Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретические основы дискретных автоматов
.pdf
На рис. 1.8. показаны таблица истинности инверсии и реализация ее на
ay
релейно-контактной схеме и логическом элементе НЕ. Инверсия (операция НЕ,
логическое отрицание, NOT) означает, что функция f1(a) = a истинна, если высказывание a ложно, и наоборот. Например, для РКС это значит, что электрическая цепь mn будет замкнута, если контакт a не нажат, и наоборот.
а б в
Рис. 1.8. Логическая функция инверсия
:
а – таблица истинности; б – релейно-контактная схема;
в – логический элемент НЕ
Логические функции и реализующие их схемы. Логические функции подразделяются на два класса: комбинационные и последовательностные. Комбинационными называются логические функции, значения которых определяются
только комбинациями значений входных переменных вне зависимости от последовательности появления этих комбинаций.
Последователъностными называются логические функции, значения которых зависят не только от комбинаций входных переменных, но и от последовательности поступления этих комбинаций. Последовательностные устройства
содержат элемент «память».
Комбинационные и последовательностные функции реализуются соответственно однотактными и многотактными схемами релейного действия.
Многотактные схемы, или схемы с обратными связями, являются основными схемами промышленной автоматики.
Условия работы однотактных схем могут быть заданы таблицами истинности. Условия работы многотактных схем, записанные в виде такой таблицы,
будут содержать противоречивые строки и называться нереализуемыми. Нереализуемые условия работы схемы можно перевести в реализуемые, вводя дополнительные переменные с таким расчетом, чтобы различным комбинациям значений выходных переменных соответствовали различные комбинации значений
входных и дополнительных входных переменных. Дополнительные входные
переменные носят название промежуточных переменных. Они могут быть получены за счет образования обратных связей, посредством которых сигналы с выходов схемы или от промежуточных элементов подаются на входы соответствующих элементов схемы. Если использование имеющихся в схеме промежуточных и выходных сигналов не позволяет сделать ее реализуемой, следует вво-
11
дить дополнительные промежуточные элементы, с выходов которых будут вводиться в схему необходимые промежуточные переменные. В качестве промежуточных переменных в первую очередь используются выходные переменные.
1.3. Аксиомы и теоремы алгебры логики
Алгеброй принято называть любое множество (совокупность) элементов,
на котором заданы некоторые операции над элементами множества и аксиомы
(правила), которым подчиняются эти операции.
Элементы алгебры могут быть произвольной природы: числа, буквы, высказывания, функции некоторого класса, матрицы, векторы и т. д.
Операции представляют собой действия, с помощью которых из конечного числа некоторых заданных элементов алгебры строятся новые элементы той
же алгебры. Аксиомы определяют свойства операций и отношения операций
между собой.
В современной математике изучается много различных алгебр: алгебра
чисел, алгебра поля, алгебра колец, алгебра групп, алгебра векторных пространств, алгебра матриц, алгебра логики и т. д.
Но, как это следует из самого определения понятия алгебры, все эти алгебры строятся исходя из трех основных принципов: задание множества элементов, на которых строится алгебра; задание операций над элементами множества; задание аксиом, которым подчиняются операции.
Алгебра логики также построена на основе этих принципов. Множеством
элементов алгебры логики является множество всех логических функций. При
этом константы 0, 1 и просто логические переменные (рассматриваемые как
функции одной переменной, равные самим себе) входят сюда как частные случаи логической функции.
В алгебре логики имеется множество операций. Наиболее употребительными операциями являются инверсия, конъюнкция и дизъюнкция. Они
позволяют построить любую логическую функцию.
В алгебре логики введена следующая система аксиом, определяющая
свойства и отношения основных операций (рис. 1.9).
12
Рис. 1.9. Аксиомы алгебры логики
Применение алгебры логики для математического исследования релейных устройств основывается на следующей системе аксиом, отражающих упоминавшиеся ранее основные идеи теории релейных устройств, когда любая переменная величина представляет собой или условие работы, или состояние релейного элемента или схемы.
Каждая из аксиом состоит из двух частей, что соответствует правилу инверсии, которое заключается в том, что любая аксиома может быть преобразована в другую аксиому одновременной заменой цифры 0 на цифру 1 и операции
конъюнкции на дизъюнкцию, и наоборот.
На основе этих аксиом выводятся все теоремы, выражающие основные
законы алгебры логики. Их называют системой равносильных преобразований
функций или просто равносильностями. Законы булевой алгебры приведены на
рис. 1.10.
Рис. 1.10. Законы алгебры логики
13
Законы булевой алгебры вытекают из аксиом и также имеют две формы
7
f
8
f
i
iff15
14
1
ff
baba
11
4
ff
baba
9
6
ff
baba ~
8
7
ff
baba/
ba
ba ~
ba
ba
bababa
bababababa )()(~
выражения: для конъюнкции и дизъюнкции (правильность законов проверяется
путем подстановки 0 и 1 вместо соответствующих значений переменных). Законы алгебры логики используются для преобразования логических выражений
в целях их минимизации, упрощения схемного решения или приведения к основному базису.
1.4. Суперпозиция логических функций
Если разделить таблицу функций двух переменных на две части
по линии, разделяющей функции
и
, и принять эту линию за ось
симметрии, то можно убедиться, что любая функция, взятая из одной
части таблицы, является инверсией симметричной ей функции, принадлежащей другой части таблицы. Это можно записать следующим
образом
где i = 0, 1, 2, ..., 15.
Отсюда следует, что еще четыре функции из восьми оставленных: ранее в
рассмотрении функций двух переменных не являются самостоятельными, так
как
, то есть
, то есть
, то есть
, то есть
,
,
,
.
Исключив из рассмотрения операции , , и /, получим следующий набор
логических функций
Импликация и эквивалентность могут быть выражены через конъюнкцию
и дизъюнкцию следующим образом
;
.
14
Таким образом, для записи любой логической функции одной и двух пе-
af
3
bf
5
baf
8
baf
14
bababaf
8
bababaf
14
af
3
baf
14
af
3
baf
8
ааааа
babаbаbаbbаа )()(
ааааа /
babаbababbаа /)//()/(
ременных достаточно иметь три логические функции
– инверсию
– конъюнкцию
– дизъюнкцию
(или
);
.
Это хорошо видно из таблицы функций двух переменных, где структурные формулы всех функций и их совершенные нормальные формы записаны
через функции инверсии, конъюнкции и дизъюнкции. Логические функции инверсии, конъюнкции и дизъюнкции обладают наиболее простыми и привычными свойствами, почти аналогичными алгебраическим операциям умножения и
сложения. Эти функции очень удобны и естественны для выражения свойств
параллельного и последовательного соединений замыкающих и размыкающих
контактов в релейно-контактных схемах.
Бесконтактные же логические элементы позволяют непосредственно получать все логические функции, приведенные в таблице функций двух переменных.
Можно воспользоваться правилом де Моргана
и
.
Это позволяет получать дизъюнкцию через конъюнкцию и инверсию или
конъюнкцию через дизъюнкцию и инверсию, что позволяет перейти к двум
системам, состоящих всего лишь из двух функций.
Первая система: инверсия
Вторая система: инверсия
и дизъюнкция
и конъюнкция
.
.
Особое место среди функций двух переменных занимают функции
стрелка Пирса и штрих Шеффера. Каждая из них в отдельности достаточна для
записи любой логической функции.
Действительно, стрелка Пирса позволяет получить инверсию и конъюнкцию
–
– (
;
.
Стрелка Пирса позволяет получить инверсию и конъюнкцию, а этого достаточно для построения любой функции.
Аналогично для функции штрих Шеффера
–
–
;
.
Следовательно, штрих Шеффера позволяет получить инверсию и дизъюнкцию, что тоже достаточно для построения любой функции.
15
Функция штрих Шеффера и стрелка Пирса являются базовыми универ-
cba
cba, ca, a
1c
cba )(
cbba
ca
cba
cba, ca
0c
cba )(
ca
cbba
cba
cbcba
)( cba
)( ca
сальными функциями, каждая из которых позволяют получить любую функцию
одной и двух переменных.
Таким образом, выражая одни логические функции через другие и используя принцип суперпозиции, можно аргументами каждой из рассмотренных
выше функций одной и двух переменных считать произвольные логические
функции и получать многие новые равносильные преобразования функций.
Логические функции одной и двух переменных называются элементарными логическими функциями. Они позволяют строить любые новые функции
алгебры логики, являющиеся суперпозициями элементарных функций.
Если выбраны основные логические функции или функция штрих Шеффера (стрелка Пирса), то это соответствует выбору стандартного набора из логических элементов, выполняющих эти функции. При этом все логические
функции, описывающие работу логического устройства, должны быть выражены через выбранные функции и после этого могут быть реализованы на стандартных релейно-контактных схемах или логических элементах.
1.5. Нормальные формы логических функций
1.5.1. Элементарные конъюнкция и дизъюнкция
Элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией) называется конъюнкция (дизъюнкция) любого числа различных независимых переменных, входящих в данную
конъюнкцию (дизъюнкцию) с инверсией или без нее не более одного раза.
Например, выражения
,
, b,
и 1 являются эле-
ментарными конъюнкциями.
Выражения
,
и
не являются элементарными
конъюнкциями. Аналогично выражения
Аналогично выражения
элементарными дизъюнкциями, а выражения
,
, a, b,
,
, 0 являются
и
не являются элементарными дизъюнкциями.
Количество переменных в элементарной конъюнкции (дизъюнкции) называется ее длиной и определяет ее ранг. Например, конъюнкция
явля-
ется конъюнкцией 3-го ранга.
1.5.2. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы
,
Дизъюнкция любого числа элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Например,
.
Конъюнкция любого числа элементарных дизъюнкций называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ). Например,
16
.
ДНФ и КНФ называются тупиковыми (ТДНФ и ТКНФ), если они не со-
cbacbay
)()( cbacbay
babababa
ba
держат избыточных переменных, которые можно исключить.
Для каждой функции может существовать несколько ТДНФ и ТКНФ, которые являются равносильными друг другу. Минимальными ДНФ (МДНФ) и
КНФ (МКНФ) называются ТДНФ и ТКНФ, содержащие минимальное количество букв.
Инверсия любой функции, записанной в дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной форме, может быть записана в конъюнктивной (дизъюнктивной) нормальной форме путем замены знаков дизъюнкции ( ) на конъюнкцию
(«·») и «·» на и инвертирования каждой переменной.
Например, инверсия функции
имеет вид
.
Логическую функцию, заданную любым аналитическим выражением,
можно непосредственно преобразовать к нормальной дизъюнктивной (или
конъюнктивной) форме. Для этого необходимо:
– выразить все операции через операции конъюнкции, дизъюнкции и инверсии;
– избавиться от инверсии над целыми выражениями, перейдя к форме, в
которой имеются инверсии только отдельных переменных;
– раскрыть скобки, применяя закон дистрибутивности;
– привести конъюнкции (дизъюнкции) к элементарным.
1.5.3. Конституенты единицы и нуля
Конституентом единицы для данного числа переменных называется всякая конъюнкция всех переменных, взятых по одной с инверсией или без нее.
Функцию n-переменных f15(a,b) = 1 (константа единицы), можно разложить на 2n конституентов (составляющих) единицы, т. е. на 2n дизъюнктивно
связанных элементарных конъюнкций n-го ранга, так как количество различных наборов n двоичных переменных равно 2n.
Например, при n = 2 функция единицы равна 1 =
.
Конституент единицы для некоторого набора строится следующим, образом: каждая переменная в него входит без инверсии, если значение этой переменной в данном наборе равно единице, или с инверсией, если значение этой
переменной в данном наборе равно нулю.
Например, набору 01 соответствует конституент единицы
.
Отсюда следует: каждый конституент единицы как функция переменных
равняется единице только на одном соответствующем ему наборе. На всех остальных наборах данный конституент единицы равен нулю. Действительно, ес-
17
ли взять другой набор 00, то для него значение вышеприведенного конституен-
ba
)()()()( babababa
)( ba
)( ba
abbabay
)( bbca
та единицы
равно нулю.
Функцию n переменных f0(a,b) = 0 (константа нуля), можно разложить на
2n конституентов (составляющих) нуля, т. е. на 2n конъюнктивно связанных
элементарных дизъюнкций n-го ранга, так как количество различных наборов n
двоичных переменных равно 2n.
Например, при n = 2 функция нуля равна 0 =
.
Конституентом нуля для данного числа переменных называется всякая
дизъюнкция всех переменных, взятых по одной с инверсией или без нее.
Конституент нуля для некоторого набора значений строится следующим
образом: каждая переменная в него входит без инверсии, если значение этой
переменной в данном наборе равно нулю, или с инверсией, если значение этой
переменной в данном наборе равно единице.
Например, набору 01 соответствует конституент нуля
. Отсюда сле-
дует: каждый конституент нуля как функция n переменных равняется нулю
только на одном соответствующем ему наборе. На всех остальных наборах
данный конституент нуля равен единице. Действительно, для другого набора 11
значение вышеприведенного конституента нуля
равно единице.
1.5.4. Совершенные нормальные формы
Существует один вид дизъюнктивной нормальной формы и один вид
конъюнктивной нормальной формы, в которых функция может быть записана
только единственным образом. Они называются совершенными нормальными
формами (СНФ).
В совершенной дизъюнктивной (конъюнктивной) нормальной форме:
– каждая элементарная конъюнкция (дизъюнкция) включает все переменные (с инверсиями или без них);
– нет одинаковых конъюнкций (дизъюнкций).
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) данной логической функции называется дизъюнкция конституентов единицы тех наборов
значений переменных, где данная функция равна единице.
Например, для функции дизъюнкция СДНФ будет
.
От любой ДНФ можно привести к СДНФ функции при помощи равносильных преобразований. Такой переход называется развертыванием.
Для этого необходимо:
– ввести недостающие переменные в каждую конъюнкцию с помощью
закона дополнения (например, при недостающей переменной b ввести в конъ-
юнкцию
;
18
– раскрыть скобки, применяя распределительный закон
bcabca
)cbacba
cacbay
cacbay
)( bbcacba
)bcabcacba
)cbacbacba
)()()( bababay
)( bbca
)()( bcabca
)()( bcabca
)()( cacbay
)()( cacbay
)(()( bbcacba
)()()( bcabcacba
)()()( cbacbacba
;
– применить переместительный закон
;
– избавиться от повторяющихся конъюнкций на основании закона повторения.
Выполним переход от ДНФ
=
=
к СДНФ по правилам:
=
.
=
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной логической функции называется конъюнкция конституентов нуля тех наборов, где
данная функция равна нулю.
Например, для функции конъюнкция ДНФ будет
.
Переход от КНФ к СКНФ осуществляется по аналогии с переходом от
ДНФ к СДНФ.
Для этого необходимо:
- ввести недостающие переменные в каждую конъюнкцию с помощью за-
кона дополнения (например, при недостающей переменной b ввести в конъюнкцию
;
- раскрыть скобки, применяя распределительный закон
;
- применить переместительный закон
- избавиться от повторяющихся конъюнкций на основании закона повто-
рения.
Выполним переход от КНФ
к СКНФ по правилам:
=
=
=
Совершенные нормальные формы обладают следующими особенностями:
- если при каком-то наборе функция равна единице, то в СДНФ только
один из ее конституентов принимает единичное значение;
- если функция для данного набора равна нулю, то в СДНФ ни один из
конституентов не принимает единичного значения;
- если для данного набора функция равна нулю, то в СКНФ только один
из конституентов принимает нулевое значение;
- если для данного набора функция равна единице, то в СКНФ ни один из
конституентов не принимает нулевого значения.
;
=
.
19
Отсюда следует: СДНФ имеет столько конституентов, сколько единиц в
таблице истинности; СКНФ имеет столько конституентов, сколько нулей в таблице истинности.
1.6. Минимизация логических функций
Общей задачей минимизации логических функций является отыскание
минимальной дизъюнктивной нормальной формы (МДНФ), т. е. логической
формы, содержащей минимально возможное число букв и их инверсий.
Так, например, для некоторых логических функций представляется возможным составить одну или несколько ДНФ, содержащих меньшее, по сравнению с СДНФ, число конъюнкций, которые могут не включать некоторые аргументы или их инверсии.
Минимизация логических функций выполняется методами логического
синтеза. Под синтезом понимается процесс составления логических выражений,
описывающих схему устройства по заданным условиям технологического процесса. Процедуру синтеза можно разделить на следующие этапы:
- получение логической функции, описывающей алгоритм функциониро-
вания проектируемого устройства;
- минимизация логической функции;
- проверка минимизации;
- построение комбинационной логической схемы;
- проверка работы схемы.
Существуют следующие методы минимизации логических функций: перебора; Квайна; Карно; Вейча; Мак-Класки.
Все методы минимизации логических функций базируются на аксиомах и
теоремах алгебры логики.
1.6.1. Составление СНФ по таблице истинности
Составление СДНФ по таблице истинности (рис. 1.11) производится в
следующей последовательности:
а) выбрать в таблице истинности все наборы (второй, восьмой, девятый,
двенадцатый, тринадцатый и четырнадцатый – всего шесть наборов) значений
аргументов Х3, Х2, Х1, Х0 на которых функция Y = F(Х
3,Х2,Х1,Х0
) обращается в
единицу;
б) выписать ряд конъюнкций всех аргументов и соединить их знаками
дизъюнкций. Количество конъюнкций должно равняться числу наборов, на которых функция обращается в единицу
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]