Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретико-числовые методы в криптографии и криптопротоколах. Учебное пособие.pdf
2.
11 1
r
=⋅=
0z =
28s =
14s =
0z =
14
1
2 mod 113 112 1
r = = = −
2
1r =
( )
11 1r =− ⋅=−
56
z
=
14
s =
7
s =
28z =
7
1
2 mod 113 15
r
= =
28
2
3 mod 113 98r = =
15 98 mod 113 1r =⋅=
28z
=
7s =
4 14
2 3 mod 113 62x =±⋅ =±
( )
EC
( ) ( )
{ }
22 3 2
12 3 4 56
, | 0,
i
EC xy y Cy Cxy Cx Cx Cx C C= ∈ + + + + + += ∈
123
y ycycxc
′
=+++
45
x cx c
′
= +
i
c ∈
.
3. Число z не меняется:
4.
5.
2.
– четное.
,
,
.
3. Число z меняется:
4.
5.
– четное.
,
,
2.
3. Число z не меняется:
4.
– нечетное. Вычисляем ответ
.
,
.
.
,
.
.
.
.
2.4. ГРУППА ТОЧЕК ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ
2.4.1. Определение группы точек эллиптической кривой
Эллиптическая кривая – неособая кубическая кривая, является матема-
тическим объектом, обладающим богатыми и интересными свойствами [8].
Свойства эллиптических кривых изучаются достаточно давно. В 1985 году
Н. Коблиц и В. Миллер предложили использовать этот объект в криптографических целях. С тех пор эллиптические кривые широко применяются
в асимметрических криптосистемах и являются основой многих стандартов
электронной подписи (например, в России и США). В этой связи введено
понятие эллиптическая криптография.
Сформулируем определение эллиптической кривой. Общий вид уравнения кубической кривой
над полем описывается формулой
Линейными преобразованиями:
,
,
уравнение кривой можно привести к канонической форме.
71
.
Определение 17. Эллиптической кривой
( )
ab
EC
( ) ( )
{
}
22 3
, | , ,
ab
EC x y y x ax b a b= ∈ =++ ∈
O
32
4 27ab∆=− −
( )
ab
EC
( )
ab
EC
0∆≠
( )
ab
EC
Рис. 2.1. Кривая
2,1EC−
,
5∆=
Рис. 2.2. Кривая
3 2,1
EC
−
,
13, 5
∆=−
1,1
EC
31∆=−
в форме Вейерштрасса называется множество точек
над полем
вместе с одной особой точкой
, называемой бесконечно удаленной
(2.29)
точкой.
Число
Кривая
называется неособой несингулярной, если
Рассмотрим кривую
называется дискриминантом кривой
над полем вещественных чисел. В этом
.
.
случае мы можем нарисовать ее график. Он качественно меняется, когда
дискриминант меняет знак (как показано на рис. 2.1, 2.2, 2.3).
для которой
Рис. 2.3. Кривая
для которой
для которой
,
72
Обсудим теперь понятие бесконечно удаленной точки. Пока введение
3
R
( )
3
,,XYZ R∈
( )
,,XYZλλλ
( )
,,XYZ
2
P
3
R
ab
E
2
P
( )
{ }
22 3 2 3
,, |
ab
E X Y Z P Y Z X aXZ bZ= ∈ =++
2
P
( )
,,XYZ
( )
,,XYZλλλ
λ∈
ab
E
( )
,,XYZ
0Z ≠
( )
,,XYZ
( )
,,XYZλλλ
2
P
P
( )
, ,1X ZYZ
x XZ
=
y YZ=
ab
EC
ab
E
(
)
, ,1xy
0Z ≠
( )
, ,0XY
особой точки выглядит неестественно, но все меняется, если рассмотреть
эту кривую как кривую в проективном пространстве.
Введем в трехмерном евклидовом пространстве
отношение эквивалентности
эквивалентной точке
валентности представляют собой прямые, проходящие через начало
координат.
Двумерным проективным вещественным пространством
вается фактор-пространство
Рассмотрим кривую
в пространстве
.
: будем считать точку
. Геометрически классы экви-
, заданную уравнением
с координатами
назы-
. (2.30)
(Любая кривая в проективном пространстве
содержит и все точки
Пусть P – точка общего положения кривой
, для которой
на и та же точка в проективном пространстве
общего положения имеет координаты
динаты точки P в уравнение (2.30) и введя обозначения
получим уравнение (2.29) для кривой
(2.29) описывает все неособые точки проективной кривой
тами
. Однако эта кривая, кроме неособых точек (
. Так как точки
,
. Иначе говоря, уравнение
).
вместе с точкой
с координатами
и
, следовательно, точка
. Подставив коор-
– од-
,
с координа-
), содержит
,
также и особые точки
ние (2.30) и увидим, что существует еще одна точка O этой кривой с ко-
. Подставим эти координаты в уравне-
73
ординатами
( ) ( )
0, ,0 0,1,0Y
( )
ab
EC
P
3 2,1
EC
−
( )
ab
EC
( )
ab
EC
( )
ab
O EC∈
Q
( )
ab
T EC∈
PT Q→←
( )
ab
EC
( )
ab
EC
( )
ab
EC
, , T ТW
удаленной.
. Эта особая точка и называется бесконечно
Неособая кривая
мая, проходящая через любые две точки этой кривой, пересекает ее
в третьей точке. Например, на рис. 2.4 проведена прямая через точки
, Q, которая пересекает кривую в точке S.
Рис. 2.4. Кривая
обладает замечательным свойством: пря-
Важное дополнение: если две точки кривой
одной вертикальной прямой, то считаем, что эта вертикальная прямая пе-
ресекает кривую
Например, прямая, проходящая через точки R, S, пересекает кривую
в точке O.
Если мы будем перемещать вправо по кривой точку P, а навстречу ей
влево будем перемещать точку
:
дить через эти точки прямую, которая будет пересекаться с
В точке T эта прямая будет касательной, пересекающей
торой точке W (рис. 2.5 ). Естественно считать, что касательная в точке T –
в бесконечно удаленной точке
, то они встретятся в какой-то точке
. При перемещении мы будем все время прово-
находятся на
.
в неко-
.
это прямая, соединяющая две бесконечно близкие точки. Таким образом,
эта прямая пересекает кривую
в трех точках:
74
.
3 2,1
EC
−
( )
ab
EC
PQR⊕=
S RO⊕=
T TU
⊕=
( )
UWO U W⊕=⇔=−
PQQ P⊕=⊕
( ) ( )
,,O P xy P xy⊕=
( ) ( )
,,P xy Q x y O⊕ −=
( ) ( )
( )
11 2 2 3 3
,,,Px y Qx y Rx y⊕=
12
xx≠
21
21
yy
xx
−
λ=
−
2
3 12
x xx=λ− −
( )
3 13 1
y xx y=λ−−
( ) ( ) ( )( )
, , 2,P xy P xy P xy⊕=
2
32xa
y
+
λ=
2
2xx=λ−
( )
y xx y=λ−−
Рис. 2.5. Кривая
Отмеченное свойство позволяет наделить множество точек кривой
групповой структурой. А именно, двум точкам кривой, через
которые проведена прямая, ставится в соответствие точка, противоположная точке пересечения с прямой. Например,
(см. рис. 2.4). Аналогично
(см. рис. 2.5),
,
Может показаться, что естественней было бы поставить в соответствие точкам P, Q точку S, но тогда не выполнялось бы свойство ассо-
циативности. Отметим также, что введенная групповая операция коммутативна:
.
Выпишем теперь закон групповой композиции в координатах.
.
Утверждение 13.
1.
2.
3.
4.
,
;
,
;
, где
,
:
;
:
,
75
.
Отсюда хорошо видно, что для расчета закона композиции необходи-
p
3p >
3
p =
( )
ab p
EC
x
p
1
a
p
+
( )
33
11 1
pp
ab p
xx
x ax b x ax b
EC p
pp
∈∈
++ ++
=+ + = ++
∑∑
мо уметь выполнять только алгебраические операции: сложения, умножения, деления. Все эти операции определены в любом поле. Особняком
стоят конечные поля характеристики 2 и 3 (в частности, нельзя делить
на 2 в последнем пункте). При этом следует заметить, что над полями характеристики 2 и 3 далеко не всякая кубическая кривая может быть приведена к форме Вейерштрасса.
2.4.2. Эллиптические кривые
над простыми конечными полями
Будем рассматривать эллиптические кривые над простыми по-
лями
кривой имеет форму Вейерштрасса (2.29) (для
вопрос, который возникает: какое количество точек
, где
. В этом случае каноническая форма эллиптической
это не так). Первый
содержит
кривая?
Для небольших значений простого числа p мы можем посчитать их
число непосредственно, используя уравнение кривой (2.29). А именно, пусть
последовательно принимает значения из множества
, тогда уравне-
ние на неизвестную переменную y при известной правой части (2.29)
будет иметь вид квадратного уравнения (2.24), количество решений кото-
рого есть
. Тогда с учетом еще одной особой точки O имеем:
. (2.31)
76
Отсюда видно, что количество точек кривой
( )
ab p
EC
21p +
nP
( )
3
12
0,1 13
0
1 129209
14 14
13 13 13 13 13 13
x
x
EC
p
=
+
=+ =+++++++
∑
9662060
13 13 13 13 13 13 13
+++++++=
(
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
141 11 10 11 1 1 10 1012= + +− ++− + ++++− +− +− + +− + =
( )
0,1 13
EC
(
)
( )
0,1 13
2,3Q EC∈
{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
,2 , 2,3 ,2 0,1 ,3 12,0 ,4 0,12 ,5 2,10 ,6QQQQQQQQQO= = =
ord 6Q =
( )
4,0P
2PO=
(
)
,0x
( )
{ }
4,0 ,PP O=
i
Q iQ=
1, , 6i =
i
Q
P iQ⊕
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
{ }
6,3 , 5,10 , 10,0 , 5,3 , 6,10 , 4,0
( )
0,1 13
EC P Q= ×
( )
0,1 13
EC
не превыша-
ет числа
Операция сложения точек дается утверждением 13. Символом
обозначают точку, полученную сложением точки P с собой n раз (см. пример на с. 28
Пример 31.
.
).
.
Вычислим все точки кривой
. Вычислим циклическую подгруппу, порожденную
точкой Q:
Как видим, точка Q имеет порядок
рядок 2, т. е.
точки с координатами вида
Складываем точку Р со всеми точками
полнение к точкам
натами:
. Заметим, что в силу свойства 2 утверждения 13 все
имеют порядок 2. Итак,
) 6 точек кривой
. Легко видеть, что
. Точка
,
с соответствующими коорди-
. Таким образом, получаем
, получаем еще (в до-
имеет по-
.
.
, т. е. группа из 12 точек эллиптической кривой
является прямым произведением (см. определение 2) двух цикли-
ческих подгрупп порядка 2 и 6. Это свойство справедливо и в общем случае.
77
Утверждение 14. Группа точек
(
)
q
EC
q
( )
12
q nn
EC
×
21
|nn
2
|1nq−
( )
1
q
EC q t= +−
2tq≤
mod 0tp=
char
q
p =
q
( )
0,1 13
EC
( )
2GF
α
23
y y x ax b+= + +
2 32
y xy x ax b+=+ +
эллиптической кривой над
конечным полем
групп
изоморфна прямому произведению циклических под-
, где
и
.
Вычисление порядка эллиптической кривой на основе формулы (2.31)
требует экспоненциального времени. Алгоритм полиномиальной сложности решения этой задачи пока неизвестен. Однако есть очень полезная
теорема.
Теорема 7 (Хассе). Порядок группы точек эллиптической кривой ра-
вен
, где
.
Число t называется следом кривой. Кривая называется суперсингу-
лярной, если выполняется равенство:
теристика поля
.
В примере 31 мы нашли, что след кривой
, где
– харак-
равен 2.
2.4.3. Эллиптические кривые над полями
характеристики 2
Над полем
характеристики 2 уравнение эллиптической кри-
вой приводится к следующим двум формам:
– форма для суперсингулярной кривой
– форма для несуперсингулярной кривой
; (2.32)
. (2.33)
Как правило, в криптографии используются несуперсингулярные
кривые. Операция сложения точек на несуперсингулярной кривой определяется выражениями.
78
Утверждение 15.
( ) ( )
,,
O P xy P xy⊕=
(
) ( )
,,P xy Q xx y O⊕ +=
( ) ( )
( )
11 2 2 3 3
,,,Px y Qx y Rx y⊕=
12
xx≠
21
21
yy
xx
+
λ=
+
2
3 12
x xxa=λ +λ+ + +
(
)
3 13 31
y xx xy
=λ + ++
( ) ( )
( )
(
)
, , 2,Pxy P xy P xy⊕=
y
x
x
λ= +
2
2
b
xx
x
= +
(
)
2
1yx x
= + λ+
(
)
3
8
2GF
=
( )
( )
{ }
22
22 3 2
010 ,011 8 8 2 2
, | 010 011EC x y y xy x x= ∈ +=+ ⋅+
(
)
22
001 ,000
P
( )
2,P xy
2
001x =
2
000y =
2 22 2
001 000 001 001λ= + =
( )
( )
22
2 22 22 2
001 011 001 001 011 010x
= + =+=
( ) ( )
2
2 22 2 2
001 001 001 010 001y = + + ×=
( )
( )
22
2 010 ,001P
( )
( )
( )
( )
33 11 2 2
3, , 2 ,Px y Px y P x y= ⊕
1.
2.
3.
,
4.
Пример 32. Рассмотрим несуперсингулярную эллиптическую кривую
,
;
;
, где
,
:
,
:
;
.
над полем
Этой кривой принадлежит точка
утверждения 9, вычислим точку
(это поле приведено в примере 26):
,
;
.
. Используя свойство 4
:
;
;
.
Таким образом,
, используя свойство 3 утверждения 9
и таблицу логарифмов (2.21):
79
. Найдем теперь точку
0
3 mod 7 4
22 2
2
3
22 2
000 001 001
110
001 010 011
−
+θ
λ= = = =θ =θ =
+
θ
;
3 22 2 2 2 2 222
110 110 110 001 010 010 110 110 111
x =×+++ + =×+=
( )
2 mod 7
4
2 2 22 2
111 111 010 111 101=θ +=θ+= +=
( )
3 2 22 2 2 222
110 001 101 101 000 110 100 101y =× + ++ =×+=
42
2 22 2
101 101 101 000=θ⋅θ+=+=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
22 22 22 22
001 ,000 , 2 010 ,001 , 3 101 ,000 , 4 110 ,110 ,PP P P P=
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22 22 22 22
5 111 ,100 , 6 000 ,111 , 7 111 ,011 , 8 110 ,000 ,
PP PP
( )
( )
( )
( )
( )
( )
}
22 22 22
9 101 ,101 , 10 010 ,011 , 11 001 ,001 ,P P PO
( )
22
010 ,011 8
EC
( )
22
010 ,011 8
EC
3t = −
( )
22
010 ,011 8
EC
( )
12 4ϕ=
5P, 7P
11P
;
.
Продолжая эту процедуру, найдем всю циклическую подгруппу, порожденную этой точкой.
Можно проверить, что эллиптическая кривая
держит других точек.
Подведём итог этого примера. Мы выяснили, что:
1) группа точек кривой
2) след кривой
3) группа
;
является циклической и имеет
имеет порядок 12;
.
не со-
примитивных элемента: P,
Таким образом, нами были рассмотрены элементы теории чисел, конечных полей и эллиптических кривых, приведены алгоритмы расчета необходимых математических конструкций.
,
80
.