аргументов
карты Карно показана на рис. 1.13, а. Заменяем номера аргументов 1, 2, 3, 4 на
аргументы Х3, Х2, Х1, Х0. Схема расположения аргументов карты Карно показана
на рис. 1.13, б.
22
0123
XXXX
0123
XXXX
Рис. 1.12. Значения аргументов для заданной схемы
а б
Рис. 1.13. Карта Карно:
а: схема расположения номеров аргументов карты Карно;
б: схема расположения аргументов карты Карно
Внешние скобки располагаются с перекрытием, для обеспечения основного свойства карты Карно: каждая клетка карты имеет четыре соседние клетки
сверху, снизу, слева и справа. В соседних клетках наборы аргументов отличаются значением только одной переменной.
С учетом сворачиваемости карты в цилиндр по горизонтали все крайние
верхние клетки являются соседними с крайними нижними клетками. С учетом
сворачиваемости карты в цилиндр по вертикали все крайние левые клетки являются соседними с крайними правыми клетками.
Запишем в каждую клетку одинаковые конъюнкции
(рис.
1.14, а). Преобразуем каждую конъюнкцию
с учетом значений ар-
гументов (скобок), расположенных на внешних сторонах карты (рис. 1.14, б). В
половине карты, отмеченной скобкой, значение аргумента имеет прямое значение. В другой половине карты над аргументом необходимо поставить инверсию.
Определим для каждой функции номер набора: аргумент, входящий в
функцию с инверсией, принимает нулевое значение; аргумент, входящий в
функцию без инверсии, принимает единичное.
23
Х
З
Х
2
Х
1
Х
0
Х
1
Х
0
Х
З
Х
2
01
23
XXXX
4
i
KY
1
1
0
0
0
0
1
0000
1
0
1 1
0
Х
3
2
1
4
5
10
8
3 7
6
9
0
11
12
13
14
15
Х
2
Х
1
Х
0
Х
3
Х
2
Х
1
Х
0
10–11
1
2
301
2
3
0
1
2
3
XXXXXXXXXXX
10–14
0
13
0
123
0
1
2
3
XXXXXXXXXXX
10–8
02
3
012
3
0
1
2
3
XXXXXXXXXXX
10–2
0
1
20
1
230
1
2
3
XXXXXXXXXXX
а б
Рис. 1.14. Карта Карно с конъюнкциями:
а: одинаковые конъюнкции; б: преобразованные конъюнкции
Например, конъюнкция
соответствует набору 11002 = 1210.
Полученные номера наборов занесем в клетки карты Карно, как показано
на рис. 1.15, а. Номера наборов действительны только для данной схемы расположения скобок. Запишем в клетки карты Карно значения функции (рис. 1.15,
б) в соответствии с заданием
, при i = 2, 8, 9, 12, 13, 14 (функция при-
нимает единичное значение на наборах 2, 8, 9, 12, 13, 14, а на остальных наборах - нулевое значение).
а б
Рис. 1.15. Схема заполнения карты Карно:
а: нумерация клеток карты; б: клетки карты с выходными переменными
У каждой клетки есть четыре соседние клетки: верхняя, левая, нижняя и
правая. У клеток с номерами 0, 1, 3, 2 соседние клетки 8, 9, 11, 10. У клеток с
номерами 0, 4, 12, 8 соседние клетки 2, 6, 14, 10.
Рассмотрим следующие сочетания клеток 10–11, 10–14, 10–8, 10–2:
24
Вывод: у клетки номер 1010 есть четыре соседние клетки: 11, 14, 8 и 2.
1
1
0
0
0
0
1
0000
1
0
1 1
0
Х
3
Х
2
Х
1
Х
0
К
1
К
2
К
2
К
3
Определение по карте Карно конечных конъюнкций выполняется по следующим правилам:
1. Все соседние единичные клетки должны быть заключены в прямо-
угольные единичные контуры.
2. Число единиц в контуре должно выражаться числами 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4,
23 = 8 и т. д.
3. Единичные контуры не должны содержать внутри себя нулей (контур
должен быть замкнутым).
4. Построение единичного контура следует начинать с единиц, которые
могут войти только в один единственный контур.
5. Одна и та же единица может входить в несколько единичных контуров.
6. Единичные контуры могут накладываться друг на друга.
7. Единичные контуры могут содержать разрыв на границе карты.
8. Каждой единичной клетке соответствует исходная конъюнкция (кон-
ституент единицы) соответствующего набора.
9. Увеличение размеров единичного контура приводит к уменьшению
длины конечной конъюнкции.
10. В единичном контуре, объединяющем две клетки, один из аргументов,
меняющий свое значение, не входит в конечную конъюнкцию.
11. В единичном контуре, объединяющем более двух клеток, в конечную
конъюнкцию не входят аргументы, чьи границы пересекаются площадью, ограниченной данным контуром.
12. Единичные клетки должны объединяться в наибольшие контуры.
13. Количество контуров должно быть минимальным.
В соответствии с изложенными правилами получаем три единичных кон-
тура (рис. 1.16).
Рис. 1.16. Карта Карно с выделенными единичными контурами
25
Для выделенных контуров записываем конечные конъюнкции
j
i
К
0
1
23
4
1
XXXXК
; (1.1)
0
23
3
2
XXXК
; (1.2)
1
3
2
3
XXК
. (1.3)
2
3
3
2
4
1
КККY
.
(1.4)
1
3
0
23
0
1
23
XXXXXXXXXY
.
(1.5)
КК
ИК
+
+ +
+
+
+
, где i –
номер контура; j – длина конечной конъюнкции (количество букв):
Из конечных конъюнкций составляем выражение
Подставляем полученные значения конечных конъюнкций и получаем
ДНФ комбинационного дискретного автомата, содержащую 9 букв
Исходная СДНФ содержала 24 буквы. В результате минимизации функция сокращена в 24/9 = 2,6 раз.
ДНФ может оказаться не минимальной (избыточной) и содержать ошибки. Для установления минимальной формы необходимо проверить функцию на
наличие избыточных (лишних) конечных конъюнкций. Проверка минимизации
выполняется с помощью импликантной матрицы (рис. 1.17).
Рис. 1.17. Импликантная матрица
Импликантная матрица строится следующим образом:
1) исходные конъюнкции ИК (конституенты единицы), входящие в
СДНФ, располагаются в верхней строке;
2) конечные конъюнкции КК, входящие в сокращенную ДНФ, распола-
гаются в левом столбце;
3) если конечная конъюнкция поглощает исходную конъюнкцию, то на
пересечении строки и столбца ставится знак «+»;
4) если знак «+», оказался единственным в столбце, то он обводится
кружком « » и все знаки «+» выбранной строки также обводятся кружками
« ». Конечная конъюнкция, относящаяся к этой строке, является обязательной;
5) если все, не обведенные знаки «+» конечной конъюнкции дублируют
обведенные знаки « » в столбцах, то данная конечная конъюнкция является
избыточной (лишней);
26
6) если имеется столбец, который не отмечен знаком «+», то в синтезе
1
3
XX
0
1
23
XXXX
012
3
1
3
XXXXXX
=
)1(
021
3
XXXX
=
1
1
3
XX
=
1
3
XX
.
(1.6)
1
3
XX
0
1
23
XXXX
1
3
0
23
0
1
23
XXXXXXXXXY
1
3
0
23
0
1
23
XXXXXXXXXY
ХXX
.
(1.7)
2
1
2121
XXXXXX
.
(1.8)
допущена ошибка и требуется проверка.
Свойства импликантной матрицы основаны на теореме полного поглощения. Рассмотрим дизъюнкцию конечной
и исходной
конъюнкций
Получается, что конечная конъюнкция
юнкцию
и может быть использована вместо нее.
поглощает исходную конъ-
Выводы по минимизации методом Карно
1. Минимизация функции F1 выполнена правильно, так как конечные
конъюнкции поглощают все исходные конъюнкции (каждый столбец отмечен
знаком «+»).
2. Сокращенная ДНФ не имеет лишних конечных конъюнкций, так как
отсутствует дублирование.
3. Полученная ДНФ
, является
тупиковой (ТДНФ).
Логическая схема дискретного автомата, реализующая функцию
, приведена на рис. 1.18.
Разработка схемы считается завершенной, когда она будет проверена
практически с помощью технических средств: реле, интегральных схем, стендов или специальных компьютерных программ.
Схема комбинационного автомата построена с помощью трех основных
логических функций НЕ, ИЛИ, И. В некоторых случаях для построения схемы
комбинационного автомата целесообразно использовать базовые логические
элементы ИЛИ-НЕ или И-НЕ (рис. 1.19, а, б).
Приведение к определенному базису выполняется преобразованием с помощью теорем алгебры логики.
Рассмотрим порядок приведения функций НЕ, ИЛИ, И к базису И-НЕ.
Для приведения функции НЕ необходимо применить теорему повторения
Для приведения функции ИЛИ необходимо последовательно выполнить
теорем двойной инверсии и де Моргана
27
2121
XXXX
.
(1.9)
&
1
)()()(
1
3
0
23
0
1
23
XXXXXXXXX
=
)()()(
1
3
0
23
0
1
23
XXXXXXXXX
=
)()()(
1
3
0
23
0
1
23
XXXXXXXXX
.
(1.10)
Для приведения функции И необходимо выполнить теорему двойной инверсии
а б
Выполним приведение ДНФ комбинационного дискретного автомата к
базису И-НЕ
Рис. 1.18. Логическая схема дискретного автомата
Рис. 1.19. Базовые логические элементы:
а: ИЛИ-НЕ; б: И-НЕ
28
2. Комбинационные устройства дискретной автоматики
10 DADAF
2.1. Мультиплексоры
Мультиплексор (multiplex, многократный) позволяет коммутировать в
желаемом порядке информацию, поступающую с нескольких входных шин на
одну выходную. С помощью мультиплексора осуществляется временное разделение информации, поступающей по разным каналам. Мультиплексор можно
уподобить бесконтактному многопозиционному переключателю.
Мультиплексор имеет несколько информационных входов и один информационный выход. Порядок коммутации обеспечивает управляющие (адресные) входы.
Разрешающий (стробирующий) вход управляет одновременно всеми информационными входами независимо от состояния адресных входов.
Запрещающий сигнал на этом входе блокирует действие всего устройства.
Наличие разрешающего входа расширяет функциональные возможности мультиплексора, позволяя синхронизировать его работу с работой других узлов.
Мультиплексор с n-адресными входами имеют 2n информационных входов. Набор сигналов на адресных входах определяет конкретный информационный вход, который будет соединен с выходом.
На рис. 2.1, а показана принципиальная схема мультиплексора-селектора
вида 2 : 1 («два к одному») и его релейно-контактный аналог (рис. 2.1, б). В
мультиплексоре для переключения входных цепей используется один внешний
адресный сигнал A. Работа мультиплексора определяется выражением:
.
Эти же принципы положены в основу построения и более сложных схем
мультиплексоров. На рис. 2.2, а, б показаны логическая схема и условное изображение мультиплексора вида 4 : 1.
а б
Рис. 2.1. Мультиплексор-селектор вида 2 : 1:
а – логическая схема; б – релейно-контактный аналог
29
Схема содержит четыре информационных входа D0—D3, два адресных
1
вх
U
входа А и В и разрешающий вход V. Вход А принадлежит младшему разряду, а
В – старшему. Когда разрешающий вход находится под высоким потенциалом
, один из входов логических элементов И будет под низким, и следователь-
но, на их выходах также будут нулевые уровни независимо от состояния остальных входов. Выходной сигнал в этом случае также будет равен нулю.
Схема управления выполнена так, что при разрешающем сигнале на входе V любые комбинации сигналов на адресных входах А и В создают условия,
при которых на входах (а значит, и на выходах) трех логических элементов И
существуют потенциалы низкого уровня, неактивные для элемента ИЛИ.
Состояние четвертого элемента И определяется сигналом на информационном входе, тот же сигнал будет и на выходе мультиплексора. Двоичные числа (00, 01, 10 и 11), характеризующие сигналы на входах В и А, эквивалентны
индексу используемого информационного входа (D0, D1, D2, D3). Например,
двоичное число 10 на адресных входах обеспечит селекцию шины D2.
а б в
Рис. 2.2. Мультиплексор вида 4 : 1:
а – логическая схема; б – таблица истинности; в –условное изображение
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]