Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретико-числовые методы в криптографии и криптопротоколах. Учебное пособие.pdf
Тогда говорят, что группа G является прямым произведением под-
1
G
2
G
12
GGG= ×
12 12
GG GG×=⋅
(
)
1
,G ∗
(
)
2
,G ⊗
12
GG→
1
G
2
G
( )
( )
( )
ab a bϕ ∗ =ϕ ⊗ϕ
1
,ab G
∀∈
1
G
2
G
n
S
( )
,
G ⋅
{ }
12
,,,H eh h=
{
}
12
,,,aH a ah ah G= ⊂
{ }
12
,,,Ha ahaha G= ⊂
,bc G∈
1
bc H
−
∈
, bc
,,
ij
b c aH h h H∈ ⇔∃ ∈
i
b ah=
j
c ah=
групп
Очевидна справедливость равенства
Определение 3. Две группы
и
и записывают как
.
.
,
называются изоморф-
ными, если существует биективное взаимно однозначное отображение
множества
на множество
ϕ:
. Отображение ϕ при этом называется изоморфизмом групп
и
.
Теорема 1 (Кэли). Всякая конечная группа изоморфна подгруппе груп-
пы перестановок
1.1.2. Смежные классы, теорема Лагранжа,
для некоторого числа n.
,
фактор-группы
Пусть a – произвольный элемент группы
группа:
. Подмножество
, Н – некоторая ее под-
называется левым смежным классом по подгруппе Н. Аналогичным образом
определяется правый смежный класс:
. Произ-
вольный элемент смежного класса называется его представителем.
В силу того, что множество Н – группа, любой смежный класс по ней
строится путем умножения любого его представителя на все элементы
подгруппы Н.
Утверждение 1. Два элемента группы
лежат в одном и том
же левом смежном классе по подгруппе H тогда и только тогда, когда
. (1.3)
Доказательство. Пусть элементы
классе:
11
лежат в одном левом смежном
,
,
.
Тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1 11 1 1 1 1
i j i j i ji jij
b c ah ah h a ah h a a h h eh h h H
−
− −− − − − −
= = = = = ∈
hH∈
1
b c h c bh c bH
−
=⇔= ⇔∈
( )
( ) ( )
1
&
i j i j ji
a cH bH a ch a bh ch bh c bh h bh
−
∈ ∩ ⇔ = = ⇒ = ⇔= =
1
ji
h hh
−
=
d ch bhh= = =
bh bH= ∈
cH bH=
[ ]
:GH
[ ]
:G GH H
= ⋅
H
[ ]
:GH
.
Обратно, пусть имеет место соотношение (1.3). Это означает суще-
ствование элемента
лежит в том же классе, что и элемент b. □
Утверждение 2. Любые два левых смежных класса по одной подгруп-
пе не пересекаются либо совпадают.
Доказательство. Пусть два смежных класса cH, bH имеют непустое
пересечение, что означает существование элемента
Выберем произвольный элемент d из класса cH:
. Таким образом, мы доказали, что каждый элемент d класса cH
в этом случае принадлежит и классу bH и наоборот, что эквивалентно
равенству
. □
, т.ч.
, т. е. элемент c
,
.
Определение 4. Количество различных левых (или правых) смежных
классов по подгруппе H называется индексом подгруппы H группы G
и обозначается
Теорема 2 (Лагранж). Для любой конечной группы G и произвольной
ее подгруппы H справедливо равенство
Доказательство. Как легко видеть, каждый смежный класс по одной
и той же подгруппе состоит из одного и того же количества элементов
и совпадает с порядком подгруппы H (последняя сама является смежным
классом, содержащим единичный элемент). Количество элементов во мно-
жестве G есть количество элементов в смежных классах
количество смежных классов
.
. (1.4)
, умноженное на
, что приводит нас к равенству (1.4). □
12
Теорему Лагранжа можно переформулировать следующим образом:
G
HG
⊂
aH Ha=
aG
∀∈
HG⊂
bG∈
hH⊂
hH∈
hb bh=
bG∈
,hh H∈
HG⊂
i
a
ii
a aH
=
0, , 1ir= −
[ ]
:r GH=
0
ae=
0
a eH≡=
ij
aa= ∅
ij≠
, 1, , 1ij r= −
10r
i
i
Ga
−
=
=
G
G
{ }
11
,,,
r
G ea a
−
=
c ab c= ∈
c ab= ∗
, ab
a a ah a→= ∈
порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.
Тривиальные подгруппы имеют порядки 1 и
. Из теоремы Лагран-
жа, в частности, следует, что группа, у которой порядок является простым
числом, не имеет собственных подгрупп.
Определение 5. Подгруппа
смежный класс совпадает с правым смежным классом:
, для которой каждый левый
,
называется нормальной.
Очевидно, что у коммутативной группы каждая подгруппа нормальна.
Свойство нормальности подгруппы
элементов
и
существует такой элемент
,
;
означает, что для любых
, что
. (1.5)
Зафиксируем в каждом смежном классе по нормальной подгруппе
,
по одному представителю из каждого класса:
класса
,
,
Обозначим через
смежные классы:
, где
. Кроме того, мы полагаем
. В силу утверждения 2 имеем:
,
,
множество, элементами которого являются
. Введем на этом множестве операцию
;
– представитель
.
умножения смежных классов следующим образом. Пусть a – представитель класса a, b – представитель класса b,
ведения двух классов a и b объявляется класс
. Результатом произ-
(т. е. класс, кото-
рому принадлежит произведение представителей).
Чтобы определение операции произведения классов было корректным,
необходимо убедиться, что результирующий класс c не зависит от выбора
представителей классов
. Поменяем представителей:
13
,
1
b b bh b→= ∈
. Тогда
( )
( )
( )
11
ab ah bh a hb h= =
( )
( )
12
ab ab hh ch cH c= =∈=
( )
,G ∗
G GH=
n
n
Zn=
n
cbn−∈
0,1,2, , 1n −
n
{ }
0,1, , 1
n
n= −
n
{
}
0,1, , 1
n
n= −
4n
=
{ }
4
0,1, 2,3=
{ }
0 0, 4,8,12, , 4, 8, 12,= −−−
{ }
1 1,5,9,13, ,3,7,11,= −−−
{ }
2 2,6,10,14, , 2, 6, 10,= −−−
{ }
3 3,7,11,15, ,1,5,9,= −−−
. Используя формулу (1.5),
получим
Определение 6. Множество
вается фактор-группой группы G по нормальной подгруппе H и обозна-
чается
Рассмотрим подгруппу
подгруппа коммутативной группы, она является нормальной и поэтому
определена фактор-группа, которую обозначают как
мула (1.3) дает критерий принадлежности одному классу. В данном случае
этот критерий имеет вид: два целых числа b и c лежат в одном смежном
классе по подгруппе
ность этих чисел должна без остатка делиться на число n. Иначе говоря,
каждый класс состоит из целых чисел, имеющих один и тот же остаток от
.
(пример 8) аддитивной группы . Как
тогда и только тогда, когда
.
является группой, которая назы-
. Фор-
, т. е. раз-
деления на натуральное число n. В качестве представителей классов удобно взять все возможные остатки от деления на число n, т. е. числа
. Обычно множество
лей:
ляются классы, а не числа. Поэтому на первых порах, чтобы отличать числа от классов, будем обозначать классы чертой сверху:
Пример 9. Разберем подробнее случай
. Однако следует помнить, что элементами
задают перечислением представите-
яв-
.
:
;
;
, где
;
.
14
Для примера посчитаем
23+
22∈
33∈
2351
+=∈
231+=
62∈, 93−∈
( )
6 9 31+− =−∈
332+=
4
331+=
5
n
a qn r= +
,qr∈
0 rn≤<
mod ra n=
ab+
n
( )
mod ab n+
aa∈
bb
∈
33+
4
( )
3 3 mod 4 2+=
(
)
mod ab nc+=
( )
mod ab c n+=
9 6 4 mod 11+=
5 3 1 mod 7+=
4 7 6 mod 9−=
12 4 3 mod 13+=
12 6 18 mod 19 1 mod 19+= =−
19
mod an
mod an
2
n
одному представителю, сложим их и результатом объявим класс, в кото-
. Для этого в каждом классе выберем по
в
,
и
ром лежит ответ:
эксперимента поменяем представителей:
Мы видим, что ответ, как и должно быть, не поменялся.
Введенная нами запись сложения классов не особенно удачна.
Например,
способ записи сложения классов в
чисел определена операция деления с остатком: для любого натурально-
го числа n и целого числа a однозначно определены целые числа q, r, т.ч.
Число q называется целочисленным частным, число r называется
остатком от деления. Остаток r называется результатом приведения чис-
,
,
. Ответ:
,
в
. Поэтому используется другой
. А именно, для множества целых
,
.
. В порядке
.
ла a по модулю n:
сов
в
остаток деления 6 на 4). Записи
валенты. Приведем еще примеры:
В последнем примере мы привели два ответа (18 и –1) – это не ошибка,
поскольку ответом является не конкретное число, а представитель класса:
18 и (–1) лежат в одном классе – в
в
записывается следующим образом:
запишем в виде
. Используя это обозначение, сложение клас-
,
,
и
,
,
. Обычно
,
– положительное
. Например,
(2 есть
экви-
,
.
целое число, меньшее n либо
торого меньше
– отрицательное число, модуль ко-
. В этом смысле оба ответа (18 и –1) «законны».
15
1.1.3. Циклические группы
:
aG∈
{ }
23
,,,,,
k
a
G aa a a G= ⊆
a
G
,kl
∈
lk
>
kl
aa=
lk
ae
−
=
m
ae=
ord ma=
a
G
{ } { }
23 1 2 23 1
,,,, , ,,, ,,,, ,
mm m
a
G aa a a a eaa aa a a e
−−
= = =
a
G
a
G
ord
a
Ga=
a
G
aG∈
a
GG=
( )
,
m
+
a
GG=
ord G am= =
k l kl
bc a a a
+
⋅= ⋅ =
k
ab=
l
ac=
Пусть G – конечная группа, a – ее произвольный элемент. Рассмотрим
подмножество элементов группы G, порождаемое степенями элемента
.
В силу конечности множества G множество
нечным. Это означает, что существуют такие числа
Данное утверждение эквивалентно равенству
также является ко-
:
и
. Таким образом, бы-
вают натуральные числа m со свойством
(1.6)
Такое минимальное натуральное число со свойством (1.6) называется
порядком
элемента a. Выпишем еще раз множество
повторяющиеся элементы):
.
(удаляя
.
Множество
пой группы G. Порядок подгруппы
стве) совпадает с порядком элемента a:
примитивным элементом группы
Определение 7. Если существует элемент
является группой и называется циклической подгруп-
(количество элементов во множе-
. Элемент a называется
.
, т.ч.
такая группа G называется циклической.
Утверждение 3. Каждая циклическая группа порядка m изоморфна
группе
Доказательство. Пусть
умножения в циклической группе:
.
,
. Выпишем правило
, где
16
,
, то
(по условию цикличности группы такие натуральные числа k, l существуют
,bc G∈
kl+
k l qm r+= +
( )
mod r kl m= +
(
)
( )
mod
q
kl m
k l qm r m r q r r r
bc a a a a e a ea a a
+
++
⋅= = = ⋅=⋅=⋅==
m
G →
bG∈
m
k ∈
k
ab=
( )
( )
(
) ( ) ( )
mod mod
r
bc a r k l m b c mϕ ⋅ =ϕ = = + =ϕ +ϕ
n
{ }
2
11
| 0,1, , 1;
k in
nk
k ne
π
=ε=ε = − ε=
(
)
,
n
+
aG
∈
G
ae=
aG∈
a
HG=
[
]
( )
[ ]
[ ]
:
::
ord
a
aa a
GG
G GG GG
G
a
aa a e e= = = =
для любых элементов
,
). Поделим с остатком число
на число m:
. С учетом соотношения (1.6) имеем:
.
Отсюда следует, что отображение ϕ:
ветствие элементу
число
, где
, которое ставит в соот-
является изоморфизмом:
.
Приведем пример циклической группы. Рассмотрим группу
(при-
мер 5). Как следует из формулы (1.2), все ее элементы являются стeпeнями
одного элемента:
В силу утверждения 3 изоморфная ей группа
. (1.7)
также является
циклической.
Теорема 3 (Основное свойство конечных групп). Для любого элемен-
та
конечной группы G справедливо равенство
,
. (1.8)
Эта теорема играет важную роль практически во всех широко распространенных протоколах и асимметрических криптосистемах.
Доказательство. Применим для этого случая теорему Лагранжа (1.4),
полагая в этой формуле
:
17
. □
Утверждение 4. Пусть для элемента a конечной группы G и некото-
k
ae=
ord |aG
|
an
5 |15
4 |12
ord ma=
k qm r= +
0 rm≤<
( )
q
k qm r m r q r r r
aa a aeaeaae
+
= = ⋅=⋅=⋅==
0
r =
|mk
aG∈
ord
aG
=
6
15
,εε
10
1379
,,,εεεε
n
рого натурального числа k справедливо равенство
элемента a является делителем числа k. В частности,
Запись
например:
означает, что число a является делителем числа n,
,
.
, тогда порядок
.
Доказательство. Поделим с остатком число k на число
,
. Тогда
.
По определению число m является минимальным натуральным чис-
лом со свойством (1.6), поэтому
, т. е.
. □
Сформулируем другое (эквивалентное) определение циклической
:
группы.
Определение 8. Группа G называется циклической, если она содер-
жит хотя бы один элемент
пы:
.
, порядок которого равен порядку груп-
Нахождение примитивного элемента используется при доказательстве
простоты числа и применяется практически во всех криптопротоколах.
Об этом будет рассказано в следующей главе.
Итак, каждая циклическая группа содержит по определению примитивный элемент и в общем случае не один. Например, в группе
тивными будут элементы
, в группе
– элементы
прими-
.
Важным и интересным является вопрос о количестве примитивных
элементов в циклической группе. Например, ответ на вопрос о количестве
примитивных элементов в группе
взлому широко известной криптосистемы RSA. Обо всем этом будет рассказано в следующих двух главах.
для заданного числа n равносилен
18
1.2. КОЛЬЦА
( )
,+
( ) (
)
a bc ab c⋅⋅=⋅⋅
,,abc
∀∈
( )
a b c ab ac⋅ + =⋅+⋅
( )
b c a ba ca+ ⋅ =⋅+⋅
,,
abc∀∈
( )
,
+
( )
,,+⋅
00 0aa⋅=⋅=
ab ba⋅=⋅
e ∈
ea ae a= =
( )
n
Mat
( )
( )
,
n
Mat +
1.2.1. Определение и примеры колец
Определение 9. Коммутативная группа
лена еще одна бинарная операция – умножение, называется кольцом, если обладает следующими свойствами (аксиомы кольца):
1. Свойство ассоциативности:
2. Свойство правой и левой дистрибутивности:
Группу
Иначе говоря, кольцо является множеством с двумя бинарными опе-
рациями
Из определения кольца следует, что
называют аддитивной группой кольца .
.
;
, на которой опреде-
,
,
, т. е. умножение на
.
. (1.9)
ноль дает ноль.
Если операция умножения коммутативна, т. е.
называют коммутативным. Ниже, если не оговорено противное, под
кольцом будем понимать коммутативное кольцо. Кольцо
кольцом с единицей, если в нем существует единичный элемент
носительно операции умножения
Для более подробного введения в теорию колец рекомендуем обратиться к классическим учебникам по общей алгебре (например, к монографиям [1–3]).
Пример 10. На множестве квадратных матриц
операция сложения матриц (обычное поэлементное сложение), которая
превращает это множество к коммутативную группу
.
, то кольцо
называют
от-
определена
.
На множестве квадратных матриц определена также ассоциативная операция матричного умножения. Аксиома дистрибутивности также выпол-
19
няется. Таким образом,
(
)
( )
,,
n
Mat
+⋅
(
)
,,
+⋅
( )
,,+⋅
(
)
,,
⊕∗�
→
( ) ( ) ( )
ab a bψ + =ψ ⊕ψ
( ) ( ) ( )
ab a bψ ⋅ =ψ ∗ψ
,
ab∈
a ∈
1a−
11
a a aa e
−−
⋅=⋅ =
1a−
∗
{ }
1, 1
∗
= −
( )
( )
nn
Mat GL
∗
=
,,|{
цом с единицей – кольцом вещественных квадратных матриц.
Пример 11. Важным примером является коммутативное кольцо с еди-
является некоммутативным коль-
ницей
Изоморфизм колец определяется похожим образом, как и изоморфизм
групп (определение 3).
Определение 10. Говорят, что кольцо
, если существует биективное (т. е. взаимно однозначное) отоб-
ражение ψ:
Отображение ψ при этом называется изоморфизмом колец.
– кольцо целых чисел.
, т.ч.
,
1.2.2. Определение поля
изоморфно кольцу
;
.
Пусть e – единица кольца . Если для элемента
кой элемент
ным к элементу a, а сам элемент a называется обратимым. Подмножество
обратимых элементов кольца
умножения, которая называется мультипликативной группой кольца
и обозначается как
Примеры.
Определение 11. Коммутативное кольцо с единицей , в котором
каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.
Пример 12. Числовые множества с обычными операциями сложения
и умножения
является подмножеством , а значит, и подполем поля . Аналогично
, что
, то элемент
образует группу относительно операции
.
,
являются бесконечными полями. При этом поле |
.
существует та-
называется обрат-
поле представляет собой подполе поля {.
20